1、导数的概念及其几何意义素养目标学科素养1.理解导数的概念，会求函数在某一点处的导数(重点)2利用导数的几何意义，求曲线上某点处的切线的斜率和切线的方程(重点、难点)1.数学抽象；2逻辑推理；3数学运算情境导学2019年国际田联钻石联赛伦敦站男子200米比赛，中国选手谢震业以19秒88夺冠，这不仅刷新了全国纪录，还创造了新的亚洲纪录赛后各国教练都在研究他的弯道技术，通过回放录像分析其弯道时的运动方向这需要求运动曲线在任一点的切线怎样求曲线的切线？1平均变化率与瞬时变化率(1)对于函数yf(x)，设自变量x从x0变化到x0x，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0x)这时，x的变化量为x，y
2、的变量为yf(x0x)f(x0)我们把比值，即叫做函数yf(x)从x0到x0x的平均变化率(2)如果当x0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称yf(x)在xx0处可导，并把这个确定的值叫做yf(x)在xx0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0) .2导数的几何意义(1)在曲线yf(x)上任取一点P(x，f(x)，如果当点P(x，f(x)沿着曲线yf(x)无限趋近于点P0(x0，f(x0)时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线yf(x)在点P0处的切线(2)函数yf(x)在xx0处的导数f(x0)就是切线P0T的斜
3、率k0，即k0 f(x0)3导数的概念当x变化时，yf(x)就是x的函数，我们称它为yf(x)的导函数(简称导数)yf(x)的导函数有时也记作y，即f(x)y .判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)若f(x0)不存在，则曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处没有切线()提示：f(x0)的几何意义是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处切线的斜率，当切线垂直于x轴时，切线的斜率不存在，但存在切线(2)一物体运动满足曲线方程s4t22t3，且s(5)42(m/s)，其实际意义是：物体从开始运动到第5秒运动的平均速度是42米/秒()提示：由导数的物理意义知，s(5)42(m/s)表示物体在t5秒
4、时的瞬时速度(3)若函数f(x)c(c为常数)，则在任何xx0处的导数f(x0)为0.()1设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0x)f(x0)axb(x)2(a，b为常数)，则 ()Af(x)a Bf(x)bCf(x0)a Df(x0)bC解析：因为f(x0) (abx)a，所以f(x0)a.2已知函数yf(x)的图象在点A(1，f(1)处的切线方程为yx1，则f(1)()A1 B1 C0 D不存在B解析：由切线方程yx1知切线斜率kf(1)1.3如图所示是函数yf(x)的图象，则f(xA)与f(xB)的大小关系是()Af(xA)f(xB)Bf(xA)kA，f(xB)f(xA)4已知
5、函数f(x)lg(x1)，则f(2)的几何意义是函数f(x)lg(x1)的图象在点(2，lg 3)处切线的斜率5曲线y3x24x在点(1，1)处的切线方程为_y2x3解析：kf(1) 2，切线方程为y12(x1)，即y2x3. 【例1】求函数f(x)x23x的导数，并求f(1)解：因为yf(xx)f(x)(xx)23(xx)(x23x)(x)22xx3x，所以x2x3.故函数的导数f(x) (x2x3)2x3.所以f(1)2131.求函数在某一点处的导数的方法：(1)定义法：求函数值的变化量，yf(x0x)f(x0)；求平均变化率，；取极限，f(x0) .(2)导函数的函数值法：先求出导函数f
