1、-1-本章整合-2-本章整合 知识网络 专题探究-3-本章整合 专题探究 知识网络 专题一 专题二 专题三 专题一 数列通项公式的求法数列的通项公式是给出数列的主要方式,其本质就是函数的解析式.围绕数列的通项公式,不仅可以判断数列的类型,研究数列的项的变化趋势与规律,而且有利于求数列的前 n 项和.求数列的通项公式是数列的核心问题之一,下面介绍几种常用的求法.1.观察归纳法观察归纳法就是观察数列的特征,找出各项共同的构成规律,横向看各项之间的关系,纵向看各项与项数 n 的内在联系,从而归纳出数列的通项公式.-4-本章整合 专题探究 知识网络 专题一 专题二 专题三【应用 1】根据下面数列的前几
2、项,写出数列的一个通项公式.(1)1,1,57,715,931,;(2)2,22,222,2 222,;(3)3,0,-3,0,3,.解:(1)数列即11,33,57,715,931,由于分子是等差数列2n-1的各项,分母是数列2n-1的各项,故 an=2-12-1(nN*).(2)所求数列的通项可以转化为数列 9,99,999,9 999,的通项,即数列10n-1,易知 an=29(10n-1)(nN*).(3)所求数列的通项可转化为数列 1,0,-1,0,1,的通项,这恰好是“五点法”作三角函数的图象的值,从而有 an=3sin2 或 an=3cos-12(nN*).-5-本章整合 专题探
3、究 知识网络 专题一 专题二 专题三 2.利用 an 与 Sn 的关系求通项an 与前 n 项和 Sn 关系式有两种形式:一种是 Sn 与 n 的关系式,记为Sn=f(n),可由公式 an=1,n=1,-1,n 2 直接求出通项 an,但要注意 n=1 与 n2两种情况能否统一;另一种是 Sn 与 an 的关系式,记为 f(an,Sn)=0,此时,利用 an与 Sn 的关系将已知关系式转化为关于 an 的关系式或关于 Sn 的关系式,再求an 或 Sn.若求出的是 Sn,需再一次利用 an 与 Sn 的关系求 an.-6-本章整合 专题探究 知识网络 专题一 专题二 专题三【应用 2】已知数列
4、an中,an0,Sn 是数列an的前 n 项和,且an+1=2Sn,求 an.解:将 an+1=2Sn 变形为2+1=2Snan.将 an=Sn-Sn-1(n2)代入并化简,得2 -12=1.由已知可求得 S1=a1=1.数列2是等差数列,公差为 1,首项为 1.2=1+(n-1)1=n.an0,Sn0.Sn=.n2 时,an=-1.而 n=1 时,a1=1 也适合上式.数列an的通项公式为 an=-1,nN*.-7-本章整合 专题探究 知识网络 专题一 专题二 专题三 3.已知递推关系求通项公式(一)累加法对于由形如 an+1-an=f(n)型的递推公式求通项公式,(1)当 f(n)=d 为
5、常数时,an为等差数列,则 an=a1+(n-1)d;(2)当 f(n)为关于 n 的函数时,用累加法.方法如下,由 an+1-an=f(n)得当 n2 时,an-an-1=f(n-1),an-1-an-2=f(n-2),a3-a2=f(2),a2-a1=f(1).-8-本章整合 专题探究 知识网络 专题一 专题二 专题三 以上 n-1 个等式累加得an-a1=f(n-1)+f(n-2)+f(2)+f(1),an=a1+=1-1f(k),为了书写方便,也可以用横式来写:当 n2 时,an-an-1=f(n-1),an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=f(n-1
6、)+f(n-2)+f(2)+f(1)+a1.-9-本章整合 专题探究 知识网络 专题一 专题二 专题三(3)已知 a1=a,an+1-an=f(n),其中 f(n)可以是关于 n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数,求通项 an.若 f(n)是关于 n 的一次函数,累加后可转化为等差数列求和;若 f(n)是关于 n 的二次函数,累加后可分组求和;若 f(n)是关于 n 的指数函数,累加后可转化为等比数列求和;若 f(n)是关于 n 的分式函数,累加后可裂项求和.-10-本章整合 专题探究 知识网络 专题一 专题二 专题三【应用 3】已知数列an中,a1=1,且 an+1-an=3n-n,
