1、2020-2021学年江苏省南通市高二（下）期末数学试卷一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1已知集合Ax|1x2，Bx|x24x，xN，则AB（）A0，2B（0，2C0，1，2D1，22已知复数z+i，则z2+z（）A1B1C+iDi3已知a2，blog25，clog2，则（）AbacBcbaCacbDabc4已知等比数列an的前6项和为，公比为，则a6（）ABCD245英国数学家泰勒（BTaylor，16851731）发现了如下公式：sinxx+根据该公式可知，与1+的值最接近的是（）Acos57.3Bcos147.3Csin57.3Dsin（32.7）6设F1，F2为椭圆C：+
2、1（ab0）的两个焦点点P在C上，且PF1，F1F2，PF2成等比数列，则C的离心率的最大值为（）ABCD17为贯彻落实中共中央国务院关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见的文件精神，某学校推出了植物栽培、手工编织、实用木工、实用电工4门校本劳动选修课程，要求每个学生从中任选2门进行学习，则甲、乙两名同学的选课中恰有一门课程相同的概率为（）ABCD8若x1，x2（0，），则“x1x2”是“x2sinx1x1sinx2”成立的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得
3、5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9如图是函数f（x）cos（x+）的部分图象，则（）Af（x）的最小正周期为B图象关于（，0）对称Cf（）1Df（x）的图象向右平移个单位，可以得到ycos2x的图象10已知四棱锥PABCD的底面是矩形，PD平面ABCD，则（）APCD是PC与AB所成的角BPAD是PA与平面ABCD所成的角CPBA是二面角PBCA的平面角D作AEPB于E，连结EC，则AEC是二面角APBC的平面角11过抛物线C：y22px（p0）的焦点F的直线与C相交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点若|PQ|的最小值为6，则（）A抛物线C的方程为y26xBPQ的中点到准线的距离
4、的最小值为3Cy1y236D当直线PQ的倾斜角为60时，F为PQ的一个四等分点12在ABC中，设，则下列命题正确的是（）A若0，则ABC为钝角三角形B+0C若，则|D若|，则|三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13若（x+）6的展开式中x的系数为30，则a 14某公司于2021年1月推出了一款产品A，现对产品上市时间x（单位：月）和市场占有率y进行统计分析，得到如表数据：x12345y0.0020.0050.0100.0150.018由表中数据求得线性回归方程为0.0042x+，则当x10时，市场占有率y约为 15已知f（x）是奇函数，当x0时，f（x）ln若f（e2）1，则a
5、16一个正四棱台的侧面与底面所成的角为60，且下底面边长是上底面边长的2倍若该棱台的体积为，则其下底面边长为 ，外接球的表面积为 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17设等差数列an的前n项和为Sn，且a10，S63（a71）（1）求数列an的通项公式；（2）设bn2，求满足不等式+（b1+b2+b3+bn）的正整数n的集合18在asinBbsin；S；asinC+acosCb+c这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并回答问题问题：在ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，S为ABC的面积，D是BC的中点若a，b2，且_，求A及AD的长19
