1、空间向量的数量积运算（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.若a,b均为非零向量,则ab=|a|b|是a与b共线的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.已知空间向量a,b满足ab=0,|a|=1,|b|=2,则|2a-b|= ()A.0B.2C.4D.83.(2013天水高二检测)已知四边形ABCD满足:0,0,0,0,则该四边形为()A.平行四边形B.梯形C.平面四边形D.空间四边形4.如图,在大小为45的二面角A-EF-D中,四边形ABFE,CDEF都是边长为1的正方形,则B,D两点间的距离是()A.B.C.1D.5.(2013
2、杭州高二检测)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=AA1,ABC= 90,点E,F分别是棱AB,BB1的中点,则直线EF和BC1所成的角是()A.45B.60C.90D.120二、填空题(每小题8分,共24分)6.(2013安阳高二检测)已知向量a与b的夹角是120,且|a|=|b|=4,则b(2a+b)=.7.如图所示,在几何体A-BCD中,AB平面BCD,BCCD,且AB=BC=1,CD=2,点E为CD的中点,则AE的长为.8.如图BAC=90,等腰直角三角形ABC所在的平面与正方形ABDE所在的平面互相垂直,则异面直线AD与BC所成角的大小是.三、解答题(9题,10题14
3、分,11题18分)9.如图所示,直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,BCA=90,棱AA1=2,M,N分别是A1B1,A1A的中点.(1)求的长.(2)求cos的值.(3)求证:A1BC1M.10.(2013济南高二检测)如图,PA垂直于矩形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的中点,(1)求证:MNCD.(2)若PDA=45,求证:MN平面PCD.11.(能力挑战题)如图所示,矩形ABCD中,AB=1,BC=a,PA平面ABCD(点P位于平面ABCD上方),问BC边上是否存在点Q,使?答案解析1.【解析】选A.ab=|a|b|cos=|a|b|cos=1=0,即a,b同向,
4、故是充分条件;当a与b反向时,不能成立,不是必要条件.2.【解析】选B.|2a-b|=2,故选B.3.【解析】选D.由题意知,0,0,0,0,即四边形的四个内角均为钝角,所以该四边形为空间四边形.4.【解析】选D.=+=(+)2=+2(+)由题意知,|=|=|=1,=|cos135=11(-)=-,=0,2=3+2(-)=3-,BD=.5.【解析】选B.设=a,=b,=c,|a|=|c|=1,则|b|=,=+=+=a+c,=+=-+=-a+b+c,=(a+c)(-a+b+c)=-a2+ab+ac-ac+bc+c2=-|a|2+ab+bc+|c|2=-+ab+0+=ab.由题意知,=45,ab=
5、|a|b|cos=1cos45=1,=1=,=,cos=,cos=60,EF与BC1所成的角为60.6.【解析】b(2a+b)=2ab+b2=2|a|b|cos120+|b|2=244(-)+42=0.答案:07.【解析】=(+)2,=|2+|2+|2+2(+),由题意知,|=|=1=|,且=0.=3,AE的长为.答案:【举一反三】若将题条件中“BCCD”改为“BCD=120”,其他条件不变,结果如何?【解析】由本题解答知,=|2+|2+|2+2(+),|=|=1=|,=0,=|cos=11cos60=,=3+2=4, 故AE的长是2.答案:28.【解析】设正方形ABDE的边长为1,=+,=-
6、,=(+)(-)=-+-,=0-1+0-0=-1,|=,|=,cos=-,=120,故AD与BC所成角为60.答案:609.【解析】(1)由题可知,BA=,BAAN,=(+)2=+2+=()2+20+12=3,BN=.即的长为.(2)=+,=+,=(+)(+)=+=|cos135+0+0+=1(-)+22=3,|=,|=,cos=.(3)=+,=(+),=(+)(+)=(+)由题意知,=0,=|cos=1cos135=-1,=|cos=1cos45=1,=(-1+1)=0,即A1BC1M.10.【证明】(1)设=a,=b,=c,则=+=+-=+-(+)=+-=(+)=(b+c),=(b+c)(
7、-a)=-(ab+ac),四边形ABCD是矩形,PA平面ABCD,ab,ac,ab=ac=0,=0,故MNCD.(2)由(1)知,MNCD,=(b+c),=-=b-c,=(b+c)(b-c)=(|b|2-|c|2),PA平面ABCD,PAAD,又PDA=45,PA=AD,|b|=|c|,=0,MNPD,CD,PD平面PCD,且CDPD=D,MN平面PCD.【拓展提升】巧用数量积证明垂直问题垂直问题有线线垂直、线面垂直、面面垂直三类问题,这三类问题通常会转化为线线垂直问题,证明线线垂直问题又转化为向量的数量积为0,具体方法是:(1)先确定两个向量为两直线的方向向量.(2)用已知向量(通常是三个已
8、知向量,其模及其夹角已知)表示方向向量.(3)计算两个方向向量的数量积,通过线性运算、化简得出其数量积为0,得出两个方向向量垂直.(4)把向量垂直的结论转化为两直线垂直.11.【解题指南】由得PQQD,在平面ABCD内,点Q在以AD为直径的圆上,此时需讨论AD与AB的大小关系,若此圆与BC相切或相交,则BC边上存在点Q,否则不存在.【解析】假设存在点Q(Q点在边BC上),使,即PQQD,连接AQ.PA面ABCD,PAQD.又=+且,=0,即+=0.又由=0,=0,AQD=90,即点Q在以边AD为直径的圆上,圆的半径为.又AB=1,由图知,当=1,即a=2时,该圆与边BC相切,存在1个点Q满足题意;当1,即a2时,该圆与边BC相交,存在2个点Q满足题意;当1,即a2时,该圆与边BC相离,不存在点Q满足题意.综上所述,当a2时,存在点Q;当0a2时,不存在点Q.