6、(x)，再把xx0代入f(x)得f(x0)1设函数f(x)在xx0处可导，则 等于()Af(x0) Bf(x0)Cf(x0) Df(x0)C解析： f(x0)2求函数yx在x2处的导数解：方法一(导数定义法)：y(2x)x，1， 2，从而y|x22.方法二(导函数的函数值法)：y(xx)xx，1，y 1，y|x22. 【例2】求函数f(x)x27x图象上点(3，12)处切线的斜率解：f(3) (x1)1.所以切线的斜率为1.【例3】求曲线yx32在点M(1,1)处的切线方程解：因为点M(1,1)恰好在曲线上，所以曲线在点M处的切线的斜率就等于函数yx32在x1处的导数又y|x1 (x)23x3
7、3，所以切线的斜率为3.由点斜式可得切线方程为y13(x1)，即3xy40.【例4】求经过点(2,0)，且与曲线y相切的直线方程解：经验证点(2,0)不在曲线y上，设切点为P(x0，y0)由y|xx0 ，得所求直线方程为yy0(xx0)因为点(2,0)在切线上，所以xy02x0.又点P(x0，y0)在曲线y上，所以x0y01，联立可解得x01，y01，故所求直线方程为xy20.1利用导数的几何意义求曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程的步骤如下：(1)求函数f(x)在x0处的导数，即切线的斜率；(2)根据直线方程的点斜式可得切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)2运用导数的几何
8、意义解决切线问题时，一定要注意所给的点是否在曲线上若点在曲线上，则该点的导数值就是该点处的切线的斜率；若点不在曲线上，应另设切点，再利用导数的几何意义求解1曲线yx22x3在点A(1,6)处的切线方程是_4xy20解析：由导数的定义知y|x1 4，所求切线方程为y64(x1)，即4xy20.2求抛物线yx2过点的切线方程解：点不在抛物线上，故设切点为，切线方程的斜率为k.y|xx0 x0，切线方程的斜率k，x8x070，解得x07或x01，故kx0或.所求切线方程为14x4y490或2x4y10.探究题1已知曲线f(x)，g(x).过两曲线交点作两条曲线的切线，则曲线f(x)在交点处的切线方程
9、为_x2y10解析：联立解得两曲线的交点坐标为(1,1)由f(x)，得f(1) ，f(x)在点(1,1)处的切线方程为y1(x1)即x2y10.探究题2抛物线yx2在点P处的切线与直线4xy20平行，求点P的坐标及切线方程解：设点P的坐标为(x0，y0)，y (2xx)2x，y|xx02x0.又由切线与直线4xy20平行，2x04，x02.P(2，y0)在抛物线yx2上，y04，点P的坐标为(2,4)，切线方程为y44(x2)，即4xy40.1解决与导数的几何意义有关的综合题，其关键是设出切点的横坐标，然后根据导数的几何意义，求出切线的斜率2利用斜率与已知条件间的关系，构造关于切点的方程，根据
10、方程思想求切点坐标，进而求切线方程解题的同时要注意解析几何知识的应用如直线的倾斜角与斜率的关系，如平行、垂直等已知曲线yx2在某点P处的切线满足下列条件，请分别求出点P的坐标(1)平行于直线y6x5；(2)垂直于直线2x6y50；(3)与x轴正方向成135的倾斜角解：f(x) 2x，设P(x0，y0)是满足条件的点(1)切线与直线y6x5平行，2x06，x03，y09，即P(3,9)是满足条件的点(2)切线与直线2x6y50垂直，2x01，得x0，y0，即P是满足条件的点(3)切线与x轴正方向成135的倾斜角，其斜率为1，即2x01，得x0，y0，即P是满足条件的点1已知函数f(x)可导，则
11、等于()Af(1) B不存在Cf(1) D以上都不对A解析：因为x0，所以(x)0，所以 f(1)故选A2函数f(x)的图象如图所示，f(x)为函数f(x)的导函数，下列数值排序正确的是()A0f(2)f(3)f(3)f(2)B0f(3)f(3)f(2)f(2)C0f(3)f(2)f(3)f(2)D0f(3)f(2)f(2)f(3)B解析：由f(x)的图象可知，f(x)在x2处的切线斜率大于在x3处的切线斜率，且斜率为正，0f(3)f(2)f(3)f(2)，f(3)f(2)可看作(2，f(2)和(3，f(3)的割线的斜率，由图象可知f(3)f(3)f(2)f(2)，0f(3)f(3)f(2)0
