1、第一课时函数的极值课标要求素养要求1.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值.通过理解函数的极值及其应用导数的求解过程，发展学生的直观想象与数学运算素养.新知探究横看成岭侧成峰，远近高低各不同.不识庐山真面目，只缘身在此山中.在群山之中，各个山峰的顶端虽然不一定是群山之中的最高处，但却是其附近的最高点；同样，各个谷底虽然不一定是山谷的最低处，但却是其附近的最低点.群山中的最高处是所有山峰的最高者的顶部，山谷中的最低处是所有谷底的最低者的底部.问题观察下图中的函数图象，指出其中是否有类似山峰、山谷的地方，如果有，应用什么数学语言来描述
2、？提示有，应用函数的极大值和极小值来描述.1.极值点与极值的概念极值与单调性一样，都是函数的局部性质(1)极小值点与极小值如图，函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，f(a)0；而且在点xa附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则把a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值.(2)极大值点与极大值如图，函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，f(b)0；而且在点xb的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则把b叫做函数yf(x)的极大值点，f(b)叫做函数yf(x)的极大值.极大值点、极小值点统称为极值点，
3、极大值和极小值统称为极值.2.求函数yf(x)的极值的方法解方程f(x)0，当f(x0)0时：(1)如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极小值.拓展深化微判断1.导数为0的点一定是极值点.()提示反例：f(x)x3，f(x)3x2，f(0)0，但x0不是f(x)x3的极值点.2.函数的极大值一定大于极小值.()提示反例：如图所示：极大值f(x1)小于极小值f(x2).3.函数yf(x)一定有极大值和极小值.()提示反例：f(x)x3既没有极大值，也没有极小值.微训练1.已知函数f(x)的导
4、函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)有()A.两个极大值，一个极小值B.两个极大值，无极小值C.一个极大值，一个极小值D.一个极大值，两个极小值解析由图可知导函数f(x)有三个零点，依次设为x10，当xx1时，f(x)0，当x1x0，所以函数f(x)在xx1处取得极小值；当x1x0，当x2x0，所以函数f(x)在xx2处无极值；当xx3时，f(x)0，得x3，令f(x)0得1x，则2aa2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，2a)2a(2a，a2)a2(a2，)f(x)00f(x)极大值极小值所以f(x)在(，2a)，(a2，)上是增函数，在(2a，a2)上是减函数，
5、函数f(x)在x2a处取得极大值f(2a)，且f(2a)3ae2a，函数f(x)在xa2处取得极小值f(a2)，且f(a2)(43a)ea2.若aa2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，a2)a2(a2，2a)2a(2a，)f(x)00f(x)极大值极小值所以f(x)在(，a2)，(2a，)上是增函数，在(a2，2a)上是减函数，函数f(x)在xa2处取得极大值f(a2)，且f(a2)(43a)ea2，函数f(x)在x2a处取得极小值f(2a)，且f(2a)3ae2a.规律方法讨论参数应从f(x)0的两根x1，x2是否相等入手进行.【训练2】已知函数f(x)xaln x(a
6、R).(1)当a2时，求曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值.解函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)1.(1)当a2时，f(x)x2ln x，f(x)1(x0), f(1)1，f(1)1, yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程为y1(x1), 即xy20.(2)由f(x)1，x0.当a0时，f(x)0，函数f(x)为(0，)上的增函数，函数f(x)无极值； 当a0时，由f(x)0，解得xa; x(0，a)时，f(x)0，f(x)在xa处取得极小值，且极小值为f(a)aaln a，无极大值.综上，当a0时，函数f(x)无极值；当a0时，函数f(x)
7、在xa处取得极小值aaln a，无极大值.题型三利用函数极值确定参数的值【例3】已知函数f(x)ax3bx2cx(a0)在x1处取得极值，且f(1)1.(1)求常数a，b，c的值；(2)判断x1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值.解(1)f(x)3ax22bxc.x1是函数f(x)的极值点，x1是方程f(x)3ax22bxc0的两根，由根与系数的关系，得又f(1)1，abc1. 由解得a，b0，c.(2)f(x)x3x，f(x)x2(x1)(x1)，当x1时，f(x)0，当1x1时，f(x)0；在区间(0，)上，y0，x(2，4)时，f(x)0.f(x)在(1，2)，(4，5