6、某中学高三年级组为了解学生主动预习与学习兴趣是否有关，随机抽取一个容量为n的样本进行调查调查结果表明，主动预习的学生占样本容量的，学习兴趣高的学生占样本容量的，主动预习且学习兴趣高的学生占样本容量的（1）完成下面22列联表若有97.5%的把握认为主动预习与学习兴趣有关，求样本容量n的最小值；学习兴趣高学习兴趣一般合计主动预习nn不太主动预习合计nn（2）该校为了提高学生的数学学习兴趣，用分层抽样的方法从“学习兴趣一般”的学生中抽取10人，组成数学学习小组，现从该小组中随机抽取3人进行摸底测试，记3人中“不太主动预习”的人数为X，求X的分布列和数学期望E（X）附：K2，其中na+b+c+dP（K
7、2k0）0.100.050.0250.0100.0050.001k02.0763.8415.0246.6357.87910.82820如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，ABCD，BAD60，ABADCD2，E为棱PD上的一点，且DE2EP2（1）证明：PB平面AEC；（2）求二面角AECD的余弦值21设双曲线C：1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线C的左、右准线与其一条渐近线y2x的交点分别为A，B，四边形AF1BF2的面积为4（1）求双曲线C的方程；（2）已知l为圆O：x2+y2的切线，且与C相交于P，Q两点，求22设函数f（x）ax1+ex，已知x0是函数g（x
8、）f（x）2x的极值点（1）求a；（2）当x0，）时，若f（x）msin2x，求实数m的取值范围参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1已知集合Ax|1x2，Bx|x24x，xN，则AB（）A0，2B（0，2C0，1，2D1，2解：集合Ax|1x2，Bx|x24x，xNx|0x4，xN1，2，3，AB1，2故选：D2已知复数z+i，则z2+z（）A1B1C+iDi解：z+i，z2+zz（z+1）故选：A3已知a2，blog25，clog2，则（）AbacBcbaCacbDabc解：a2，0a1，blog25log2，clog2，log2log2，即bc0acb，故选：C4已知等
9、比数列an的前6项和为，公比为，则a6（）ABCD24解：根据题意，等比数列an的前6项和为，公比为，则有S6，解可得a124，则a6a1q5；故选：B5英国数学家泰勒（BTaylor，16851731）发现了如下公式：sinxx+根据该公式可知，与1+的值最接近的是（）Acos57.3Bcos147.3Csin57.3Dsin（32.7）解：由题意可知，sin（1）1+，因为1弧度57.3，所以sin（1）sin（57.3），由诱导公式可得sin（）sin，sincos（），cos（）cos，所以sin（57.3）sin57.3cos32.7cos（18032.7）cos147.3，则与1+
10、的值最接近的是cos147.3故选：B6设F1，F2为椭圆C：+1（ab0）的两个焦点点P在C上，且PF1，F1F2，PF2成等比数列，则C的离心率的最大值为（）ABCD1解：因为P在椭圆上，由椭圆的定义得PF1+PF22a；由PF1，F1F2，PF2成等比数列，所以（2c）2PF1PF2；由均值不等式及，得a2c；所以，当且仅当PF1PF2时，等号成立故选：A7为贯彻落实中共中央国务院关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见的文件精神，某学校推出了植物栽培、手工编织、实用木工、实用电工4门校本劳动选修课程，要求每个学生从中任选2门进行学习，则甲、乙两名同学的选课中恰有一门课程相同的概率为（）
11、ABCD解：某学校推出了植物栽培、手工编织、实用木工、实用电工4门校本劳动选修课程，要求每个学生从中任选2门进行学习，甲、乙两名同学的选课包含的基本事件个数n36，甲、乙两名同学的选课中恰有一门课程相同包含的基本事件个数m24，则甲、乙两名同学的选课中恰有一门课程相同的概率为P故选：A8若x1，x2（0，），则“x1x2”是“x2sinx1x1sinx2”成立的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解：x1，x2（0，），要使x2sinx1x1sinx2即使，令f（x），x（0，），f（x），令h（x）xcosxsinx，h（x）cosxxsinxcosxxsin
