1、2015-2016学年广东省湛江一中高一（下）第一次月考数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分）1下列说法正确的是（）A任何事件的概率总是在（0，1）之间B频率是客观存在的，与试验次数无关C随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率D概率是随机的，在试验前不能确定2直线的倾斜角=（）A30B60C120D1503从编号为150的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是（）A5，10，15，20，25B3，13，23，33，43C1，2，3，4，5D2，4，8，16，324对一个容量为N的总
2、体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则（）AP1=P2P3BP2=P3P1CP1=P3P2DP1=P2=P35从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是（）A至少有一个红球与都是红球B至少有一个红球与都是白球C至少有一个红球与至少有一个白球D恰有一个红球与恰有二个红球6一次实验：向如图所示的正方形中随机撒一大把豆子，经查数，落在正方形中的豆子的总数为N粒，其中m（mN）粒豆子落在该正方形的内切圆内，以此估计圆周率为（）ABCD7下列四个图各反映了两个变量的某种关系，其中可
3、以看作具有较强线性相关关系的是 （）ABCD8如图给出的是计算的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是（）Ai10Bi10Ci11Di119若直线x+2y+1=0与直线ax+y2=0互相垂直，那么a的值等于（）A2BCD110一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是（）A57.2，3.6B57.2，56.4C62.8，63.6D62.8，3.611“序数”指每个数字比其左边的数字大的自然数（如1246），在两位的“序数”中任取一个数比36大的概率是（）ABCD12已知直线l：y=x+m与曲线y=有两个公
4、共点，则实数m的取值范围是（）A（2，2）B（1，1）C1，）D（，）二、填空题（每小题5分，共20分）13已知x与y之间的一组数据如表所示，当m变化时，y与x的回归直线方程必过定点_x0123y135m7+m14执行如图所示的程序框图，输出的k的值为_15从等腰直角ABC的底边BC上任取一点D，则ABD为锐角三角形的概率为_16点A（1，2）关于直线m：xy1=0的对称点是_三、解答题（共70分，其中17题10分，其余各题12分）17已知平面内两点A（8，6），A（2，2）（）求AB的中垂线方程；（）求过P（2，3）点且与直线AB平行的直线l的方程18如图的茎叶图记录了甲、乙两代表队各10名
5、同学在一次英语听力比赛中的成绩（单位：分），已知甲代表队数据的中位数为76，乙代表队数据的平均数是75（1）求x，y的值；（2）判断甲、乙两队谁的成绩更稳定，并说明理由（方差较小者稳定）19从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi（单位：千元）与月储蓄yi（单位：千元）的数据资料，算得xi=80， yi=20， xiyi=184， x=720（1）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=bx+a；（2）判断变量x与y之间是正相关还是负相关；（3）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄附：线性回归方程y=bx+a中，b=，a=b，其中，为样本平均值20某校从参加高
6、一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其某科成绩（是不小于40不大于100的整数）分成六段40，50），50，60）90，100后画出如下频率分布直方图，根据图形中所给的信息，回答以下问题：（1）求第四小组70，80）的频率；（2）求样本的众数；（3）观察频率分布直方图图形的信息，估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分21某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）参加书法社团未参加书法社团参加演讲社团85未参加演讲社团230（）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加一个社团的概率；（）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同
7、学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率22已知圆C：x2+y2+2x4y+3=0（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；（2）从圆C外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标2015-2016学年广东省湛江一中高一（下）第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1下列说法正确的是（）A任何事件的概率总是在（0，1）之间B频率是客观存在的，与试验次数无关C随着试验次
