1、山东省聊城市2020-2021学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、单项选择题1. 若直线过两点，则此直线的倾斜角是（ ）A. 30B. 45C. 60D. 90【答案】A【解析】【分析】根据两点的斜率公式，算出直线的斜率，再由倾斜角与斜率的关系和倾斜角的范围，得出倾斜角的大小.【详解】直线过点，直线斜率，即直线的倾斜角满足；，故选：A.【点睛】本题主要考查利用两点的坐标求直线斜率与倾斜角的应用问题，属于基础题.2. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则能使的是（ ）A. ，B. ，C ，D. ，【答案】C【解析】【分析】利用可得，逐一检验即可得正确选项.【详解】对于选项A：，故选项A不正
2、确；对于选项B：，故选项B不正确；对于选项C：，所以，所以，故选项C 正确；对于选项D：，故选项D不正确；故选：C3. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用两直线平行求出的值，再利用两平行线间的距离公式即可求解.【详解】因为直线与直线平行，所以，可得，所以，即，所以两平行间距离公式可得，故选：A4. 某学校计划从名男生和名女生中任选人参加抗疫英雄事迹演讲比赛，记事件为“至少有名女生参加演讲”，则下列事件中与事件对立的是（ ）A. 恰有名女生参加演讲B. 至多有名男生参加演讲C. 恰有名女生参加演讲D. 至多有名女生参加演讲【答案】C
3、【解析】【分析】列举出从名男生和名女生中任选人所包含的基本事件，并列举出事件所包含的基本事件，利用对立事件的定义判断可得出结论.【详解】从名男生和名女生中任选人，所有的基本事件有“名男生名女生参加演讲”、“名男生名女生参加演讲”、“名女生参加演讲”，事件所包含的基本事件有“名男生名女生参加演讲”、“名女生参加演讲”，所以，事件的对立事件为“名男生名女生参加演讲”，即“恰有名女生参加演讲”，故选：C.5. 在四面体中，空间的一点满足，若，共面，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据向量共面定理求解【详解】由题意， ，共面，在在实数唯一实数对，使得，解得故选：B【点睛】结论
4、点睛：本题考查空间向量共面定理空间上任意三个不共面的向量都可以作为一个基底，其他向量都可用基底表示，且表示方法唯一是不共面的向量，则共面6. 经统计某射击运动员随机命中的概率可视为，为估计该运动员射击4次恰好命中3次的概率，现采用随机模拟的方法，先由计算机产生0到9之间取整数的随机数，用0，1，2表示没有击中，用3，4，5，6，7，8，9表示击中，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：7625，0283，7150，6857，0346，4376，8658，7855，1417，55500371，6233，2616，8045，6011，3661，9597，7424，7
5、610，4281根据以上数据，则可估计该运动员射击4次恰好命中3次的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据20组随机数可知该运动员射击4次恰好命中3次的随机数共7组，据此可求出对应的概率【详解】由题意，该运动员射击4次恰好命中3次的随机数为：7625，0346，5550，6233，8045，3661，7424，共7组，则该运动员射击4次恰好命中3次的概率为.故选：C.7. 在正方体中，平面与平面夹角的正弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设正方体的棱长为，连接交于点，连接，证明出，可得出平面与平面的夹角的平面角为，计算出，进而可求得，即可得
6、解.【详解】连接交于点，连接，则，设正方体的棱长为，则，在正方体中，底面，底面，平面，平面，所以，平面与平面的夹角的平面角为，易知，则，.因此，平面与平面的夹角的正弦值为.故选：C.【点睛】本题考查定义法计算面面夹角的正弦值，考查计算能力，属于中等题.8. 排球比赛的规则是局胜制（局比赛中，优先取得局胜利的一方，获得最终胜利，无平局），在某次排球比赛中，甲队在每局比赛中获胜的概率都相等，均为，前局中乙队以领先，则最后乙队获胜的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意可知，事件“最后乙队获胜”的对立事件为最后局均为甲队获胜，利用独立事件和对立事件的概率公式可求得所求事
