1、章末综合提升巩固层知识整合(教师用书独具)提升层题型探究直线方程及其应用【例1】过点A(5，4)作一直线l，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形的面积为5，求直线l的方程思路探究已知直线过定点A，且与两坐标轴都相交，围成的直角三角形的面积已知求直线方程时可采用待定系数法，设出直线方程的点斜式，再由面积为5列方程，求直线的斜率解由题意知，直线l的斜率存在设直线为y4k(x5)，交x轴于点，交y轴于点(0，5k4)，S|5k4|5，得25k230k160(无实根)，或25k250k160，解得k或k，所以所求直线l的方程为2x5y100，或8x5y2001求直线方程的主要方法是待定系数法，要掌
2、握直线方程五种形式的适用条件及相互转化，能根据条件灵活选用方程，当不能确定某种方程条件具备时要另行讨论条件不满足的情况2运用直线系方程的主要作用在于能使计算简单1过点P(1,0)，Q(0,2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x轴上截距之差的绝对值为1，求这两条直线的方程解(1)当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为x1，x0，它们在x轴上截距之差的绝对值为1，满足题意；(2)当直线的斜率存在时，设其斜率为k，则两条直线的方程分别为yk(x1)，ykx2令y0，分别得x1，x由题意得1，即k1则直线的方程为yx1，yx2，即xy10，xy20综上可知，所求的直线方程为x1，x0，或xy
3、10，xy20直线的位置关系【例2】已知两条直线l1: (3m)x4y53m，l2 : 2x(5m)y8当m分别为何值时，l1与l2：(1)平行？(2)垂直？思路探究已知两直线的方程中都含有参数，求不同的位置关系时参数的取值，可以利用平行(或垂直)的条件列方程求解解(1)由 (3m)(5m)80，解得m1或m7经过验证：m1时两条直线重合，舍去m7时，两条直线平行(2)m5时，两条直线不垂直m5时，由两条直线相互垂直可得：1，解得mm时两条直线相互垂直利用直线的方程判定两条直线的平行或垂直关系是这部分知识常涉及的题型求解时，可以利用斜率之间的关系判定；若方程都是一般式，知道平行或垂直关系，求参
4、数的值时也可用如下方法：直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(1)l1l2时，可令A1B2A2B10，解得参数的值后，再代入方程验证，排除重合的情况；(2)l1l2时，可利用A1A2B1B20直接求参数的值2已知点A(2,2)和直线l：3x4y200(1)求过点A，且和直线l平行的直线方程；(2)求过点A，且和直线l垂直的直线方程解(1)因为所求直线与l：3x4y200平行，所以设所求直线方程为3x4ym0又因为所求直线过点A(2,2)，所以3242m0，所以m14，所以所求直线方程为3x4y140(2)因为所求直线与直线l：3x4y200垂直，所以设所求直线方程为4x3yn
5、0又因为所求直线过点A(2,2)，所以4232n0，所以n2，所以所求直线方程为4x3y20距离问题【例3】已知两条直线l1：axby40，l2：(a1)xyb0，求分别满足下列条件的a、b的值(1)直线l1过点(3，1)，并且直线l1与直线l2垂直；(2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1、l2的距离相等解(1)l1l2，a(a1)(b)10即a2ab0又点(3，1)在l1上，3ab40由解得a2，b2(2)l1l2且l2的斜率为1a，l1的斜率也存在，1a，即b故l1和l2的方程可分别表示为l1：(a1)xy0，l2：(a1)xy0原点到l1与l2的距离相等，4，解得a2或a因此或
6、距离公式的运用(1)距离问题包含两点间的距离，点到直线的距离，两平行直线间的距离(2)牢记各类距离的公式并能直接应用，解决距离问题时，往往将代数运算与几何图形的直观分析相结合3已知正方形中心为点M(1,0)，一条边所在直线的方程是x3y50，求其他三边所在直线的方程解正方形中心到直线x3y50的距离d设与直线x3y50平行的直线方程为x3yC10由正方形的性质，得，解得C15(舍去)或C17所以与直线x3y50相对的边所在的直线方程为x3y70设与直线x3y50垂直的边所在的直线方程为3xyC20由题意，得，解得C29或C23所以另两边所在直线的方程为3xy90和3xy30求圆的方程【例4】求
7、圆心在直线3x4y10上，且经过两圆x2y2xy20与x2y25的交点的圆的方程思路探究解答本题可利用过两圆交点的圆系方程求解，也可求出两交点坐标，再利用待定系数法求解解法一：设所求圆为x2y2xy2(x2y25)0，化为一般式，得x2y2xy0故圆心坐标为，代入直线3x4y10，得再把代入所设方程，得x2y22x2y110，故所求圆的方程为x2y22x2y110法二：解方程组得两圆的交点为A(1，2)和B(2，1)设所求圆的方程为x2y2DxEyF0A，B在圆上，且圆心在直线3x4y10上，解得所求圆的方程是x2y22x2y110求圆的方程主要是联系圆系方程、圆的标准方程和一般方程，利用待定
