1、北京师大附中2019-2020学年上学期高二年级期末考试数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.从每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知i是虚数单位，复数z满足，则复平面内表示z的点在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】分析】根据复数得到复数在复平面内对应的点的坐标，从而得到答案.【详解】复数,所以复数z在复平面内对应的点的坐标为所以复平面内表示z的点在第四象限.故选：D【点睛】本题考查复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题.2.已知，为虚数单位，若为纯虚数，则的值为（ ）A. 2B. 1C. -2D. -1【答案】
2、D【解析】【详解】由题知为纯虚数，实部为.故 .故本题选.3.已知an为等差数列，其前n项和为Sn，若a3=6，S3=12，则公差d等于（ ）A. 1B. C. 2D. 3【答案】C【解析】试题分析：设出等差数列的首项和公差，由a3=6，S3=12，联立可求公差d解：设等差数列an的首项为a1，公差为d，由a3=6，S3=12，得：解得：a1=2，d=2故选C考点：等差数列的前n项和4.已知双曲线-=1的右焦点为（3,0），则该双曲线的离心率等于A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意知c3，故a259，解得a2，故该双曲线的离心率e5.“”是“方程表示的曲线为椭圆”的（ ）A. 充分
3、不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据椭圆的方程以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可【详解】解：若方程表示的曲线为椭圆，则，且，则“”是“方程表示的曲线为椭圆”的充分不必要条件，故选：【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合椭圆的方程求出，的关系是解决本题的关键6.设正方体的棱长为2，则点到平面的距离是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由等体积法有,可求出答案.【详解】设点到平面的距离是,由等体积法有,有所以，解得：故选：D【点睛】本题考查点到面的距离，考查等体积法，属于基础题.7.如图，在正方体
4、ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，CC1的中点，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，再利用向量法求出异面直线AE与BF所成角的余弦值【详解】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCDA1B1C1D1中棱长为2，E，F分别是C1D1，CC1的中点，A（2，0，0），E（0，1，2），B（2，2，0），F（0，2，1），（2，1，2），（2，0，1），设异面直线AE与BF所成角的平面角为，则cos ,异面直线AE与
5、BF所成角的余弦值为故选D【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，注意向量法的合理运用，属于基础题.8.如图，已知三棱锥SABC中，SA=SB=CA=CB=，AB=2，SC=，则二面角SABC的平面角的大小为A. 30B. 45C. 60D. 90【答案】C【解析】【分析】取AB的中点O，连接SO，CO，由题设条件推导出AB平面SOC，由此能二面角SABC的平面角是SOC，在SOC中，求得SOC.【详解】如图，取AB的中点O，连接SO，CO，由SA=SB=CA=CB可得AB平面SOC，二面角SABC的平面角是SOC在SOA中，SO=，同理CO=，在SOC中，SO=CO=SC=，SOC=6
6、0，二面角SABC的平面角的大小为60故选C【点睛】本题考查面面角的大小的求法，解题时要认真审题，合理转化空间问题为平面问题，属于中档题9.设为坐标原点，是以为焦点的抛物线 上任意一点，是线段的中点，则直线的斜率的最大值为（ ）A. B. 1C. D. 2【答案】B【解析】设，是线段的中点，所以.直线的斜率为：.显然时的斜率较大，此时，当且仅当，时，斜率最大为1.故选B.10.已知曲线与曲线怡好有两个不同的公共点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C D. 【答案】C【解析】【分析】利用绝对值的几何意义，由可得，曲线与方程的曲线必相交于，为了使曲线与双曲线恰好有两个不同的公共点，则两曲线无其
7、它公共点，将代入方程，整理可得，分类讨论，可得出结论，根据对称性可得出时的情形.【详解】双曲线的方程为，所以，曲线的图象与曲线的图象必相交于点，为了使曲线与曲线恰好有两个公共点，将代入方程，整理可得.当时，满足题意；当时，由于曲线与曲线恰好有两个公共点，且是方程根，则，解得.所以，当时，.根据对称性可知，当时，可求得.因此，实数的取值范围是.故选C.【点睛】本题考查利用曲线的交点求参数的取值范围，在解题时要对变量的取值进行分类讨论，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分.11.是虚数单位，则的值为_.【答案】【解析】【分析】先化简复数，再利用复数模的定义
8、求所给复数的模【详解】【点睛】本题考查了复数模的运算，是基础题.12.双曲线的渐近线方程为_【答案】【解析】令，解得双曲线的渐近线方程为答案：13.设是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且，则的面积等于_.【答案】4【解析】【分析】由椭圆的定义有,结合可得,又,则三角形面积可求.【详解】由椭圆有.由椭圆的定义有，又所以,又.在中, 所以为直角三角形, 的面积为 故答案为:4【点睛】本题考查椭圆的定义和焦点三角形的面积,属于中档题.14.已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点若为的中点，则_【答案】6【解析】如图所示，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线与轴交于点，作与点，与点，由抛物线
