1、3.1变化率与导数、导数的运算考情分析1.导数的实际意义是指瞬时变化率,几何意义是指曲线在某一点处切线的斜率.2.求导公式和运算法则是利用导数研究函数问题的基础,须熟练掌握.3.高考中,通常以选择题或填空题的形式考查导数的几何意义,也可以在大题中考查.导数的运算每年必考,一般不单独命题考查,而是在应用中考查.仅做为一个考点或工具出现,难度不大,但基础性很强.基础知识1.导数的概念(1)函数在处的导数:一般地,函数在处的瞬时变化率,称其为函数在处的导数,记作(2)当的导函数,则2.导数的几何意义函数在处的导数的几何意义,就是曲线在点处切线的斜率,过点P的切线方程为: 3.基本初等函数的导数公式:
2、(1) (c为常数) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 4.导数的运算法则:(1) (2) (3) 注意事项1.曲线yf(x)“在”点P(x0，y0)处的切线与“过”点P(x0，y0)的切线的区别：曲线yf(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，若切线斜率存在时，切线斜率为kf(x0)，是唯一的一条切线；曲线yf(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条2.(1)导数的四则运算法则(2)复合函数的求导法则3.（1）利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆（2）要正确理解直线与
3、曲线相切和直线与曲线只有一个交点的区别（3）正确分解复合函数的结构，由外向内逐层求导，做到不重不漏题型一导数的定义【例1】利用导数的定义求函数f(x)x3在xx0处的导数，并求曲线f(x)x3在xx0处切线与曲线f(x)x3的交点解f(x0) (x2xx0x)3x.曲线f(x)x3在xx0处的切线方程为yx3x(xx0)，即y3xx2x，由得(xx0)2(x2x0)0，解得xx0，x2x0.若x00，则交点坐标为(x0，x)，(2x0，8x)；若x00，则交点坐标为(0,0)【变式1】 利用导数的定义证明奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数证明法一设yf(x)是奇函数，即对定义域内的任意
4、x都有f(x)f(x)f(x)li 则f(x)li li f(x)因此f(x)为偶函数，同理可证偶函数的导数是奇函数法二设yf(x)是奇函数，即对定义域内的任意x都有f(x)f(x)，即f(x)f(x)因此f(x)f(x) f(x)f(x)则f(x)为偶函数同理可证偶函数的导数是奇函数题型二导数的运算【例2】求下列各函数的导数：(1)y；(2)y(x1)(x2)(x3)；(3)ysin；(4)y；解(1)yxx3，y(x3)(x2sin x)x3x22x3sin xx2cos x.(2)法一y(x23x2)(x3)x36x211x6，y3x212x11.法二y(x1)(x2)(x3)(x1)(
5、x2)(x3)(x1)(x2)(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x2x1)(x3)(x1)(x2)(2x3)(x3)(x1)(x2)3x212x11.(3)ysinsin x，y(sin x)cos x.(4)y，y.【变式2】 求下列函数的导数：(1)yxnex；(2)y；(3)yexln x；(4)y(x1)2(x1)解(1)ynxn1exxnexxn1ex(nx)(2)y.(3)yexln xexex.(4)y(x1)2(x1)(x1)(x21)x3x2x1，y3x22x1.题型三求复合函数的导数【例3】求下列复合函数的导数(1)y(2x3)5；(2)y；(3)ysin2；(4)
6、yln(2x5)解(1)设u2x3，则y(2x3)5，由yu5与u2x3复合而成，yf(u)u(x)(u5)(2x3)5u4210u410(2x3)4.(2)设u3x，则y.由yu与u3x复合而成yf(u)u(x)(u)(3x)u(1)u.(3)设yu2，usin v，v2x，则yxyuuvvx2ucos v24sincos2sin.(4)设yln u，u2x5，则yxyuuxy(2x5).【变式3】 求下列函数的导数：(1)y；(2)ysin22x；(3)yexsin 2x; (4)yln.解(1)y2x，(2)y(2sin 2x)(cos 2x)22sin 4x(3)y(ex)sin 2x
7、ex(cos 2x)2ex(2cos 2xsin 2x)(4)y2x.重难点突破【例4】已知函数f(x)ln xax1(aR)(1)当a1时，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)当a时，讨论f(x)的单调性 解析 (1)当a1时，f(x)ln xx1，x(0，)所以f(x)，x(0，)，(1分)因此f(2)1，即曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线斜率为1.又f(2)ln 22，所以曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y(ln 22)x2，即xyln 20.(3分)(2)因为f(x)ln xax1，所以f(x)a，x(0，)(4分)令g(x)ax2x1a，x(0
8、，)当a0时，g(x)x1，x(0，)，所以当x(0,1)时，g(x)0，此时f(x)0，函数f(x)单调递减；当x(1，)时，g(x)0，此时f(x)0，函数f(x)单调递增；(6分)当a0时，由f(x)0，即ax2x1a0，解得x11，x21.a当a时，x1x2，g(x)0恒成立，此时f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递减；(7分)b当0a时，110.x(0,1)时，g(x)0，此时f(x)0，函数f(x)单调递减；x时，g(x)0，此时f(x)0，函数f(x)单调递增；x时，g(x)0，此时f(x)0，函数f(x)单调递减；(9分)c当a0时，由于10，x(0,1)时，g(x)0，
9、此时f(x)0，函数f(x)单调递减；x(1，)时，g(x)0，此时f(x)0，函数f(x)单调递增(11分)综上所述：当a0时，函数f(x)在(0,1)上单调递减，函数f(x)在(1，)上单调递增；当a时，函数f(x)在(0，)上单调递减；当0a时，函数f(x)在(0,1)上单调递减，函数f(x)在上单调递增，函数f(x)在上单调递减(12分)巩固提高1下列求导过程中；()；(logax)；(ax)(eln ax)(exln a)exln aln aaxln a其中正确的个数是()A1 B2 C3 D4答案D2函数f(x)(x2a)(xa)2的导数为()A2(x2a2) B 2(x2a2)C
10、3(x2a2) D3(x2a2)解析f(x)(xa)2(x2a)2(xa)3(x2a2)答案C3曲线y在点M处的切线的斜率为() A B. C D.解析本小题考查导数的运算、导数的几何意义，考查运算求解能力y，把x代入得导数值为.答案B4若f(x)x22x4ln x，则f(x)0的解集为() A(0，) B(1,0)(2，)C(2，) D(1,0)解析令f(x)2x20，利用数轴标根法可解得1x0或x2，又x0，所以x2.故选C.答案C5如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(0)_；li _(用数字作答)答案22 高考资源网版权所有！投稿可联系QQ：1084591801