1、7.1复数的概念7.1.1数系的扩充和复数的概念学 习 任 务核 心 素 养1了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程(重点)2理解复数的概念、表示法及相关概念(重点)3掌握复数的分类及复数相等的充要条件(重点、易混点)1通过学习数系的扩充，培养逻辑推理的素养2借助复数的概念，提升数学抽象的素养16世纪，意大利数学家卡尔丹在讨论问题“将10分成两部分，使两者的乘积等于40”时，认为把答案写成“5和5”就可以满足要求：(5)(5)5510，(5)(5)5525(15)40问题：能作为“数”吗？它真的是无意义的、虚幻的吗？知识点1复数的概念及其表示1复数的定义我们把形如abi(a，bR)的数
2、叫做复数，其中i叫做虚数单位全体复数所构成的集合Cabi|a，bR叫做复数集规定iii212复数的表示复数通常用字母z表示，即zabi(a，bR)以后不作特殊说明时，复数zabi都有a，bR，其中的a与b分别叫作复数z的实部与虚部(1)复数z32i的虚部是2i还是2?(2)实数5是复数吗？其虚部是什么？提示(1)虚部是2；(2)5是复数，虚部为01复数z25i的实部等于_，虚部等于_25复数z25i的实部为2，虚部为52若复数z(2a1)(3a)i(aR)的实部与虚部相等，则a_4由已知得2a13a，解得a4知识点2复数相等的充要条件在复数集Cabi|a，bR中任取两个数abi，cdi(a，b
3、，c，dR)，我们规定：abi与cdi相等当且仅当ac且bd3已知x，yR，若x3i(y2)i，则xy_5因为x3i(y2)i，所以所以所以xy5知识点3复数的分类(1)复数abi(a，bR)(2)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系如图所示4在下列数中，属于虚数的是_，属于纯虚数的是_0,1i，i，2i，i，i1i，i，2i，i，ii，i根据虚数的概念知：1i，i，2i，i，i都是虚数；由纯虚数的概念知：i，i都是纯虚数5若复数z(m2)(m1)i是纯虚数，则实数m_2由已知得解得m2 类型1复数的概念【例1】给出下列说法：复数23i的虚部是3i；形如abi(bR)的数一定是虚数；若a
4、R，a0，则(a3)i是纯虚数；若两个复数能够比较大小，则它们都是实数其中错误说法的个数是()A1B2C3D4C复数23i的虚部是3，错；形如abi(bR)的数不一定是虚数，错；只有当aR，a30时，(a3)i是纯虚数，错；若两个复数能够比较大小，则它们都是实数，故正确，所以有3个错误判断复数概念方面的命题真假的注意点(1)正确理解复数、虚数、纯虚数、实部、虚部、复数相等的概念，注意它们之间的区别与联系；(2)注意复数集与实数集中有关概念与性质的不同；(3)注意通过列举反例来说明一些命题的真假1下列说法中正确的是()A复数由实数、虚数、纯虚数构成B若复数zxyi(x，yR)是虚数，则必有x0C
5、在复数zxyi(x，yR)中，若x0，则复数z一定不是纯虚数D若a，bR且ab，则aibiC选项A错，复数由实数与虚数构成，在虚数中又分为纯虚数和非纯虚数；选项B错，若复数zxyi(x，yR)是虚数，则必有y0，但可以x0；选项C正确，若复数zxyi(x，yR)是纯虚数，必有x0，y0，因此只要x0，复数z一定不是纯虚数；选项D错，当a，bR时，ai与bi都是虚数，不能比较大小 类型2复数的分类【例2】(对接教材P69例1)实数x分别取什么值时，复数z(x22x15)i是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？解(1)当x满足即x5时，z是实数(2)当x满足即x3且x5时，z是虚数(3)当x满足
6、即x2或x3时，z是纯虚数利用复数的分类求参数的方法及注意事项(1)利用复数的分类求参数时，首先应将复数化为zabi(a，bR)的形式，若不是这种形式，应先化为这种形式，得到实部与虚部，再求解；(2)要注意确定使实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解；(3)要特别注意复数zabi(a，bR)为纯虚数的充要条件是a0且b02已知mR，复数zlg m(m21)i，当m为何值时，(1)z为实数；(2)z为虚数；(3)z为纯虚数解(1)当z为实数时，m需满足解得m1(2)当z为虚数时，m需满足解得m0，且m1(3)当z为纯虚数时，m需满足无解，即不存在m使z为纯虚数 类型3复数相等的
7、充要条件【例3】(1)若复数z(m1)(m29)i2能否推出3i2i？两个实数能比较大小，那么两个复数能比较大小吗？提示由32不能推出3i2i，当两个复数都是实数时，可以比较大小，当两个复数不全是实数时，不能比较大小2若复数zabi0，则实数a，b满足什么条件？提示若复数zabi0，则实数a，b满足a0，且b0 (1)3z0，m3(2)解设a是原方程的实根，则a2(12i)a(3mi)0，即(a2a3m)(2a1)i0，所以a2a3m0且2a10，所以a且3m0，所以m复数相等问题的解题技巧(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解(2)根据复数相等的条件，
8、将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现提醒：若两个复数能比较大小，则这两个复数必为实数3已知x，yR，i为虚数单位，且(x2)yi1i，则xy_2(x2)yi1i，xy24若x1是方程x2(12i)x(3mi)0的实数根，求复数m的值解由题意可知，112i 3mi0，即mi1复数(2)i的实部是()A2BC2D0D复数(2)i的实部是0，故选D2“a2”是“复数z(a24)(a1)i(a，bR)为纯虚数”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件A当a2时，z(224)(21)ii是纯虚数；z为纯虚数时，a240，且a10，即a2“a2”可以推出“z为纯虚数”，反之不成立故选A3已知复数za2(2b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是()A，1 B，5 C，5 D，1C令得a，b54已知x2y22xyi2i，则实数x，y的值分别为_或x2y22xyi2i，解得或5如果(m21)(m22m)i0，则实数m的值为_2因为当两个复数都是实数时，才能比较大小则m2所以m2时，(m21)(m22m)i0回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)复数的定义是什么？如何表示？(2)复数相等的充要条件是什么？(3)复数的分类是什么？复数、实数、虚数之间有什么关系？