9、的解析式可得准线方程为，则，在直角梯形中，中位线，由抛物线的定义有：，结合题意，有，故点睛:抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化15.已知等比数列an各项均为正数，若存在正整数，使得，请写出一个满足题意的k值_.【答案】412的正整数均可【解析】【分析】根据题意求出等比数列的通项公式，然后由条件有，求解即可.【详解】在等比数列
10、an中,设公比为,数列各项均为正数,所以,则,所以,解得:或(舍) 又,所以. 则即,即 当,即,也即 时,有成立.又正整数,且又当时,显然有成立.当时,也有成立.所以412的正整数均可满足条件.故答案为：412的正整数均可【点睛】本题考查等比数列求通项公式和前项和以及解不等式，属于中档题.16.已知数列的各项均为正整数，Sn为其前n项和，对于n1，2，3，有，其中为使为奇数的正整数，当时，的最小值为_；当时，_.【答案】 (1). 5 (2). 910【解析】【分析】由题设可知当时，解得或，因为的各项均为正整数，为正整数，所以当时，有最小值.当时，可求出 ，得到数列是周期为2的周期数列，可求
11、出结果.【详解】数列的各项均为正整数,其中为使为奇数的正整数.当时,或.即或，则或（舍）所以或.则或，因为的各项均为正整数，为正整数.显然当时，有最小值.当时，其中为使为奇数的正整数，所以，所以,，其中为使为奇数的正整数，所以，所以数列是周期为2的周期数列，奇数项为1，偶数项为8.故答案为（1） 5 （2）910【点睛】本题考查数列的递推公式的性质和应用，考查周期数列求和问题,属于难题.三、解答题：共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17.已知各项均不相同的等差数列的前四项和，且、成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）设为数列的前n项和，求的值.【答案】（1）；（2）
12、【解析】【分析】(1)利用等差数列的前4项和，以及、成等比数列，建立关于首项和公差的方程，解出即可.(2)由（1）可得，用裂项相消求和法可求解出答案.【详解】设等差数列的首项为，公差为.由等差数列的前4项和，以及、成等比数列 ，又，解得 所以 （2）由（1）可得则所以 所以【点睛】本题考查等差数列的通项公式和运用裂项相消法求和，属于中档题.18.如图所示，在正四棱柱中，点E、F分别是棱BC、DC的中点.（1）求证：BD平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】分析】(1)由点E、F分别是棱BC、DC的中点，则EFBD，可得证.(2) 以D为原点，所在直线为
13、轴，轴，轴建立空间直角坐标系,用向量法求出平面的一个法向量，然后即可求线面角.【详解】证明：（1）点E、F分别是棱BC、DC的中点，EFBD.又平面平面，平面.（2）以D为原点，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系则设平面的一个法向量为由可得令直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查线面平面的证明和线面角的求解，属于中档题.19.已知抛物线的准线方程是.（）求抛物线的方程；（）设直线与抛物线相交于，两点，为坐标原点，证明：.【答案】（）（）详见解析【解析】试题分析：（）利用排趋性的准线方程求出p，即可求解抛物线的方程；（）直线y=k（x-2）（k0）与抛物线联立，通过韦达定理求解直线的斜
14、率关系即可证明OMON试题解析：（）解：因为抛物线的准线方程为，所以， 解得，所以 抛物线的方程为.（）证明：设，.将代入，消去整理得.所以.由，两式相乘，得，注意到，异号，所以.所以直线与直线的斜率之积为，即.考点：直线与抛物线的位置关系；抛物线的标准方程20.已知点和椭圆.（1）设椭圆的两个焦点分别为，试求的周长；（2）若直线与椭圆C交于两个不同的点A，B，直线与x轴分别交于M，N两点，求证：.【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】(1)由椭圆的定义可得，则三角形的周长可求.(2)要证，则需证明以PMNPNM，设直线PA与PB的斜率分别为，只需证明，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达
15、定理可证明结论.【详解】（1）由题意可知，所以.因为是椭圆C上的点，由椭圆定义得，所以的周长为.（2）由得.因为直线与椭圆C有两个交点，并注意到直线不过点P，所以解得或.设，则，.显然直线PA与PB的斜率存在，设直线PA与PB的斜率分别为，则.因为，所以PMNPNM.所以.【点睛】本题考查椭圆的定义的运用，考查直线与椭圆的关系和几何条件的转化，考查运算能力，属于难题.21.已知椭圆的离心率为，且过点.（1）求椭圆C的方程；（2）若点A、B为椭圆C的左右顶点，直线与x轴交于点D，点P是椭圆C上异于A、B的动点，直线AP、BP分别交直线于E、两点，当点P在椭圆C上运动时，是否为定值？若是，请求出该
16、定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）；（2）为定值1【解析】【分析】(1) 由题意可知,结合，可求出椭圆方程.(2) 设,则直线AP的方程为，求出，同理得出，将点在椭圆上这个条件代入，可得到答案.【详解】（1）由题意可知又因为且，解得，所以椭圆C的方程为；（2）为定值1.由题意可得：，设，由题意可得：，所以直线AP的方程为，令，则，即；同理：直线BP的方程为，令，则，即；所以而，即，代入上式得，所以为定值1.【点睛】本题考查利用离心率求椭圆方程和椭圆中的定值问题，考查运算能力，属于难题.22.已知数列、，其中，数列满足,，数列满足 （1）求数列、的通项公式；（2）是否存在自然数，使得对于任
17、意有恒成立？若存在,求出的最小值；（3）若数列满足，求数列的前项和【答案】（1）；（2）存在，；（3）【解析】试题分析：（1）根据题设条件用累乘法能够求出数列an的通项公式b1=2，bn+1=2bn可知bn是首项为2，公比为2的等比数列，由此能求出bn的通项公式（2）bn=2n假设存在自然数m，满足条件，先求出，将问题转化成可求得的取值范围；（3）分n是奇数、n是偶数两种情况求出Tn，然后写成分段函数的形式试题解析：（1）由，即 又，所以 . 当时，上式成立，因为，所以是首项为2，公比为2的等比数列，故. (2) 由（1）知，则.假设存自然数，使得对于任意有恒成立，即恒成立，由，解得 所以存在自然数，使得对于任意有恒成立，此时，的最小值为16. （3）当为奇数时， ；当为偶数时， . 因此 点睛：数列求和时，要根据数列项的特点选择不同的方法，常用的求和方法有公式法、裂项相消法、错位相减法、分组求和等