12、x0，故h（x）xcosxsinx在（0，）上为减函数，且h（0）0，故f（x）0，故f（x）在（0，）上为减函数，故“x1x2”是“”的充要条件，即“x1x2”是“x2sinx1x1sinx2”成立的充要条件，故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9如图是函数f（x）cos（x+）的部分图象，则（）Af（x）的最小正周期为B图象关于（，0）对称Cf（）1Df（x）的图象向右平移个单位，可以得到ycos2x的图象解：由图象可知，所以f（x）的最小正周期为，故选项A正确；因为，可得2，
13、又为“五点法”中的第二个点，则，解得，所以，因为0，则（，0）不是f（x）的对称中心，故选项B错误；，故选项C正确；的图象向右平移个单位，可得函数，故选项D错误故选：AC10已知四棱锥PABCD的底面是矩形，PD平面ABCD，则（）APCD是PC与AB所成的角BPAD是PA与平面ABCD所成的角CPBA是二面角PBCA的平面角D作AEPB于E，连结EC，则AEC是二面角APBC的平面角解：作出图象如图所示，因为ABCD是矩形，则AB/CD，所以PCD是PC与AB所成的角，故选项A正确；因为PD平面ABCD，则PA在平面ABCD内的射影为AD，所以PAD是PA与平面ABCD所成的角，故选项B正确
14、；因为PD平面ABCD，BC平面ABCD，则BCPD，又BCCD，CDPDD，CD，PD平面PCD，所以BC平面PCD，PC平面PCD，则PCBC，又CDBC，故PCD为二面角PBCA的平面角，故选项C错误；作AEPB于E，连结EC，因为没有条件可以判断EC是否垂直PB，所以不能确定AEC是二面角APBC的平面角，故选项D错误故选：AB11过抛物线C：y22px（p0）的焦点F的直线与C相交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点若|PQ|的最小值为6，则（）A抛物线C的方程为y26xBPQ的中点到准线的距离的最小值为3Cy1y236D当直线PQ的倾斜角为60时，F为PQ的一个四等分点解：当斜
15、率不存在时，即PQ过抛物线的焦点，且垂直x轴，|PQ|2p，当斜率存在时，设直线PQ的方程为，设P（x1，y1），P（x2，y2），联立直线PQ与抛物线方程，可得，由韦达定理，可得，由抛物线的定义，可得|PQ|2p，综合以上两种情况可得，当斜率不存在时，即PQ过抛物线的焦点，且垂直x轴，|PQ|取得最小值，|PQ|的最小值为6，2p6，即p3，抛物线的方程为y26x，故A选项正确，PQ的中点到准线的距离最小值为3，故B选项正确，当斜率不存在时，两交点坐标为（），故C选项错误，当直线PQ的倾斜角为60时，可得k，解得p，将k，代入中，可得12x220px+3p20，解得两根为，不妨设，由抛物线得
16、的定义可得，|PF|，|FQ|，即，即F为PQ的一个四等分点，故D选项正确故选：ABD12在ABC中，设，则下列命题正确的是（）A若0，则ABC为钝角三角形B+0C若，则|D若|，则|解：对于A，00|cosC0cosC0，又C（0，），所以，故不能判断ABC 是钝角三角形，故A错误；对于B，+0|cos（C）+|cos（A）+|cos（B）0，|cosC+|cosA+|cosB0，+，+，显然成立，故B正确；对于C，|cos（C）|cos（A）|cosC|cosA，不能得到 与 的大小关系，故C错误；对于D，|+|+|，设AB的中点为M，BC的中点为N，则+2，+2，于是|，在BCM中，由余
17、弦定理可得，在BNA 中，由余弦定理可得cosB，所以，又MCAN，所以BABC，即故D正确故选：BD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13若（x+）6的展开式中x的系数为30，则a解：因为（x+）6的展开式的通项公式为，、令6r1，则r5，所以，因为x的系数为30，则，解得故答案为：14某公司于2021年1月推出了一款产品A，现对产品上市时间x（单位：月）和市场占有率y进行统计分析，得到如表数据：x12345y0.0020.0050.0100.0150.018由表中数据求得线性回归方程为0.0042x+，则当x10时，市场占有率y约为 0.0394解：由题意，因为线性回归方程为
