1、课时跟踪检测(十五) 简单复合函数的导数1函数yexsin 2x的导数为()Ay2excos 2xByex(sin 2x2cos 2x)Cy2ex(sin 2xcos 2x)Dyex(2sin 2xcos 2x)解析：选B由题意结合导数的运算法则可得y(ex)sin 2xex(sin 2x)ex(sin 2x2cos 2x)故选B.2某市在一次降雨过程中，降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可近似地表示为yf(t)，则在时刻t40 min的降雨强度为()A20 mm B400 mmC. mm/min D mm/min解析：选Df(t)10，f(40).3(2020重庆一中期末)设aR，
2、函数f(x)exaex的导函数是f(x)，且f(x)是奇函数，则a的值为()A1 BC. D1解析：选Af(x)exaex，由奇函数的性质可得f(0)1a0，解得a1.4若f(x)a2asin 2x为奇函数，则曲线yf(x)在x0处的切线的斜率为()A2 B4C2 D4解析：选Df(x)是奇函数，a20，得a2，f(x)2sin 2x，f(x)4cos 2x，f(0)4.曲线yf(x)在x0处的切线的斜率为4.故选D.5已知直线yx1与曲线yln(xa)相切，则a的值为()A1 B2C1 D2解析：选B设直线yx1与曲线yln(xa)的切点为(x0，y0)，则y01x0.又y，所以yxx01，
3、即x0a1.又y0ln(x0a)，所以y00，则x01，所以a2.6已知函数f(x)3xcos 2xsin 2x，则f_.解析：f(x)32sin 2x2cos 2x，f1.答案：17若f(x)且f(1)2，则a的值为_解析：f(x)(ax21)，f(x)(ax21)(ax21) .又f(1)2，2，a2.答案：28函数y2cos2x在x处的切线斜率为_解析：由函数y2cos2x1cos 2x，得y(1cos 2x)2sin 2x，所以函数在x处的切线斜率为2sin1.答案：19求下列函数的导数：(1)ysin(2x1)；(2)yxe2x1.解：(1)ysin(2x1)由ysin u与u2x1
4、复合而成，yx(sin u)(2x1)2cos u2cos(2x1)(2)y(xe2x1)xe2x1x(e2x1)e2x1xe2x1(2x1)e2x1(12x)10求曲线yln(2x1)上的点到直线2xy30的最短距离解：设直线l与曲线yln(2x1)相切于点P(x0，y0)，且与直线2xy30平行由直线l的斜率k2，得x01，所以P(1,0)，因此直线l的方程为2xy20.直线l与直线2xy30的距离为d，所以曲线yln(2x1)上的点到直线2xy30的最短距离是 .1设f0(x)sin 2xcos 2x，f1(x)f0(x)，f2(x)f1(x)，f1n(x)fn(x)，nN，则f2 02
5、0(x)()A22 020(cos 2xsin 2x) B22 020(sin 2xcos 2x)C22 020(sin 2xcos 2x) D22 020(cos 2xsin 2x)解析：选Cf0(x)sin 2xcos 2x，f1(x)f0(x)2(cos 2xsin 2x)，f2(x)f1(x)22(sin 2xcos 2x)，f3(x)f2(x)23(cos 2xsin 2x)，f4(x)f3(x)24(sin 2xcos 2x)，通过以上可以看出fn(x)满足以下规律：对任意nN，fn4(x)24fn(x)故f2 020(x)f5054(x)22 020(sin 2xcos 2x)2
6、随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量N(单位：贝克)与时间t(单位：天)满足函数关系P(t)，其中P0为t0时该放射性同位素的含量已知t15时，该放射性同位素的瞬时变化率为，则该放射性同位素含量为4.5贝克时衰变所需时间为()A20天 B30天C45天 D60天解析：选D由P(t)得P(t)P0ln 2，因为t15时，该放射性同位素的瞬时变化率为，3若直线ykxb是曲线yln x2的切线，也是曲线yln(x1)的切线，则b_.解析：函数yln x2的导函数为y，函数yln(x1)的导函数为y.设曲线y
7、ln x2和曲线yln(x1)上的切点横坐标分别为m，n，则该直线方程可以写成y(xm)ln m2，也可以写成y(xn)ln(n1)整理后对比得解得因此b1ln 2.答案：1ln 24曲线ye2xcos 3x在(0,1)处的切线与l的距离为，求l的方程解：由题意知y(e2x)cos 3xe2x(cos 3x)2e2xcos 3x3(sin 3x)e2x2e2xcos 3x3e2xsin 3x，所以曲线在(0,1)处的切线的斜率为ky|x02.所以该切线方程为y12x，即y2x1.设l的方程为y2xm，则d.解得m4或m6.当m4时，l的方程为y2x4; 当m6时，l的方程为y2x6.综上，可知l的方程为y2x4或y2x6.5求曲线ye2x1在点(0,2)处的切线与直线y0和yx围成的三角形的面积解：依题意得ye2x(2)2e2x，yx02e202.所以曲线ye2x1在点(0,2)处的切线方程是y 22x，即y2x2.在坐标系中作出直线y2x2、y0与yx的图象，因为直线y2x2与yx的交点坐标是，直线y2x2与x轴的交点坐标是(1,0)结合图象可得，这三条直线所围成的三角形的面积等于1.