1、北京101中学20182019学年上学期高一年级期末考试数学试卷一、选择题共8小题。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.若sin=，00）的最小正周期为，为了得到函数的图象，只要将的图象（ ）A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度【答案】A【解析】试题分析：由的最小正周期是，得，即 ，因此它的图象可由的图象向左平移个单位得到故选A考点：函数的图象与性质【名师点睛】三角函数图象变换方法：【此处有视频，请去附件查看】6.如图所示，函数（且）的图象是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】当 时，y=cosxta
2、nx0，排除B，D.当 时，y=cosxtanx0）在区间0，1上至少出现10次最大值，则的最小值是（ ）A. 10 B. 20 C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意利用正弦函数的图象和性质可得 9T110T，即 9110，由此求得的最小值【详解】解：函数ysinx（0）在区间0，1上至少出现10次最大值，9T110T，即 9110，求得20，故的最小值为，故选：C【点睛】本题主要考查正弦函数的图象和性质，考查函数的周期性与最值，不等式的解法，属于中档题8.设偶函数在（，0）上是增函数，则与的大小关系是（ ）A. B. C. D. 不确定【答案】C【解析】本题考查的是函数的单调性与奇偶
3、性。因为为偶函数，所以，即，解得，。又递增，递减，所以。且在递减，所以应选C。二、填空题共6小题。9.求值：2 +=_。【答案】-3【解析】【分析】利用对数、指数的性质和运算法则求解【详解】解：（）lg（1）lg1（）32+（）02+13故答案为：3【点睛】本题考查对数式、指数式的化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意对数、指数的性质、运算法则的合理运用10.已知向量a=（1，1），b=（sinx，），（0，），若ab，则x的值是_。【答案】【解析】【分析】根据即可得出sinx+cosx0，解三角方程即可【详解】解：；cosxsinx0；tanx；x（0，）；故答案为：【点睛】本题考查平行
4、向量的坐标关系，同角基本关系式可，已知三角函数值求角11.若tan=3，则2 sin2sincoscos2=_。【答案】【解析】【分析】根据题意，巧用平方关系，利用商数关系将式子转化为关于tan式子，代入求值即可【详解】解：tan3，2sin2sincoscos2 故答案为：【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系的灵活应用，即“齐次化切”在求值中的应用，是常考的题型，注意总结12.若函数=cos（x+）（N*）图象的一个对称中心是（，0），则的最小值为_。【答案】2【解析】试题分析：由题意得，所以的最小值是.考点：三角函数及其性质.13.函数的值域是_。【答案】0，【解析】【分析】根据根式的
5、意义结合三角函数的图像与性质进行求解即可【详解】解：1cosx1，要使函数有意义则sin（cosx）0，则0cosx1，此时0sin（cosx）sin1，则0，即函数的值域为0，故答案为：0，【点睛】本题主要考查复合函数的值域的问题，利用三角函数的有界性是解决本题的关键14.已知点O为ABC内一点，+2+3=0，则=_。【答案】3【解析】【分析】可作出图形，取BC的中点D，AC的中点E，并连接OA，OB，OC，OD，OE，根据条件可以得到，从而得出DE为ABC的中位线，这样即可得到AB3OE，从而便有【详解】解：如图，取BC中点D，AC中点E，连接OA，OB，OC，OD，OE； ；D，O，E三
6、点共线，即DE为ABC的中位线；DEOE，AB2DE；AB3OE；故答案为：3【点睛】本题考查向量加法的平行四边形法则，共线向量基本定理，以及向量的数乘运算，向量数乘的几何意义，三角形中位线的定义及性质，三角形的面积公式三、解答题共5小题。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。15.计算：。【答案】【解析】【分析】由条件利用诱导公式与特殊角的三角函数值，可得要求式子的值【详解】解：由诱导公式可得：，原式【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，特殊角的三角函数值，属于基础题16.已知函数=+，其中a0且a1。（1）求函数的定义域；（2）若函数有最小值而无最大值，求的单调增区间。【答案】（1）；（2
7、）1，1）.【解析】【分析】（1）根据对数函数的成立的条件建立不等式关系即可求出函数的定义域；（2）根据复合函数单调性的性质确定0a1，结合复合函数单调性的关系进行求解即可【详解】解：（1）要使函数有意义，则，得，得3x1，即函数的定义域为（3，1），（2）f（x）loga（1x）+loga（x+3）loga（1x）（x+3）loga（x22x+3）loga（x+1）2+4），设t（x+1）2+4，当3x1时，0t4，若函数f（x）有最小值而无最大值，则函数ylogat为减函数，则0a1，要求f（x）的单调增区间，则等价于求t（x+1）2+4，在3x1时的减区间，t（x+1）2+4的单调递减区