8、)上为增函数，在(2，4)上为减函数，x2是f(x)在1，5上的极大值点，x4是极小值点.故选D.答案D3.已知f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则a的取值范围为( )A.(1，2) B.(3，6)C.(，1)(2，) D.(，3)(6，)解析f(x)3x22axa6，因为f(x)既有极大值又有极小值，方程3x22axa60有两个不相等的实数根，那么(2a)243(a6)0，解得a6或a0，当x(，)时，f(x)0，符合题意.答案9基础达标一、选择题1.(多选题)定义在R上的可导函数yf(x)的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是()A.3是f(x)的一个极小值点B.2和1都是
9、f(x)的极大值点C.f(x)的单调递增区间是(3，)D.f(x)的单调递减区间是(，3)解析当x3时，f(x)0，当x(1，e)时，f(x)0，故f(x)在x1处取得极大值f(1)ln 11011.答案C3.若函数f(x)x33bx3在(1，2)内有极值，则实数b的取值范围是()A.(0，4) B.0，4)C.1，4) D.(1，4)解析f(x)3x23b0，即x2b.又f(x)在(1，2)内有极值，f(x)在(1，2)内有变号零点，0b4.当b0时，f(x)x33在R上单调递增，没有极值，故选A.答案A4.(多选题)已知函数f(x)的定义域为R且导函数为f(x)，如图是函数yxf(x)的图
10、象，则下列说法正确的是()A.函数f(x)的增区间是(2，0)，(2，)B.函数f(x)的增区间是(，2)，(2，)C.x2是函数的极小值点D.x2是函数的极小值点解析由题意，当0x2时，f(x)2，f(x)0；当2x0时，f(x)0；当x0；即函数f(x)在(，2)和(2，)上单调递增，在(2，2)上单调递减，因此函数f(x)在x2时取得极小值，在x2时取得极大值；故A错，B正确；C错，D正确.故选：BD.答案BD5.若函数f(x)exaxb在R上有小于0的极值点，则实数a的取值范围是()A.(1，0) B.(0，1)C.(，1) D.(1，)解析由题意知f(x)exa.当a0时，f(x)0
11、恒成立，则f(x)在R上单调递增，不符合题意.当a0时，令f(x)0，解得xln a，当x(，ln a)时，f(x)0.可知xln a为f(x)的极值点，ln a0，f(x)a，所以当a0时，f(x)0在(0，)上恒成立，所以函数f(x)在(0，)上是减少的，所以f(x)在(0，)上没有极值点.答案0三、解答题9.求函数f(x)2的极值.解函数的定义域为R.f(x).令f(x)0，得x1，或x1.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1，1)1(1，)f(x)00f(x)31由上表可以看出：当x1时，函数有极小值，且极小值为f(1)3；当x1时，函数有极大值，且极大值为
12、f(1)1.10.设x1与x2是函数f(x)aln xbx2x的两个极值点.(1)试确定常数a和b的值；(2)判断x1，x2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由.解(1)f(x)aln xbx2x，f(x)2bx1.由极值点的必要条件可知：f(1)f(2)0，a2b10且4b10，解得，a，b.(2)由(1)可知f(x)ln xx2x，且其定义域是(0，)，f(x)x1x1.当x(0，1)(2，)时，f(x)0；所以，x1是函数f(x)的极小值点，x2是函数f(x)的极大值点.能力提升11.函数f(x)ex(xaex)恰有两个极值点x1，x2(x11，解得0a，所以实数a的取值范围
13、为.答案12.已知函数f(x)x2aln x.(1)若a1，求函数f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值；(2)若a1，求证：在区间1，)上，函数f(x)的图象在函数g(x)x3的图象的下方.(1)解易知函数f(x)的定义域为(0，)，当a1时，f(x)x.令f(x)0，得x1或x1(舍去).当x(0，1)时，f(x)0，因此函数f(x)在(1，)上是增函数.故x1是f(x)的极小值，所以f(x)在x1处取得极小值.(2)证明设F(x)f(x)g(x)x2ln xx3，则F(x)x2x2.显然由2x2x12及x0可知，当x1时，F(x)0，故F(x)在区间1，)上是减函数，又F(1)0，所以
14、在区间1，)上，F(x)F(1)0，即F(x)0恒成立，即f(x)0，则xf(x)f(x)，即xf(x)，设g(x)xf(x)，由g(x)0得x1，由g(x)0得0x2 D.a1，b2解析记f(x)x3axb，那么f(x)3x2a.当a0时，f(x)0，f(x)单调递增，必有一实根，D项满足题意；当a0时，由于选项中只有a3，故只考虑a3即可.此时f(x)3x233(x1)(x1)，故x(，1)，(1，)时，f(x)单调递增；x(1，1)时，f(x)单调递减，故f(x)极大值f(1)b2，f(x)极小值f(1)b2，只有一个实根，则需满足f(x)极大值0，则b2，B、C项满足.故选BCD.答案BCD