8、系数法解题一般地，当已知圆的圆心或半径的几何特征时，设圆的标准方程，并结合圆的几何性质求解；当已知圆上三个点时，设圆的一般方程；当所求圆经过直线与圆、圆与圆的交点时，常利用圆系方程来解答过两个已知圆x2y2D1xE1yF10和x2y2D2xE2yF20的交点的圆系方程为x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0(1)4圆心在直线5x3y8上，且圆与两坐标轴均相切，求此圆的标准方程解设所求圆的标准方程为(xx0)2(yy0)2r2(r0)因为圆与两坐标轴均相切，故圆心坐标满足x0y00或x0y00又圆心在直线5x3y8上，所以5x03y08由得由得所以圆心坐标为(4,4)或(1，1)
9、，相应的半径为r4或r1，故所求圆的标准方程为(x4)2(y4)216或(x1)2(y1)21直线与圆、圆与圆的位置关系【例5】已知圆M：(x1)2(y1)24，直线l过点P(2,3)且与圆M交于A，B两点，且|AB|2，求直线l的方程思路探究分斜率存在与不存在两种情况：(1)(2)解(1)当直线l存在斜率时，设直线l的方程为y3k(x2)，即kxy32k0示意图如图，作MCAB于C在RtMBC中，|BC|AB|，|MB|2，故|MC|1，由点到直线的距离公式得1，解得k故直线l的方程为3x4y60(2)当直线l的斜率不存在时，其方程为x2，且|AB|2，所以符合题意综上所述，直线l的方程为3
10、x4y60或x21直线与圆的位置关系是高考考查的重点，切线问题更是重中之重，判断直线与圆的位置关系以几何法为主，解题时应充分利用圆的几何性质以简化解题过程2解决圆与圆的位置关系的关键是抓住它的几何特征，利用两圆圆心距与两圆半径的和、差的绝对值的大小来确定两圆的位置关系，以及充分利用它的几何图形的形象直观性来分析问题5求圆O：x2y236与圆M：x2y210y160的公切线的方程解如图，易知两圆相交，公切线有两条由圆M的方程易得M(0,5)，r3设两圆的公切线与圆O相切于点B(x0，y0)，则公切线方程为x0xy0y36点M到公切线的距离等于3，3xy36，点M在公切线的下方，(5y036)18
11、，即y0从而x0故公切线方程为xy360或xy360，即4x3y300或4x3y300轨迹问题【例6】如图，圆O1与圆O2的半径都是1，|O1O2|4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM，PN，(M，N分别为切点)，使得|PM|PN|，试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程思路探究由PMO1与PNO2均为直角三角形表示出切线长|PM|与|PN|，建立坐标系后，设出P点坐标即可由等式|PM|PN|求出P点的轨迹方程解如图，以O1O2所在直线为x轴，线段|O1O2|的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，则O1(2，0)，O2(2,0)，设动点P的坐标为(x，y)在RtPMO1中，|PM|2|P
12、O1|21，在RtPNO2中，|PN|2|PO2|21又因为|PM|PN|，所以|PM|22|PN|2，即|PO1|212(|PO2|21)，即|PO1|212|PO2|2，所以(x2)2y212(x2)2y2，整理得x2y212x30，即为所求点P的轨迹方程1求动点的轨迹方程是解析几何中的重要题型，解答这类问题常用的方法有：直接法、定义法、消元法、代数法等2求轨迹方程的步骤：(1)建系设点；(2)列出动点满足的轨迹条件；(3)把轨迹条件坐标化；(4)化简整理；(5)检验在检验中要排除不符合要求的点，或者补充上漏掉的部分6等腰三角形的顶点是A(4,2)，底边一个端点是B(3,5)，求另一个端点
13、C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么解设另一端点C的坐标为(x，y) 依题意，得|AC|AB|由两点间距离公式，得，整理得(x4)2(y2)210这是以点A(4,2)为圆心，以为半径的圆，如图所示，又因为A、B、C为三角形的三个顶点，所以A、B、C三点不共线即点B、C不能重合且B、C不能为圆A的一直径的两个端点因为点B、C不能重合，所以点C不能为(3,5)又因为点B、C不能为一直径的两个端点，所以4，且2，即点C不能为(5，1)故端点C的轨迹方程是(x4)2(y2)210(除去点(3,5)和(5，1)综上，它的轨迹是以点A(4,2)为圆心，为半径的圆，但除去(3,5)和(5，1)两点圆锥曲线定义