8、间为1，1），f（x）的单调递减区间为1，1）【点睛】本题主要考查对数函数的性质，结合复合函数单调性的关系求出a的范围是解决本题的关键17.已知=，函数是奇函数。（1）求a，c的值；（2）当xl，2时，的最小值是1，求的解析式。【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）法一：化简h（x）g（x）+f（x）（a1）x2+bx+c3，由（a1）x2bx+c3（a1）x2bxc+3对xR恒成立得到，从而求解，法二：化简h（x）g（x）+f（x）（a1）x2+bx+c3，由奇函数可得a10，c30，从而求解；（2）根据二次函数的性质，讨论对称轴所在的位置，从而确定f（x）的最小值在何时取得，从而求
9、f（x）的解析式【详解】解：（1）（法一）：f（x）+g（x）（a1）x2+bx+c3，又f（x）+g（x）为奇函数，h（x）h（x），（a1）x2bx+c3（a1）x2bxc+3对xR恒成立，解得；（法二）：h（x）f（x）+g（x）（a1）x2+bx+c3，h（x）为奇函数，a10，c30，a1，c3（2）f（x）x2+bx+3，其图象对称轴为，当，即b2时，f（x）minf（1）4b1，b3；当，即4b2时，解得或（舍）；当，即b4时，f（x）minf（2）7+2b1，b3（舍），f（x）x2+3x+3或【点睛】本题考查了函数的奇偶性的应用与及二次函数的最值的求法，属于基础题18.设函数
10、=Asin（A0，0，）在处取得最大值2，其图象与x轴的相邻两个交点的距离为。（1）求的解析式；（2）求函数 的值域。【答案】（1）=2 sin（2x+）；（2） （，【解析】【分析】（1）先确定函数的周期，可得的值，利用函数f（x）Asin（x+）（其中A0，0，）在x处取得最大值2，即可求得f（x）的解析式；（2）由三角函数恒等变换的应用化简可得g（x），由，即可求得函数g（x）的值域【详解】解：（1）由题意可得：f（x）maxA2，于是，故f（x）2sin（2x+），由f（x）在处取得最大值2可得：（kZ），又，故，因此f（x）的解析式为（2）由（1）可得：，故 ，令tcos2x，可知0
11、t1且，即，从而，因此，函数g（x）的值域为【点睛】本题主要考查了由yAsin（x+）的部分图象确定其解析式，考查三角函数恒等变换的应用，函数的单调性，考查了转化思想和计算能力，正确求函数的解析式是关键，属于中档题19.已知函数的定义域为（0，+），若在（0，+）上为增函数，则称为“一阶比增函数”；若在（0，+）上为增函数，则称为”二阶比增函数”。我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为1，所有“二阶比增函数”组成的集合记为2。（1）已知函数，若1，求实数的取值范围，并证明你的结论；（2）已知0abc，1且的部分函数值由下表给出：t4求证：；（3）定义集合，且存在常数k，使得任取x（0，+），
12、k，请问：是否存在常数M，使得任意的，任意的x（0，+），有M成立?若存在，求出M的最小值；若不存在，说明理由。【答案】（1）0；（2）见解析；（3）0【解析】【分析】（1）根据：f（x）1且f（x）2，可得yx22hxh，利用二次函数的单调性可得h0；由，yx，对h分类讨论可得：当h0，此时f（x）2；当h0时，函数在x（0，+）有极值点，可得f（x）2即可得出（2）由f（x）1，取0x1x2x1+x2，可得由表格可知：f（a）d，f（b）d，f（c）t，f（a+b+c）4，0abca+b+c，利用“一阶比增函数”可得，再利用不等式的性质即可得出（3）根据“二阶比增函数”先证明f（x）0对x
13、（0，+）成立再证明f（x）0在（0，+）上无解即可得出【详解】（1）解：yx22hxh，若f（x）1，则h0；，yx，当h0，x0时，y0，此时f（x）2，不符合题意，舍去；当h0时，此时函数在x（0，+）有极值点，因此f（x）2综上可得：当h0时，f（x）1且f（x）2因此h的取值范围是（，0）（2）因为，且0abca+b+c，所以，所以，同理可证，三式相加得，所以。因为，所以，而0ab，所以d0，所以。（3）因为集合，且存在常数k，使得任取x（0，+），k，所以 ，存在常数k，使得0，记0，因为是二阶比增函数，即是增函数。所以当x时，所以 ，所以一定可以找到一个，使得k，这与0，使得=0，则因为是二阶增函数，即是增函数，一定存在0，这与上面证明的结果矛盾。所以在（0，+）上无解。综上，我们得到 ，0），则0对x（0，+）成立，又有在（0，+）上是增函数，所以，而任取常数k0，使得时，有k，所以M的最小值为0。【点睛】本题考查了函数的单调性、导数的几何意义，掌握导数法在确定函数单调性和最值时的答题步骤是解答的关键，考查了推理能力与计算能力，属于难题