8、数的增加，频率一般会越来越接近概率D概率是随机的，在试验前不能确定【考点】概率的意义【分析】利用频率与概率的意义及其关系即可得出【解答】解：由于必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，故A不正确频率的数值是通过实验完成的，频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值，故B、D不正确频率是不能脱离n次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值，随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，故C正确故选：C2直线的倾斜角=（）A30B60C120D150【考点】直线的倾斜角【分析】由直线方程可得直线的斜率，再由斜率和倾斜角的关系可得所求【解答】解：可得直线的斜率为k=，由斜率和倾斜角的
9、关系可得tan=，又0180=30故选A3从编号为150的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是（）A5，10，15，20，25B3，13，23，33，43C1，2，3，4，5D2，4，8，16，32【考点】系统抽样方法【分析】由系统抽样的特点知，将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，分段的间隔要求相等，这时间隔一般为总体的个数除以样本容量从所给的四个选项中可以看出间隔相等且组距为10的一组数据是由系统抽样得到的【解答】解：从50枚某型导弹中随机抽取5枚，采用系统抽样间隔应为 =10，只有B答案
10、中导弹的编号间隔为10，故选B4对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则（）AP1=P2P3BP2=P3P1CP1=P3P2DP1=P2=P3【考点】简单随机抽样；分层抽样方法；系统抽样方法【分析】根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义即可得到结论【解答】解：根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，无论哪种抽样，每个个体被抽中的概率都是相等的，即P1=P2=P3故选：D5从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是（）A至少有一个红球与都是红球B
11、至少有一个红球与都是白球C至少有一个红球与至少有一个白球D恰有一个红球与恰有二个红球【考点】互斥事件与对立事件【分析】分析出从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球的所有不同的情况，然后利用互斥事件和对立事件的概念逐一核对四个选项即可得到答案【解答】解：从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，不同的取球情况共有以下几种：3个球全是红球；2个红球1个白球；1个红球2个白球；3个球全是白球选项A中，事件“都是红球”是事件“至少有一个红球”的子事件；选项B中，事件“至少有一个红球”与事件“都是白球”是对立事件；选项C中，事件“至少有一个红球”与事件“至少有一个白球”的交事件为“2个红球1个白球
12、”与“1个红球2个白球”；选项D中，事件“恰有一个红球”与事件“恰有二个红球”互斥不对立故选：D6一次实验：向如图所示的正方形中随机撒一大把豆子，经查数，落在正方形中的豆子的总数为N粒，其中m（mN）粒豆子落在该正方形的内切圆内，以此估计圆周率为（）ABCD【考点】几何概型【分析】根据几何概型的概率公式，即可以进行估计，得到结论【解答】解：设圆的半径为1则正方形的边长为2，根据几何概型的概率公式可以得到，即，故选：D7下列四个图各反映了两个变量的某种关系，其中可以看作具有较强线性相关关系的是 （）ABCD【考点】变量间的相关关系【分析】观察两个变量的散点图，若样本点成带状分布，则两个变量具有线
13、性相关关系，若带状越细说明相关关系越强，得到两个变量具有线性相关关系的图是和【解答】解：两个变量的散点图，若样本点成带状分布，则两个变量具有线性相关关系，两个变量具有线性相关关系的图是和故选B8如图给出的是计算的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是（）Ai10Bi10Ci11Di11【考点】循环结构【分析】要计算的值，由S=S，推出最后一次进行循环时的条件为i=10，当i10应退出循环输出S的值，由此不难得到判断框中的条件【解答】解：S=，并由流程图中S=S循环的初值为1，终值为10，步长为1，所以经过10次循环就能算出S=的值，故i10，应不满足条件，继续循环所以i10，应满足条件，
14、退出循环判断框中为：“i10？”故选A9若直线x+2y+1=0与直线ax+y2=0互相垂直，那么a的值等于（）A2BCD1【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【分析】利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出【解答】解：由于直线x+2y+1=0的斜率存在，且直线x+2y+1=0与直线ax+y2=0互相垂直，则（a）=1，解得a=2故选：A10一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是（）A57.2，3.6B57.2，56.4C62.8，63.6D62.8，3.6【考点】极差、方差与标准差【分析】首先写出原来数