12、 Bf(x0)0Cf(x0)0 Df(x0)不存在B解析：由x2y30知斜率k，f(x0)0.8(5分)曲线yx32在点处的切线的倾斜角为()A30 B45C135 D60B解析： 1，切线的斜率为1，倾斜角为45.9(5分)曲线y在点P(4,2)处的切线方程为()Ax4y40 Bx4y40Cx4y120 Dx4y120B解析： ，曲线在点P处的切线方程为y2(x4)，即x4y40.10.(5分)过点(3,5)且与曲线yx2相切的直线方程为_2xy10和10xy250解析：y 2x.设所求切线的切点为A(x0，y0)点A在曲线yx2上，y0x.又A是切点，过点A的切线的斜率k2x0.所求的切线
13、过点(3,5)和A(x0，y0)两点，其斜率又为，2x0，解得x01或x05.从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25)当切点为(1,1)时，切线的斜率k12x02；当切点为(5,25)时，切线的斜率k22x010.所求的切线有两条，方程分别为y12(x1)和y2510(x5)，即2xy10和10xy250.知识点4导数几何意义的综合应用11(5分)如图，函数yf(x)的图象在点P处的切线方程是yx8，则f(5)f(5)()A B1C2 D0C解析：由图象知f(5)583.由导数几何意义知f(5)1.f(5)f(5)312.12(5分)(多选)曲线yf(x)x3在点P处的切线斜率k3，则点P的
14、坐标是()A(1,1) B(1，1)C(2，8) D(2,8)AB解析：f(x0) 3xx03x(x)23x.令3x3，则x01，y01.13.(5分)过点P(1,2)，且与曲线y3x24x2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程为_2xy40解析：f(1) 2.所求直线方程为y22(x1)，即2xy40.14.(5分)设f(x)在xx0处可导，且 1，则f(x0)()A1 B0C3 DD解析： 1， ， ，f(x0) .15(5分)抛物线yx2bxc在点(1,2)处的切线与其平行直线bxyc0间的距离是()A BC DC解析：抛物线过点(1,2)，bc1.又f(1)2b，由题意得2bb，b1
15、，c2.所求的切线方程为y2x1，即xy10，两平行直线xy10和xy20间的距离d.16.(5分)若曲线y2x24xp与直线y1相切，则p_.3解析：设切点为(x0,1)由yf(x0) (4x042x)4x04，根据导数的几何意义有4x040，x01，即切点为(1,1)，124p，p3.17.(5分)函数yx2在x_处的导数值等于其函数值0或2解析：yf(x)x2在xx0处的导数值为f(x0) (x2x0)2x0.由2x0x，解得x00或x02.18.(12分)已知直线l：yxa(a0)和曲线C：yx3x21相切，求a的值和切点的坐标解：设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0)，f(x) 3
16、x22x.由题意知，直线l的斜率k1，即3x2x01，解得x0或x01.于是切点的坐标为或(1,1)当切点为时，a，a.当切点为(1,1)时，11a，a0(舍去)所以a的值为，切点坐标为.19.(13分)如图，它表示物体运动的路程随时间变化的函数f(t)4t2t2的图象，试根据图象，描述、比较曲线f(t)分别在t0，t1，t2附近的变化情况，并求出t2时的切线方程解：用曲线f(t)分别在t0，t1，t2附近的切线，刻画曲线f(t)在上述三个时刻附近的变化情况当tt0时，曲线f(t)在t0处的切线l0平行于t轴，所以在tt0附近曲线比较平坦，几乎没有升降；当tt1时，曲线f(t)在t1处的切线l1的斜率f(t1)0，所以在tt1附近曲线下降，即函数f(t)在tt1附近单调递减；当tt2时，曲线f(t)在t2处的切线l2的斜率f(t2)0，所以在tt2附近曲线下降，即函数f(t)在tt2附近单调递减由图象可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，说明曲线f(t)在t1附近比在t2附近下降得缓慢当t2时，f(2)0.当t2时，切线的斜率kf(2) (2t4)4.所以切线方程为y4(t2)，即4ty80.