7、件的概率.【详解】由题意可知，事件“最后乙队获胜”的对立事件为最后局均为甲队获胜，由独立事件的概率公式可得，因此，则最后乙队获胜的概率是.故选：D.二、选择题9. 空间直角坐标系中，下列说法正确的是（ ）A. 点关于坐标平面的对称点的坐标为B. 点在平面面上C. 表示一个与坐标平面平行的平面D. 表示一条直线【答案】BC【解析】【分析】本题首先可以根据与关于坐标平面对称判断出A错，然后根据点纵坐标为判断出B正确，再然后根据横坐标和纵坐标为任意数判断出C正确，最后根据竖坐标为任意数判断出D错.【详解】A项：点关于坐标平面的对称点的坐标为，故A错；B项：因为点纵坐标为，所以点在平面面上，故B正确；
8、C项：，则横坐标和纵坐标为任意数，故与坐标平面平行，故C正确；D项：，说明竖坐标为任意数，表示一个平面，故D错，故选：BC.10. 点在圆上，点在圆上，则（ ）A. 的最小值为0B. 的最大值为7C. 两个圆心所在的直线斜率为D. 两个圆相交弦所在直线的方程为【答案】BC【解析】【分析】求出圆心坐标，求出圆心距后可判断的最大值和最小值，由圆心距判断两圆是否相交，再判断D【详解】由已知，半径为，圆标准方程为，则，A错；，B正确；，C正确；又，两圆相离，不相交，D错故选：BC【点睛】关键点点睛：本题考查两圆的位置关系，判断两圆的位置关系，一般通过圆心距与两圆半径的关系判断相离，外切，相交，内切，内
9、含11. 先后抛掷两颗均匀的骰子，第一次出现的点数记为，第二次出现的点数记为，则下列说法正确的是（ ）A. 时概率为B. 时概率为C. 时的概率为D. 是3的倍数的概率是【答案】AD【解析】【分析】先求出所有的基本事件的个数为个，再求出四个选项中每一个事件发生包含的基本事件的个数，利用古典概率公式计算概率即可判断是否正确，进而得出正确答案.【详解】先后抛掷两颗均匀的骰子，第一次出现的点数记为，第二次出现的点数记为，基本事件的总数为个，对于选项A：包含的基本事件有共个，所以时的概率为，故选项A正确；对于选项B：包含的基本事件有共个，所以时概率为，故选项B不正确；对于选项C：包含的基本事件有共个，
10、所以时的概率为，故选项C不正确；对于选项D：是3的倍数包含的基本事件有，共有个，所以是3的倍数的概率是，故选项D正确，故选：AD【点睛】思路点睛：求关于古典概率模型问题概率的一般步骤，（1）计算所有可能发生的基本事件的总数，（2）计算随机事件发生包含的基本事件的个数，（3）利用古典概率公式计算的.12. 已知事件，且，则下列结论正确的是（ ）A. 如果，那么，B. 如果与互斥，那么，C. 如果与相互独立，那么，D. 如果与相互独立，那么，【答案】ABD【解析】分析】根据互斥事件与相互独立事件的概念及概率公式判断【详解】A若，则，A正确；B与互斥，则，是不可能发生，B正确；C与相互独立，则，C错
11、误；D与相互独立，则与，与也相互独立，同理，D正确故选：ABD【点睛】关键点点睛：本题考查互事件与相互独立事件的概率公式两个概念是不相同的，要注意区别概率公式也不相同，如互斥时，相互独立时，三、填空题13. 设直线，直线.当_时，【答案】【解析】【分析】根据两直线与垂直的等价条件是，列关系求参数即可.【详解】因为两直线垂直，所以，解得.故答案为：.14. 已知甲、乙两球落人盒子的概率分别为和假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_【答案】【解析】【分析】求出甲、乙两球都没有落入盒子概率，利用对立事件的概率公式可求出所求事件的概率.【详解】由题意可知，甲、乙两球都没