15、据的平均数表示式和方差的表示式，把数据都加上60以后，再表示出新数据的平均数和方差的表示式，两部分进行比较，得到结果【解答】解：设这组数据分别为x1，x2，xn，则=（x1+x2+xn），方差为s2= （x1）2+（xn）2，每一组数据都加60后，=（x1+x2+xn+60n）=+60=2.8+60=62.8，方差s2=+（xn+6062.8）2=s2=3.6故选D11“序数”指每个数字比其左边的数字大的自然数（如1246），在两位的“序数”中任取一个数比36大的概率是（）ABCD【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】列举可得总的“序数”个数，找出比36大的，由概率公式可得【解答】解：十位是
16、1的两位的“序数”：8个；十位是2的：7个，依此类推：十位分别是3，4，5，6，7，8的各有6，5，4，3，2，1个，故两位的“序数”共有8+7+6+5+4+3+2+1=36个比36大的有：十位是3的：3个；十位是4的：5个，依此类推：十位分别是5，6，7，8的各有4，3，2，1个比36大的两位的“序数”有3+5+4+3+2+1=18所求概率P=故选：A12已知直线l：y=x+m与曲线y=有两个公共点，则实数m的取值范围是（）A（2，2）B（1，1）C1，）D（，）【考点】函数的零点与方程根的关系【分析】画出图象，当直线l经过点A，C时，求出m的值；当直线l与曲线相切时，求出m即可【解答】解：
17、画出图象，当直线l经过点A，C时，m=1，此时直线l与曲线y=有两个公共点；当直线l与曲线相切时，m=因此当时，直线l：y=x+m与曲线y=有两个公共点故选C二、填空题（每小题5分，共20分）13已知x与y之间的一组数据如表所示，当m变化时，y与x的回归直线方程必过定点x0123y135m7+m【考点】线性回归方程【分析】直接求出回归直线方程的经过的样本中心即可【解答】解：由题意可得： =， =4可得样本中心（）y与x的回归直线方程必过定点：（）14执行如图所示的程序框图，输出的k的值为4【考点】程序框图【分析】根据所给数值执行循环语句，然后判定是否满足判断框中的条件，一旦满足条件就退出循环，
18、输出结果【解答】解：根据程序框图，依次执行程序，k=0，a=3，q=，执行循环体，a=，k=1不满足条件a，执行循环体，a=，k=2不满足条件a，执行循环体，a=，k=3不满足条件a，执行循环体，a=，k=4满足条件a，退出循环，输出k的值为4故答案为：415从等腰直角ABC的底边BC上任取一点D，则ABD为锐角三角形的概率为【考点】几何概型【分析】根据ABD为锐角三角形，确定D的位置，然后根据几何概型的概率公式即可得到结论【解答】解：ABC是等腰直角三角形，E为BC的中点，B=45，当D位于E时，ABD为直角三角形，当D位于线段EC上时，ABD为锐角三角形，根据几何概型的概率公式可得ABD为
19、锐角三角形的概率为，故答案为：16点A（1，2）关于直线m：xy1=0的对称点是（3，0）【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程【分析】设点A（1，2）关于直线m：xy1=0的对称点为B（a，b），利用垂直及中点在轴上这两个条件求得a、b的值，可得结论【解答】解：设点A（1，2）关于直线m：xy1=0的对称点为B（a，b），由，求得，可得B（3，0），故答案为：（3，0）三、解答题（共70分，其中17题10分，其余各题12分）17已知平面内两点A（8，6），A（2，2）（）求AB的中垂线方程；（）求过P（2，3）点且与直线AB平行的直线l的方程【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【分析】
20、（I）利用中点坐标公式可得：线段AB的中点为，利用斜率计算公式可得kAB=，可得线段AB的中垂线的斜率k=，利用点斜式即可得出（II）过P（2，3）点且与直线AB平行的直线l的斜率为利用点斜式即可得出【解答】解：（I）线段AB的中点为即（5，2），kAB=，线段AB的中垂线的斜率k=，AB的中垂线方程为y+2=（x5），化为3x4y23=0（II）过P（2，3）点且与直线AB平行的直线l的斜率为其方程为：y+3=（x2），化为4x+3y+1=018如图的茎叶图记录了甲、乙两代表队各10名同学在一次英语听力比赛中的成绩（单位：分），已知甲代表队数据的中位数为76，乙代表队数据的平均数是75（1）
21、求x，y的值；（2）判断甲、乙两队谁的成绩更稳定，并说明理由（方差较小者稳定）【考点】极差、方差与标准差；茎叶图【分析】（1）甲代表队的中位数为76，结合茎叶图能求出x的值；乙代表队的平均数为75，结合茎叶图能求出y的值（2）分别求出甲、乙的平均数和方差，由此得到甲队成绩较为稳定【解答】解：（1）因为甲代表队的中位数为76，其中已知高于76的有77，80，82，88，低于76的有71，71，65，64，所以x=6，因为乙代表队的平均数为75，其中超过75的差值为5，11，13，14，和为43，少于75的差值为3，5，7，7，19，和为41，所以y=3（2）（64+65+71+71+76+76+
22、77+80+82+88）=75，乙代表队数据的平均数是75 （6475）2+（6575）2+（8875）2=50.2又S2乙= （5675）2+（6875）2+（8975）2=70.3，甲队成绩较为稳定19从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi（单位：千元）与月储蓄yi（单位：千元）的数据资料，算得xi=80， yi=20， xiyi=184， x=720（1）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=bx+a；（2）判断变量x与y之间是正相关还是负相关；（3）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄附：线性回归方程y=bx+a中，b=，a=b，其中，为样本平均值