7、求数列an的通项公式.分析:由于本例给出了数列an中连续两项的差,故可考虑用累加法求解,解:由 an+1-an=3n-n,得 an-an-1=3n-1-(n-1),an-1-an-2=3n-2-(n-2),a3-a2=32-2,a2-a1=3-1.当 n2 时,以上 n-1 个等式两端分别相加,得-11-本章整合 专题探究 知识网络 专题一 专题二 专题三(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)=3n-1+3n-2+3-(n-1)+(n-2)+1,即 an-a1=3(1-3-1)1-3(-1)2.又a1=1,an=123n-(-1)2 12.显然 a1=1 也适合上式,an的
8、通项公式为 an=123n-(-1)2 12.-12-本章整合 专题探究 知识网络 专题一 专题二 专题三(二)累乘法对于由形如+1=f(n)型的递推公式求通项公式.(1)当 f(n)为常数时,即+1=q(其中 q 是不为 0 的常数),此时数列为等比数列,an=a1qn-1.(2)当 f(n)为 n 的函数时,用累乘法.由+1=f(n)得 n2 时,-1=f(n-1),an=-1-1-2 21a1=f(n-1)f(1)a1.-13-本章整合 专题探究 知识网络 专题一 专题二 专题三【应用 4】设an是首项为 1 的正项数列,且(n+1)+12-n2+an+1an=0(n=1,2,3,),求
9、通项公式 an.解:已知等式可化为(an+1+an)(n+1)an+1-nan=0.an0(nN*),(n+1)an+1-nan=0,即+1=+1,n2 时,-1=-1,an=-1-1-221a1=-1 -2-1121=1.-14-本章整合 专题探究 知识网络 专题一 专题二 专题三(三)构造法构造法就是将数列的递推公式适当变形后,运用整体代换的方法转化为等差(比)数列,再求出数列的通项公式.【应用 5】(1)已知数列an,a1=2,an=-11+-1(n2),求 an;(2)已知数列an满足 an+1=3an+2(nN*),a1=1,求通项公式 an.解:(1)由 an=-11+-1两边取倒
10、数得 1 1-1=1,数列 1 是首项为 11=12,公差为 1 的等差数列.1=12+(n-1)=n-12=2-12.an=22-1.-15-本章整合 专题探究 知识网络 专题一 专题二 专题三(2)an+1=3an+2,an+1+1=3(an+1).又 a1+1=20,数列an+1是首项为 2,公比为 3 的等比数列.an+1=23n-1.an=23n-1-1.方法总结若所给递推公式形如 an+1=kan+m,则可构造an+1+p=k(an+p),即构造等比数列an+p,通过求 an+p 求出 an.-16-本章整合 专题探究 知识网络 专题一 专题二 专题三 专题二 以数阵为背景的数列问
11、题所谓数阵是指将某些数按一定的规律排成若干行和列,形成图表,也称之为数表.数阵不仅有正方形、三角形,还有长方形、圆、多边形、星形、花瓣形、十字形,甚至几种图形的组合,变幻多样、对称性强,很能吸引人.在我们平常解题中最常见的是前两种.数阵中的数是按一定的规律排成若干行和列,比较多见的是排成等差数列或等比数列,它重点考查等差数列、等比数列的相关知识,有时也会出现其他类型的数列.解决此类问题的关键是找出其中的规律,这就要求考生具有较强的观察分析、归纳猜想的能力以及对数列知识融合迁移的能力.下面具体讨论一下它的几种题型.-17-本章整合 专题探究 知识网络 专题一 专题二 专题三【应用 6】如图所示的
12、数阵,第 n 行最右边的数是 .解析:设第 n 行左边第一个数为 an,则a1=1,a2=3=a1+21,a3=7=a2+22,an=an-1+2(n-1),把这些式子左右两边分别相加,得 an=n2-n+1.又每一行都是公差为 2 的等差数列,且第 n 行有 n 个数,则第 n 行最右边的数是(n2-n+1)+(n-1)2=n2+n-1.答案:n2+n-1-18-本章整合 专题探究 知识网络 专题一 专题二 专题三【应用 7】德国数学家莱布尼兹发现了如图所示的单位分数三角形(单位分数是分子为 1、分母为正整数的分数)称为莱布尼兹三角形.根据前 5 行的规律,写出第 6 行的数从左到右依次是