12、有落入盒子的概率为，由对立事件的概率公式可知，甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为.故答案为：.15. 若曲线上所有的点均在第二象限内，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】利用方程求出圆心和半径，结合圆上点的横纵坐标取值范围求出a参数的范围即可.【详解】曲线，即表示圆，圆心是，半径为.故圆上任一点满足，又因为任一点在第二象限内，所以且，解得.故答案为：.16. 若为空间直角坐标系的原点，则以为球心，且与平面相切的球的方程是_，切点的坐标为_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】根据题意可知，平面分别交、轴于点、，利用空间向量法计算出点到平面的距离，可求得球的方程，根据平面的法向量结
13、合切点在平面上可求得切点的坐标.【详解】如下图所示：由题意可知，平面分别交、轴于点、，设平面的法向量为，由，可得，取，可得，所以，球的半径为，所以，球的方程为.设切点为，则，可设，可知点在平面上，所以，解得，即点.故答案为：；.【点睛】方法点睛：求点到平面的距离，方法如下：（1）等体积法：先计算出四面体的体积，然后计算出的面积，利用锥体的体积公式可计算出点到平面的距离；（2）空间向量法：先计算出平面的一个法向量的坐标，进而可得出点到平面的距离为.四、解答题17. 在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答与直线垂直；直线的一个方向向量为；与直线平行已知直线过点，_（1）求直
14、线的一般方程；（2）若直线与圆相交于、，求弦长【答案】（1）答案见解析；（2）【解析】【分析】选：（1）求出直线的斜率，可求得直线的斜率，利用点斜式可求得直线的方程，化为点斜式即可；（2）求出圆心到直线的距离，利用勾股定理可求得弦长；选：（1）求出直线的斜率，利用点斜式可求得直线的方程，化为点斜式即可；（2）求出圆心到直线的距离，利用勾股定理可求得弦长；选：（1）求得直线的斜率，利用点斜式可求得直线的方程，化为点斜式即可；（2）求出圆心到直线的距离，利用勾股定理可求得弦长.【详解】选；（1）因为直线的斜率为，且直线与直线垂直，所以，直线的斜率为依题意，直线的方程为即；（2）圆的圆心到直线的距离
15、为，由圆的半径为，可知；选：（1）因为直线的一个方向向量为，所以，直线的斜率为，依题意，直线的方程为，即；（2）圆的圆心到直线的距离为，由圆的半径为，可知；选：（1）因为直线的斜率为，又因为直线与平行，所以，直线的斜率为依题意，直线的方程为，即；（2）圆的圆心到直线的距离为，由圆的半径为，可知.【点睛】结论点睛：已知直线的一般方程为.（1）与直线平行的直线的方程可设为；（2）与直线垂直的直线的方程可设为.18. 某次联欢会上设有一个抽奖游戏抽奖箱中共有16个四种不同颜色且形状大小完全相同的小球，分别代表等奖、二等奖、三等奖、无奖四种奖项其中红球代表一等奖且只有1个，黄球代表三等奖从中任取一个小
16、球，若中二等奖或三等奖的概率为，小华同学获得一次摸奖机会（1）求他不能中奖的概率；（2）若该同学中一等奖或二等奖的概率是，试计算黄球的个数【答案】（1）；（2）4个【解析】【分析】设小华同学任取一个小球，抽得一等奖、二等奖、三等奖、不中奖的事件分别为，它们是彼此互斥事件（1）由可得；（2）由，计算出概率后可得黄球个数【详解】解：（1）设小华同学任取一个小球，抽得一等奖、二等奖、三等奖、不中奖的事件分别为，它们是彼此互斥事件由题意得，由对立事件的概率公式得不能中奖的概率为；（2），又，又，中三等奖的概率为，因此黄球的个数为个19. 如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线都等于1，点，分别是，的
17、中点，设，为空间向量的一组基底，试用基底向量法求解以下各题求：（1）；（2）求异面直线与所成角的余弦值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用向量减法运算和数量积运算直接计算即可；（2）利用向量运算计算与所成的角的余弦值，则其绝对值即是异面直线与所成角的余弦值.【详解】解：（1）由题意，则，故.，；（2）由题意可知，又，记异面直线与所成的角为，则因此异面直线与所成角的余弦值为20. 某大学生命科学学院为激发学生重视和积极参与科学探索的热情和兴趣，提高学生生物学实验动手能力，举行生物学实验技能大赛大赛先根据理论笔试和实验操作两部分进行初试，初试部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，只有理
