1、高三数学理科12月考试卷一、选择题（本大题8小题，每小题5分，共40分在每小题给出，的四个选项中，选出符合题目是要求的一项）1集合，那么“”是“”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】集合，“” 是“”的充分而不必要条件故选2已知是定义在上的奇函数，则的值为（ ）ABCD【答案】B【解析】是定义在上的奇函数，即，且，故选3已知，为两条直线，为两个平面，给定下列四个命题：，；，；，；，其中不正确的是（ ）A个B个C个D个【答案】D【解析】，则或，故错误；，则或，故错误；，则或，故错误；，则或，故错误综上，不正确的有个故选4已知点在抛物线上，
2、且点到的准线的距离与点到轴的距离相等，则的值为（ ）ABCD【答案】B【解析】根据题意可知，解得故选5已知函数（，均为正的常数）的最小正周期为，当时，函数取得最小值，则下列结论正确的是（ ）ABCD【答案】A【解析】函数的最小正周期为，当时，函数取得最小值，令，则，在上单调递减，又，故选6平面向量与的夹角为，则（ ）ABCD【答案】C【解析】与的夹角为，故选7已知函数的零点为，的零点为，可以是（ ）ABCD【答案】D【解析】，项的零点为，不满足；项函数的零点为，不满足；C项函数的零点为，不满足；D项函数的零点为，满足故选8已知正方形的棱长为，分别是边，的中点，点是上的动点，过点，的平面与棱交于
3、点，设，平行四边形的面积为，设，则关于的函数的解析式为（ ）ABCD【答案】A【解析】由题意得平面，即，在平面中，故选二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分把答案填在答题纸相应位置的横线上）9一个几何图的三视图如图所示，则该几何体的体积为_【答案】【解析】根据三视图，作出直观图，如图所示，该几何体的体积10已知直线不通过第一象限，则实数的取值范围_【答案】【解析】直线恒成立，斜率为，直线不通过第一象限，解得，故实数的取值范围是11椭圆一个长轴的一个顶点为，以为直角顶点做一个内接于椭圆的等腰直角三角形，则此直角三角形的面积等于_【答案】【解析】设内切于椭圆的等腰直角三角形为，则，直线，
4、可求得，12复数，则实部的最大值_，虚部的最大值_【答案】，【解析】，的实部为，实部的最大值为，的虚部为，虚部的最大值为13、两地街道如图所示，某人要从地前往地，则路最短的走法有_种【答案】【解析】根据题意，需要向上走次，向右走次，共次，从次中选次向右，剩下次向上即可，则有种不同的走法14若对任意，有唯一确定的与之对应，则称为关于，的二元函数，现定义满足下列性质的为关于实数，的广义“距离”（）非负性：，当且仅当时取等号；（）对称性：；（）三角形不等式：对任意的实数均成立给出三个二元函数：；，则所有能够成为关于，的广义“距离”的序号为_【答案】【解析】，满足（）非负性，满足（）对称性，满足（）三
5、角形不等式，故能够成为关于，的广义“距离”不妨设，则有，此时有，而，故不成立，所以不满足（）三角形不等式，故不能成为关于，的广义“距离”由于时，无意义，故不满足综上，故正确答案是：三、解答题（本大题共6小题，共80分）15在中，内角、的对边分别为、角，（）求角的值（）若，求边、的值【答案】见解析【解析】解：（）在中，由正弦定理，得，（），由正弦定理得，由余弦定理得，解得，16学校高一年级开设、五门选修课，每位同学须彼此独立地选三课程，其中甲同学必选课程，不选课程，另从其余课程中随机任选两门课程乙、丙两名同学从五门课程中随机任选三门课程（）求甲同学选中课程且乙同学未选中课程的概率（）用表示甲、乙
6、、丙选中课程的人数之和，求的分布列和数学期望【答案】见解析【解析】（）设事件为“甲同学选中课程”，事件为“乙同学选中课程”，则，事件与相互独立，甲同学选中课程且乙同学未选中课程的概率（）设事件为“两同学选中课程”，则，的可能取值为，的分布列为：17如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，侧面底面，分别为，的中点，点在线段上（）求证：平面（）若为的中点，求证：平面（）如果直线与平面所成的角和直线与平面所在的角相等，求的值【答案】见解析【解析】（）证明：在平行四边形中，分别为，的中点，侧面底面，且，底面，又，平面，平面，平面（）证明：为的中点，为的中点，又平面，平面，平面，同理，得平面，又，平面，平面
7、，平面平面，又平面，平面（）解：底面，两两垂直，故以，分别为轴，轴和轴建立如图空间直角坐标系，则，所以，设，则，易得平面的法向量，设平面的法向量为，则：，即，令，得，直线与平面所成的角和此直线与平面所成的角相等，即，解得或（舍去），故18已知常数，向量，经过点，以为方向向量的直线与经过点，以为方向向量的直线交于点，其中（）求点的轨迹方程，并指出轨迹（）若点，当时，为轨迹上任意一点，求的最小值【答案】见解析【解析】解：（），直线的方程为：式，又，直线的方程为：式，由式，式消去入得，即，故点的轨迹方程为当时，轨迹是以为圆心，以为半径的圆，当时，轨迹是以原点为中心，以为焦点的椭圆，当时，轨迹是以原点
8、为中心，以为焦点的椭圆（）当时，为轨迹是任意一点，设，当时，取得最小值19已知函数，（）当时，求曲线在点处的切线方程（）当时，若曲线上的点都在不等式组所表示的平面区域内，试求的取值范围【答案】见解析【解析】解：（） 当时，曲线在点处的切线方程为，即（）根据题意，当时，曲线上的点都在不等式组所表示的平面区域内，等价于时，恒成立，设，当，即时，当时，单调递减，故，根据题意有，解得，即，当，即时，当，单调递增，当，单调递减，不符合题意当，即时，注意到，显然不合题意综上所述，20已知椭圆的右焦点为，右顶点为，离心离为，点满足条件（）求的值（）设过点的直线与椭圆相交于、两点，记和的面积分别为、，求证：【答案】见解析【解析】解：（）椭圆的方程为， （）若直线的斜率不存在，则有，符合题意，若直线的斜率存在，设直线的方程为，由，得，可知恒成立，且，和的面积分别为：，