13、.答案:16,130,160,160,130,16-19-本章整合 专题探究 知识网络 专题一 专题二 专题三【应用 8】给定 81 个数排成数阵如图所示,若每一行、每一列都构成等差数列,且正中间一个数 a55=5,则此数阵中所有数之和为 .a11 a12 a19a21a22a29a91a92a99解析:由于每一行都成等差数列,则 a11+a12+a19=9(11+19)2=9(215)2=9a15.同理可得,a21+a22+a29=9a25,a91+a92+a99=9a95.又每一列都成等差数列,则 a15+a25+a95=9(15+95)2=9(255)2=9a55,则此数阵中所有数之和S
14、=(a11+a12+a19)+(a21+a22+a29)+(a91+a92+a99)=9(a15+a25+a95)=9(9a55)=81a55=815=405.答案:405-20-本章整合 专题探究 知识网络 专题一 专题二 专题三 专题三 数学思想方法的应用1.函数思想数列是特殊的函数,用函数的观点认识数列和处理数列问题,既有利于理解和掌握数列的基本概念和性质,又有利于解决问题,比如求等差数列前n 项和 Sn 的最值时,常转化为求关于 n 的二次函数的最值,或用数形结合或利用函数图象来求值.-21-本章整合 专题探究 知识网络 专题一 专题二 专题三【应用 9】等差数列an中,3a8=5a1
15、3,a10,若 Sn 为an的前 n 项和,则S1,S2,Sn 中有没有最大值?请说明理由.解:此等差数列不是常数列,其前 n 项和 Sn 是关于 n 的二次函数,我们可以利用配方法,结合二次函数的性质求解.设an的首项为 a1,公差为 d,则有 3(a1+7d)=5(a1+12d),d=-239a1.Sn=na1+(-1)2d=-139n2a1+4039na1=-139a1(n-20)2+40039 a1.故 n=20 时,Sn 最大,即前 20 项之和最大.-22-本章整合 专题探究 知识网络 专题一 专题二 专题三 2.方程思想等差(比)数列的通项公式与前 n 项和公式中含有 a1,n,
16、d(q),an,Sn 这五个基本量,已知其中任意三个,通过解方程可以求出其余两个.【应用 10】等比数列an的前 n 项和为 Sn,已知 S1,2S2,3S3 成等差数列,则an的公比 q 为 .解析:等比数列an的前 n 项和为 Sn,已知 S1,2S2,3S3 成等差数列,an=a1qn-1,4S2=S1+3S3,即 4(a1+a1q)=a1+3(a1+a1q+a1q2),解得an的公比 q=13.答案:13-23-本章整合 专题探究 知识网络 专题一 专题二 专题三 3.分类讨论思想当数列问题所给的对象不宜进行统一研究或推理时,需通过分类来解决,如运用等比数列求和公式时,需对 q 分 q
17、=1 和 q1 两种情况进行讨论;an与 Sn 的关系需分 n=1 和 n2 两种情况讨论;等差数列的单调性需分d0,d=0 和 d0(或 a11,q=1,0q1,q0 四种情况讨论.-24-本章整合 专题探究 知识网络 专题一 专题二 专题三【应用 11】数列an的前 n 项和为 Sn,a1=1,an+1=2Sn(nN*).(1)求数列an的通项 an;(2)求数列nan的前 n 项和 Tn.解:(1)an+1=2Sn,Sn+1-Sn=2Sn.+1=3.又S1=a1=1,数列Sn是首项为 1,公比为 3 的等比数列,Sn=3n-1(nN*).当 n2 时,an=2Sn-1=23n-2(n2),an=1,=1,23-2,n 2.-25-本章整合 专题探究 知识网络 专题一 专题二 专题三(2)Tn=a1+2a2+3a3+nan.当 n=1 时,T1=1;当 n2 时,Tn=1+430+631+2n3n-2,3Tn=3+431+632+2n3n-1,-,得-2Tn=-2+4+2(31+32+3n-2)-2n3n-1=2+23(1-3-2)1-3-2n3n-1=-1+(1-2n)3n-1.Tn=12+-12 3n-1(n2).又T1=a1=1 也满足上式,Tn=12+-12 3n-1(nN*).