18、论笔试和实验操作两部分考试都“合格”者才能进入下一轮的比赛在初试部分，甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为，在实际操作考试中“合格”的概率依次为，所有考试是否合格相互之间没有影响（1）假设甲、乙、丙三人同时进行理论笔试与实际操作两项考试，谁获得下一轮比赛的可能性最大？（2）这三人进行理论笔试与实际操作两项考试后，求恰有两人获得下一轮比赛的概率【答案】（1）甲；（2）【解析】【分析】（1）设“甲获下一轮比赛”为事件，“乙获得下一轮比赛”为事件，“丙获得下一轮比赛”为事件，则，以及，的每两次考试之间彼此相互独立分别求得甲、乙、丙获得下一轮的比赛的概率，比较可得答案；（2）设“三人考试后恰
19、有两人获得下一轮比赛”为事件，则根据独立事件的概率公式可求得答案【详解】（1）设“甲获下一轮比赛”为事件，“乙获得下一轮比赛”为事件，“丙获得下一轮比赛”为事件，则，以及，的每两次考试之间彼此相互独立因为，因为，所以甲获得下一轮比赛的可能性最大（2）设“三人考试后恰有两人获得下一轮比赛”为事件，则由，可知即这三人进行理论笔试与实际操作两项考试后，恰有两人获得下一轮比赛的概率为21. 如图所示，在三棱柱中，平面，是的中点（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）在棱上是否存在一点，使得平面与平面所成二面角为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】（1）；（2）存在，点的坐标为【解析】
20、【分析】（1）先以C点为坐标原点建立如图空间直角坐标系，求平面的法向量和向量，再求这两个向量的夹角的余弦值的绝对值即是线面角的正弦值；（2）先设，求平面的法向量为，再根据平面与平面所成二面角，得到 ，即求得点的坐标.【详解】解：（1）如图所示建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则，即令，则所以，所以直线与平面所成角的正弦值为；（2）解：假设在棱上存在一点，使得平面与平面所成二面角为，设，则，设平面的法向量为，则，即，取，则由（1）知平面的法向量为所以，即，而，故故在棱上存在一点，使得平面与平面所成二面角为，点的坐标为【点睛】方法点睛：求线面角的常用方法：1.利用面面垂直的性质定理，得到线
21、面垂直，进而确定线面角中的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；2.在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法解垂线段的长度h，而不必画出线面角，利用h与斜线段长的比值为线面角的正弦值，进行求角；3.建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设是直线l的方向向量，是平面的法向量，利用公式线面角的正弦值等于，求角即可.22. 圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为，（1）若点的坐标为，求直线、的方程；（2）求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标【答案】（1）或；（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）考虑斜率不存在的直线是切线，然后当切线的斜率存在时设切线方程为，由圆心到切线的距离等于半径求出即得；（2）设点坐标，求出以为直径的圆的方程，与已知圆方程相减可得直线方程，整理成关于参数的恒等式，可得定点坐标【详解】解：（1）由题意，当切线的斜率存在时设切线方程为，即由，解得，即当切线的斜率不存在时，方程为满足题意综上所述，所求的切线的方程为或（2）证明：根据题意，点为直线上一动点，设，是圆的切线，是圆与以为直径的两圆的公共弦由于以为直径的圆的方程为，即，又圆的方程为，得，即，则该直线必过点【点睛】结论点睛：本题考查圆的切线方程，相交弦所在直线方程对切线，一般由圆心到切线的距离等于半径去判断求解，而相交两圆方程相减后可得相交弦所在直线方程，如果外切，则得这一条公切线方程