14、的应用【例7】(1)已知F是双曲线1的左焦点，点A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|PA|的最小值为()A9B5C8D4(2)若点M(1,2)，点C是椭圆1的右焦点，点A是椭圆的动点，则|AM|AC|的最小值是 (1)A(2)82(1)设右焦点为F，则F(4,0)，依题意，有|PF|PF|4，所以|PF|PA|PF|PA|4|AF|4549(2)设点B为椭圆的左焦点，则B(3,0)，点M(1,2)在椭圆内，那么|BM|AM|AC|AB|AC|2a，所以|AM|AC|2a|BM|，而a4，|BM|2，所以(|AM|AC|)min82研究有关点间的距离的最值问题时，常用定义把曲线上的点
15、到焦点的距离转化为到另一焦点的距离或利用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，再结合几何图形利用几何意义去解决有关的最值问题.提醒：应用定义解决问题时，需紧扣其内涵，注意限制条件是否成立，然后得到相应的结论.7以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点已知|AB|4，|DE|2，则C的焦点到准线的距离为()A2 B4 C6 D8B设抛物线的方程为y22px(p0)，圆的方程为x2y2r2|AB|4，|DE|2，抛物线的准线方程为x，不妨设A，D点A，D在圆x2y2r2上，85，p4(负值舍去)C的焦点到准线的距离为48在平面直角坐标系中，两点P1(x1，y1)
16、，P2(x2，y2)间的“L距离”定义为|P1P2|x1x2|y1y2|，则平面内与x轴上两个不同的定点F1，F2的“L距离”之和等于定值(大于|F1F2|)的点的轨迹可以是图中的()ABCDA设F1(c,0)，F2(c,0)，P(x，y)，则点P满足：|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)，代入坐标，得|xc|xc|2|y|2a当y0时，y当y0时，y结合选项可知A正确，故选A圆锥曲线性质的应用【例8】(1)已知O为坐标原点，F是椭圆C：1(ab0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点P为C上一点，且PFx轴过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E若直线BM经过OE的中点，则C的
17、离心率为()A B C D(2)已知双曲线1(a0，b0)的离心率e，点A(0,1)与双曲线上的点的最小距离是，求双曲线方程(1)A如图所示，由题意得A(a,0)，B(a,0)，F(c,0)由PFx轴得P设E(0，m)，又PFOE，得，则|MF|又由OEMF，得，则|MF|由得ac(ac)，即a3c，e故选A(2)解e，a24b2，设双曲线1上一点B(x，y)，则|AB|2x2(y1)24b24y2(y1)25y22y4b2154b2当y时，|AB|取得最小值，为，即，b21，双曲线方程为y21圆锥曲线的性质综合性强，需弄清每个性质的真正内涵，然后正确地应用到解题中去.9设F为双曲线C：1(a
18、0，b0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2y2a2交于P，Q两点，若|PQ|OF|，则C的离心率为()A B C2 DA如图：以OF为直径的圆的方程为2y2，又x2y2a2，得交线PQ的直线方程为：x，代入，得y，又|PQ|OF|，则2c，ab，e，故选A直线与圆锥曲线的位置关系问题【例9】已知直线l：xmy1(m0)恒过椭圆C：1(ab0)的右焦点F，且交椭圆C于A、B两点(1)若抛物线x24y的焦点为椭圆C的上顶点，求椭圆C的方程；(2)对于(1)中的椭圆C，若直线l交y轴于点M，且1，2，当m变化时，求12的值解 (1)根据题意，直线l：xmy1(m0)过椭圆C：1(ab
19、0)的右焦点F，F(1,0)，c1，又抛物线x24y的焦点为椭圆C的上顶点，b，b23a2b2c24，椭圆C的方程为1(2)直线l与y轴交于M，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(3m24)y26my90，144(m21)0，y1y2，y1y2，(*)，又由1，1(1x1，y1)，11，同理21，1222，12直线与圆锥曲线的位置关系，主要涉及判定直线与圆锥曲线的交点个数、求弦长、最值等问题，它是圆锥曲线的定义、性质与直线的基础知识的综合应用，涉及数形结合、函数与方程、分类讨论等数学思想方法.直线与圆锥曲线的位置关系主要有：(1)有关直线与圆锥曲线公共点的个数问题，应注意数形结合；(2
20、)有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系；(3)有关垂直问题，要注意运用斜率关系及根与系数的关系，设而不求，简化运算.10如图所示，在直角坐标系xOy中，点P到抛物线C：y22px(p0)的准线的距离为点M(t,1)是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB的中点Q(m，n)在直线OM上(1)求曲线C的方程及t的值；(2)记d，求d的最大值解(1)y22px(p0)的准线为x，1，p，抛物线C的方程为y2x又点M(t,1)在曲线C上，t1(2)由(1)知，点M(1,1)，从而nm，即点Q(m，m)，依题意，直线AB的斜率存在，且不为0，设直线AB的斜率为k(k0)，且A(x1，y