18、0.0042x+，则0.010.004230.0026，所以0.0042x0.0026，将x10代入，可得0.0042100.00260.0394故答案为：0.039415已知f（x）是奇函数，当x0时，f（x）ln若f（e2）1，则ae解：根据题意，f（x）是奇函数，若f（e2）1，则f（e2）1，当x0时，f（x）ln，则f（e2）ln（）1，则ae，故答案为：e16一个正四棱台的侧面与底面所成的角为60，且下底面边长是上底面边长的2倍若该棱台的体积为，则其下底面边长为 2，外接球的表面积为 解：设正四棱台下底面边长为2x，依题意可得，正四棱台的高h，棱台的体积为，（），解得x1，则正四棱
19、台的下底面边长为2；正四棱台上底面对角线长为，下底面对角线长为，设上底面中心为O1，下底面中心为O2，四棱台外接球半径为R，若外接球球心O在线段O1O2上，由，此方程无解；若外接球球心O在线段O1O2的延长线上，由，解得：解得：，外接球的表面积为4故答案为：2；四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17设等差数列an的前n项和为Sn，且a10，S63（a71）（1）求数列an的通项公式；（2）设bn2，求满足不等式+（b1+b2+b3+bn）的正整数n的集合解：（1）设等差数列an的公差为d，因为a10，S63（a71），所以15d3（6d1），解得d1，
20、所以数列an的通项公式为ann1；（2）因为bn22n1，所以b1+b2+b3+bn，所以+，因为+（b1+b2+b3+bn），所以，即22n92n+80，解得12n8，所以0n3，又n为正整数，所以n1，2，故正整数n的集合为1，218在asinBbsin；S；asinC+acosCb+c这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并回答问题问题：在ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，S为ABC的面积，D是BC的中点若a，b2，且_，求A及AD的长解：asinBbsin，由正弦定理可得：sinAsinBsinBsin，又因为B（0，），所以sinB0，所以sinAsincos，即2s
21、incoscos，在三角形中，A（0，），则（0，0，所以cos0，所以可得sin，所以或，可得A或（舍）由正弦定理可得，而a，b2，所以sinBsinA，cosB，cosCcos（B+A）cosBcosA+sinAsinB+，在ADC中，DC，由余弦定理可得AD；S；所以可得cbcosAbcsinA，所以可得tanA，A（0，），所以A，后面解法同；asinC+acosCb+c，由正弦定理可得：sinAsinC+sinAcosCsinB+sinC，在三角形中，sinBsin（A+C）sinAcosC+cosAsinC，所以sinAsinCcosAsinC+sinC，sinC0，所以sinAc
22、osA1，即2sin（A）1，所以sin（A），所以A或A，可得A或A（舍），后面计算同，综上所述：A，AD19某中学高三年级组为了解学生主动预习与学习兴趣是否有关，随机抽取一个容量为n的样本进行调查调查结果表明，主动预习的学生占样本容量的，学习兴趣高的学生占样本容量的，主动预习且学习兴趣高的学生占样本容量的（1）完成下面22列联表若有97.5%的把握认为主动预习与学习兴趣有关，求样本容量n的最小值；学习兴趣高学习兴趣一般合计主动预习nn不太主动预习合计nn（2）该校为了提高学生的数学学习兴趣，用分层抽样的方法从“学习兴趣一般”的学生中抽取10人，组成数学学习小组，现从该小组中随机抽取3人进行
23、摸底测试，记3人中“不太主动预习”的人数为X，求X的分布列和数学期望E（X）附：K2，其中na+b+c+dP（K2k0）0.100.050.0250.0100.0050.001k02.0763.8415.0246.6357.87910.828解：（1）22列联表如下： 学习兴趣高学习兴趣一般合计主动预习 不太主动预习 合计 n则K2，因为有97.5%的把握认为主动预习与学习兴趣有关，所以5.024，解得n251.248，结合题意，正整数n是15的倍数，所以n的最小值为270；（2）由（1）可知，“学习兴趣一般”的学生中，“主动预习”与“不太主动预习”的学生人数之比为4：1，因此用分层抽样的方法
