1、6.2.2向量的减法运算学 习 任 务核 心 素 养1理解相反向量的含义，能用相反向量说出向量减法的意义(难点)2掌握向量减法的运算及其几何意义，能熟练地进行向量的加减运算(重点)3能将向量的减法运算转化为向量的加法运算(易混点)1类比数的运算，自然引入向量的减法运算是加法运算的逆运算，顺利给出向量减法的三角形法则，培养数学抽象和数学建模的核心素养2通过对向量的减法的学习，提升数学运算和逻辑推理素养一架飞机由天津香港，再由香港天津问题：飞机的两次位移分别是什么？它们之间有什么关系？知识点向量的减法运算1相反向量(1)定义：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作a(2)性质：(
2、a)a对于相反向量有：a(a)(a)a0若a，b互为相反向量，则ab，ba，ab02向量的减法(1)定义：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即aba(b)求两个向量差的运算叫做向量的减法(2)作法：在平面内任取一点O，作a，b，则向量ab，如图所示在什么条件下，|ab|a|b|?提示当a，b至少有一者为0或a，b非零且反向时成立1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)0aa()(2)(a)a()(3)a(a)0()(4)a0a()(5)aba(b)()(6)a(a)0()答案(1)(2)(3)(4)(5)(6)2非零向量m与n是相反向量，下列不正确的是()AmnBmnC|m|n|
3、D方向相反A由条件可知，当m0且n0时，B，C，D项都成立，故选A3化简的结果等于()AB CDB原式()()04如图，在ABCD中，a，b，用a，b表示向量，则_，_abba由向量加法的平行四边形法则，及向量减法的运算法则可知ab，ba 类型1向量减法的几何意义【例1】(1)如图所示，四边形ABCD中，若a，b，c，则()AabcBb(ac)CabcDbac(2)如图所示，已知向量a，b，c不共线，求作向量abc(1)A()acb(2)解法一：(几何意义法)如图所示，在平面内任取一点O，作a，b，则ab，再作c，则abc法二：(定义法)如图所示，在平面内任取一点O，作a，b，则ab，再作c，
4、连接OC，则abc图图如何作两个已知向量的差向量？提示求作两个向量的差向量的两种思路(1)可以转化为向量的加法来进行，如ab，可以先作b，然后作a(b)即可(2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量1如图，已知向量a，b，c，求作向量abc解法一：先作ab，再作abc即可如图所示，以A为起点分别作向量和，使a，b连接CB，得向量ab，再以C为起点作向量，使c，连接DB，得向量则向量即为所求作的向量abc图图法二：先作b，c，再作a(b)(c)，如图(1)作b和c；(2)作a，则abc 类型2向量减法的运算及简单应用【例2】
5、(1)如图所示：用a，b表示；用b，c表示(2)化简下列各向量的表达式：；()()；()()解(1)由题意知a，b，cab()bc(2)法一：(加法法则)原式()()0法二：减法法则(利用相反向量)原式()()0法三：减法法则(创造同一起点)原式()()()()0()()()()01向量加减法化简的两种形式(1)首尾相连且为和(2)起点相同且为差解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用2与图形相关的向量运算化简首先要利用向量加减的运算法则、运算律，其次要分析图形的性质，通过图形中向量的相等、平行等关系辅助化简运算2(多选题)如图，在平行四边形ABCD中，下列结论正确的是()A0BCD
6、0ABD由|，且与的方向相反，知与是一对相反向量，因此有0，故选项A正确；由向量加法的平行四边形法则知，故选项B正确；由，得，故选项C错误；与是一对相反向量，故0，故选项D正确3化简下列向量的表达式：(1)；(2)()()解(1)(2)()()()0 类型3向量减法几何意义的应用【例3】(1)在四边形ABCD中，若|，则四边形ABCD是()A菱形B矩形C正方形 D不确定(2)已知|6，|9，求|的取值范围1已知a，b是不共线的向量，如何在同一个平行四边形中作出ab和ab?提示如图所示，平行四边形ABCD中，a，b，则ab，ab2已知向量a，b，那么|a|b|与|ab|及|a|b|三者具有什么样
7、的大小关系？提示它们之间的关系为|a|b|ab|a|b|(1)当a，b有一个为零向量时，不等式显然成立(2)当a，b不共线时，作a，b，则ab，如图所示，根据三角形的性质，有|a|b|ab|a|b|同理可证|a|b|ab|b|，作法同上，如图所示，此时|ab|a|b|综上所述，得不等式|a|b|ab|a|b|(1)B，四边形ABCD为平行四边形，又|，|四边形ABCD为矩形(2)解|，且|9，|6，3|15当与同向时，|3；当与反向时，|15|的取值范围为3,151将本例(2)的条件改为“|8，|5”，求|的取值范围解因为，|8，|5，|，所以3|13，当与同向时，|3；当与反向时，|13所以
8、|的取值范围是3,132在本例(2)条件不变的情况下，求|的取值范围解由|，|6，|9，3|15当与同向时，|15；当与反向时，|3|的取值范围为3,153本例(2)中条件“|9”改为“|9”，求|的取值范围解，又|，由|，3|15|的取值范围为3,15用向量法证明四边形为平行四边形的方法和解题关键(1)利用向量证明线段平行且相等，从而证明四边形为平行四边形，只需证明对应有向线段所表示的向量相等即可；(2)根据图形灵活应用向量的运算法则，找到向量之间的关系是解决此类问题的关键1在ABC中，D是BC边上的一点，则等于()ABCDC在ABC中，D是BC边上一点，则由两个向量的减法的几何意义可得2(
9、多选题)在菱形ABCD中，下列等式中成立的是()A BC DABD如图，根据向量减法的三角形法则知A、B、D均正确，C中，()2，故选ABD3化简_0()()04若|8，|5，则|的取值范围是_3,13因为，故当，同向共线时，|3；当，反向共线时，|13；当，不共线时，|，即3|13综上可得3|135若a0，b0且|a|b|ab|，则a与ab所在直线的夹角为_30如图，设a，b，则ab，因为|a|b|ab|，所以|，所以OAB是等边三角形，所以BOA60因为ab，且在菱形OACB中，对角线OC平分BOA所以a与ab所在直线的夹角为30回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)什么是相反向量？相反向量与相同向量的共同点和不同点分别是什么？(2)向量的减法与加法之间有什么联系？(3)向量减法的几何意义是什么？如何作两个已知向量的差向量？