21、1)，B(x2，y2)，由得(y1y2)(y1y2)x1x2，故k2m1，直线AB的方程为ym(xm)，即x2my2m2m0由消去x，整理得y22my2m2m0，4m4m20，y1y22m，y1y22m2m从而|AB|y1y2|2d2m(1m)1，当且仅当m1m，即m时，上式等号成立，又m满足4m4m20d的最大值为1数学思想在圆锥曲线中的应用【例10】已知定点F(0,1)和直线l1：y1，过定点F与直线l1相切的动圆的圆心为点C(1)求动点C的轨迹方程；(2)过点F的直线l2交轨迹于两点P，Q，交直线l1于点R，求的最小值解(1)由题设知点C到点F的距离等于它到l1的距离，点C的轨迹是以F为
22、焦点，l1为准线的抛物线，动点C的轨迹方程为x24y(2)由题意知，直线l2的方程可设为ykx1(k0)，与抛物线方程联立消去y，得x24kx40设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x24k，x1x24又易得点R的坐标为，(kx12)(kx22)(1k2)x1x2(x1x2)44(1k2)4k448k22，当且仅当k21时取等号，42816，即的最小值为16函数与方程思想、分类讨论思想、等价转化思想及数形结合思想在圆锥曲线的综合问题中应用广泛，主要涉及最值、范围、探索问题及曲线方程的求法等问题.11设圆x2y22x150的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D
23、两点，过B作AC的平行线交AD于点E(1)求证|EA|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围解(1)证明：因为|AD|AC|，EBAC，所以EBDACDADC，所以|EB|ED|，故|EA|EB|EA|ED|AD|又圆A的标准方程为(x1)2y216，从而|AD|4，所以|EA|EB|4由题设得A(1,0)，B(1,0)，|AB|2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为1(y0)(2)当l与x轴不垂直时，设l的方程为yk(x1)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)由得
24、(4k23)x28k2x4k2120则x1x2，x1x2所以|MN|x1x2|过点B(1,0)且与l垂直的直线m的方程为y(x1)，点A到直线m的距离为，所以|PQ|24，故四边形MPNQ的面积S|MN|PQ|12可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12,8)当l与x轴垂直时，其方程为x1，|MN|3，|PQ|8，四边形MPNQ的面积为12综上，四边形MPNQ面积的取值范围为12,8)培优层素养升华(教师用书独具) 【例题】已知抛物线C1的方程为x22y，其焦点为F，AB为过焦点F的抛物线C1的弦，过A，B分别作抛物线的切线l1，l2，设l1，l2相交于点P(1)求的值；(
25、2)如果圆C2的方程为x2y28，且点P在圆C2内部，设直线AB与C2相交于C，D两点，求|AB|CD|的最小值解(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为F，所以设AB的方程为ykx， 代入抛物线方程得x22kx10，所以x1，x2为方程的解，从而x1x22k，x1x21，又因为kPAxx2x2，因此kPAkPBx1x21，即PAPB，所以0(2)由(1)知x1x21，联立C1在点A、B处的切线方程分别为yx1xx，yx2xx，得到交点P由点P在圆x2y28内得231，又因为|AB|y1y21，|CD|2，其中d为O到直线AB的距离所以|AB|CD|2又AB的方程为(x1x2)xy0，
26、所以d，令mxx，由(x1x2)231得m33又由mx2，所以m2,33)，从而|AB|CD|所以，当m2时，(|AB|CD|)min2该题以直线与抛物线的位置关系为载体，考查焦点弦的弦长，平面向量的数量积，函数的最值等，将问题综合化.重点考查学生的数学运算，数据分析的核心素养；同时也考查学生的转化与化归能力.通过该题的学习，学生能进一步发展数学运算的能力，通过运算促进了数学思维的发展，形成规范化思考问题的品质，养成严谨求实的科学精神.已知圆C经过椭圆1的右顶点A2、下顶点B1和上顶点B2(1)求圆C的标准方程；(2)直线l经过点G(6,1)且与直线xy10垂直，P是直线l上的动点，过点P作圆C的切线，切点分别为M，N，求四边形PMCN面积的最小值解(1)圆C经过椭圆1的右顶点A2、下顶点B1和上顶点B2设圆心为(a,0)，则半径为8a，则(8a)2a242，解得a3，故所求圆C的标准方程为(x3)2y225(2)易得l：xy50，圆心C(3,0)到l的距离为d4，圆的半径为r5，当CPl时，四边形PMCN面积最小，此时|PM|，四边形PMCN面积的最小值为S|PM|r5