1、1.4.2 微积分基本定理教学目标 了解牛顿-莱布尼兹公式教学重点：牛顿-莱布尼兹公式变速直线运动中位移函数与速度函数的联系变速直线运动中路程为 21)(TTdttv设某物体作直线运动，已知速度)(tvv 是时间间隔,21 TT上 t 的一个连续函数，且0)(tv，求物体在这段时间内所经过的路程.另一方面这段路程可表示为)()(12TsTs一.问题的提出).()()(1221TsTsdttvTT).()(tvts其中 微积分基本定理 物体的位移是函数在两个端点处的函数值之差，即 从几何意义上看，由导数的几何意义知 求和得近似值 取极限，由定积分的定义得 进而得出微积分基本定理 )()(asbs
2、S11tan()(),iiiiShDPCts ttv tt 111111()().nnnniiiiiiiiSShv tts tt()()()()bbaaSv t dts t dts bs a定理（微积分基本定理）如果()f x 是在区间,ba上的连续函数,并且()(),F xf x，则)()()(aFbFdxxfba.二、牛顿莱布尼茨公式记:()()()|baF bF aF x则:()()|()()bbaa f x dxF xF bF a微积分基本定理表明：一个连续函数在区间,ba上的定积分等于它的任意一个原函数在区间,ba上的增量.注意:1.当ba 时，)()()(aFbFdxxfba仍成立
3、.2.若()(),()()Fxf xF xf x则称为的一个原函数求定积分问题转化为求原函数的问题.牛顿莱布尼茨公式沟通了导数与积分之间的关系艾萨克牛顿 艾萨克牛顿，是英国伟大的数学家、物理学家、天文学家和自然哲学家。1642年12月25日生于英格兰林肯郡格兰 瑟姆附近的沃尔索普村,1727年3月20日 在伦敦病逝。牛顿1661年入英国剑桥大学三一学院，1665年获文学士学位。随后两年在家乡躲避瘟疫。这两年里，他制定了一生大多数重要科学创造的蓝图。1667年回剑桥后当选为三一学院院委，次年获硕士学位。1669年任卢卡斯教授直到1701年。1696年任皇家造币厂监督，并移居伦敦。1703年任英国
4、皇家学会会长。1706年受女王安娜封爵。他晚年潜心于自然哲学与神学。牛顿在科学上最卓越的贡献是微积分和经典力学的创建。莱布尼茨，德国数学家、哲学家，和牛顿 同为微积分的创始人；1646年7月1日生于莱比 锡，1716年11月14日卒于德国的汉诺威。他父 亲是莱比锡大学伦理学教授，家庭丰富的藏书 引起他广泛的兴趣。1661年入莱比锡大学学习 法律，又曾到耶拿大学学习几何，1666年在纽 伦堡阿尔特多夫取得法学博士学位。他当时写的论文论组合的技巧已含有数理逻辑的早期思想，后来的工作使他成为数理逻辑的创始人。1667年他投身外交界，曾到欧洲各国游历。1676年到汉诺威，任腓特烈公爵顾问及图书馆的馆长
5、，并常居汉诺威，直到去世。莱布尼茨的多才多艺在历史上很少有人能和他相比，他的著作包括数学、历史、语言、生物、地质、机械、物理、法律、外交等各个方面。截止至2010年，莱布尼茨的所有作品还没有收集完全。戈特弗里德威廉莱布尼茨牛顿莱布尼茨公式十大最美的数学公式之一 babaaFbFxFdxxf)()()()()()(xfxF关键：例1 求 .)1sincos2(20dxxx原式20(2sincos)|xxx(2)(1)3.22 例2 设,求.215102)(xxxxf20)(dxxf解解102120)()()(dxxfdxxfdxxf在2,1上规定当1x时，5)(xf,102152dxxdx原式.6xyo12例3 求 解.112dxx当0 x时，x1 的一个原函数是)0()ln(xx,dxx12112ln()|x.2ln2ln1ln例 4 计算曲线xysin在,0 上与x轴所围成的平面图形的面积.解 面积 xyo0 sin xdxA0cos x.2练习:1.求 .,max222dxxx解由图形可知,max)(2xxxf,21100222xxxxxx21210022dxxxdxdxx原式.211xyo2xy xy 1222计算下列各定积分：1、2122)1(dxxx;2、20sindxx.1、；2、4176答案：