24、，从“学习兴趣一般”的学生中抽取10人中，“不太主动预习”的人数为2，所以XH（3，2，10），所以P（X0），P（X1）P（X2），所以X的分布列为：X 0 1 2P 则E（X）20如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，ABCD，BAD60，ABADCD2，E为棱PD上的一点，且DE2EP2（1）证明：PB平面AEC；（2）求二面角AECD的余弦值【解答】（1）证明：连结BD交AC于点O，连结OE，在底面ABCD中，因为AB/CD，ABCD，由ABOCDO，可得，因为DE2EP，即，所以在BDP中，故EO/PB，因为EO平面AEC，PB平面AEC，所以PB/平面AEC；（2）解：取A
25、B的中点H，连结DH，因为BAD60，ABAD，所以ABD为等边三角形，则DHAB，因为AB/CD，则DHCD，因为PD平面ABCD，又DH，CD平面ABCD，所以PDDH，PDCD，以点D为坐标原点，建立空间直角坐标如图所示，因为DHCD，PDDH，PDCDD，PD，CD平面PCD，则DH平面PCD，因为AD2，BAD60，所以DH，平面PCD的一个法向量为，因为AB，DE2EP2，故，所以，设平面ACE的法向量为，则，即，令x5，则，故，所以，故二面角AECD的余弦值21设双曲线C：1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线C的左、右准线与其一条渐近线y2x的交点分别为A，B，四
26、边形AF1BF2的面积为4（1）求双曲线C的方程；（2）已知l为圆O：x2+y2的切线，且与C相交于P，Q两点，求解：（1）设F1F22c，由直线y2x是双曲线C的一条渐近线，可得，因为双曲线C的准线方程为，则，可得，所以，由双曲线的对称性，可得4a2，结合四边形AF1BF2的面积为4，可得4a24，解得a1，结合，可得b2，所以双曲线C的方程为；（2）当直线l的斜率存在时，对于圆O：x2+y2，不妨考虑l：，则由，可得，所以，所以；当直线l的斜率存在时，设l：ykx+m，因为这些l与C相交于P，Q两点，所以k2，因为这些PQ与圆O相切，所以，即（*），设P（x1，y1），Q（x2，y2），联
27、立方程组，可得（4k2）x22kmx（m2+4）0（k2），结合（*），可得（2km）2+4（4k2）（m2+4），则，所以x1x2+y1y2x1x2+（kx1+m）（kx2+m），结合（*），可得综上所述，022设函数f（x）ax1+ex，已知x0是函数g（x）f（x）2x的极值点（1）求a；（2）当x0，）时，若f（x）msin2x，求实数m的取值范围解：（1）因为f（x）ax1+ex，所以g（x）（a2）x1+ex，则g（x）a2+ex，因为x0是函数g（x）的极值点，则g（0）0，解得a1，当a1时，g（x）ex1，令g（x）0，解得x0，当x0时，g（x）0，则g（x）单调递减，当x
28、0时，g（x）0，则g（x）单调递增，所以x0是函数g（x）的极值点，故a1；（2）由（1）可知，f（x）x1+ex，且f（0）0，因为f（x）1+ex0，所以f（x）在0，）上单调递增，则当x0，）时，f（x）f（0），即f（x）0，当m0时，msin2x0，所以f（x）msin2x恒成立；当m0时，令h（x）f（x）msin2xx1+exmsin2x，x0，），则h（x）1+ex2mcos2x，x0，），若0m1，x0，），则h（x）1+ex2mcos2x1+ex2m22m0，所以h（x）在0，）上单调递增，则当x0，）时，h（x）h（0），结合h（0）0，可得h（x）0，故当x0，）时，f（x）msin2x恒成立，若m1，则h（x）ex+4msin2x，所以当x0，）时，h（x）0，则h（x）单调递增，因为h（0）22m0，h（），h（x）在0，）上图象不间断，所以h（x）在0，）上存在唯一的零点，设为，因为h（x）在（0，）上是增函数，则当x（0，）时，h（x）h（），即h（x）0，所以h（x）在（0，）上减增函数，则当x（0，）时，h（x）h（0），即h（x）0，即x（0，）时，f（x）msin2x，与题设矛盾综上所述，实数m的取值范围为（，1