23、【考点】线性回归方程【分析】（1）由题意可知n，进而代入可得b、a值，可得方程；（2）由回归方程x的系数b的正负可判；（3）把x=7代入回归方程求其函数值即可【解答】解：（1）由题意知n=10， =8， =2，又xn2=7201082=80， xiyin=1841082=24，由此得b=0.3，a=20.38=0.4，故所求回归方程为=0.3x0.4（2）由于变量y的值随x的值增加而增加（b=0.30），故x与y之间是正相关（3）将x=7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y=0.370.4=1.7（千元）20某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其某科成绩（是不小于40不大于1
24、00的整数）分成六段40，50），50，60）90，100后画出如下频率分布直方图，根据图形中所给的信息，回答以下问题：（1）求第四小组70，80）的频率；（2）求样本的众数；（3）观察频率分布直方图图形的信息，估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分【考点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差【分析】（1）由各组的频率和等于1，由此利用频率分布直方图能求出第四组的频率（2）由频率分布直方图知第四小组70，80）的小矩形最高，由此能求出样本的众数（3）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，求出频率和，由此能求出抽样学生成绩的及格率利用组中值估算抽样学生
25、的平均分，能估计这次考试的平均分【解答】解：（1）因为各组的频率和等于1，故第四组的频率：f4=1（0.025+0.0152+0.01+0.005）10=0.3（2）由频率分布直方图知第四小组70，80）的小矩形最高，所以样本的众数是75（3）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，频率和为 （0.015+0.03+0.025+0.005）10=0.75所以，抽样学生成绩的及格率是75%利用组中值估算抽样学生的平均分45f1+55f2+65f3+75f4+85f5+95f6=450.1+550.15+650.15+750.3+850.25+950.05=71估计这次考试的平均分是71
26、分21某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）参加书法社团未参加书法社团参加演讲社团85未参加演讲社团230（）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加一个社团的概率；（）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】（）先判断出这是一个古典概型，所以求出基本事件总数，“至少参加一个社团”事件包含的基本事件个数，从而根据古典概型的概率计算公式计算即可；（）先求基本事件总数，
27、即从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，有多少中选法，这个可利用分步计数原理求解，再求出“A1被选中，而B1未被选中”事件包含的基本事件个数，这个容易求解，然后根据古典概型的概率公式计算即可【解答】解：（）设“至少参加一个社团”为事件A；从45名同学中任选一名有45种选法，基本事件数为45；通过列表可知事件A的基本事件数为8+2+5=15；这是一个古典概型，P（A）=；（）从5名男同学中任选一个有5种选法，从3名女同学中任选一名有3种选法；从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人的选法有53=15，即基本事件总数为15；设“A1被选中，而B1未被选中”为事件B，显然事件B包含的基本事件数为
28、2；这是一个古典概型，22已知圆C：x2+y2+2x4y+3=0（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；（2）从圆C外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标【考点】直线与圆的位置关系【分析】（1）当截距不为0时，根据圆C的切线在x轴和y轴的截距相等，设出切线方程x+y=a，然后利用点到直线的距离公式求出圆心到切线的距离d，让d等于圆的半径r，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，得到切线的方程；当截距为0时，设出切线方程为y=kx，同理列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，得
29、到切线的方程；（2）根据圆切线垂直于过切点的半径，得到三角形CPM为直角三角形，根据勾股定理表示出点P的轨迹方程，由轨迹方程得到动点P的轨迹为一条直线，所以|PM|的最小值就是|PO|的最小值，求出原点到P轨迹方程的距离即为|PO|的最小值，然后利用两点间的距离公式表示出P到O的距离，把P代入动点的轨迹方程，两者联立即可此时P的坐标【解答】解：（1）切线在两坐标轴上的截距相等，当截距不为零时，设切线方程为x+y=a，又圆C：（x+1）2+（y2）2=2，圆心C（1，2）到切线的距离等于圆的半径，即，解得：a=1或a=3，当截距为零时，设y=kx，同理可得或，则所求切线的方程为x+y+1=0或x+y3=0或或（2）切线PM与半径CM垂直，|PM|2=|PC|2|CM|2（x1+1）2+（y12）22=x12+y122x14y1+3=0动点P的轨迹是直线2x4y+3=0|PM|的最小值就是|PO|的最小值而|PO|的最小值为原点O到直线2x4y+3=0的距离，由，可得故所求点P的坐标为2016年10月8日