1、-1-第二章 数列-2-2.1 数列的概念与简单表示法-3-第1课时 数列的概念与简单表示法-4-第1课时 数列的概念 与简单表示法 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 SUITANG LIANXI随堂练习 课程目标学习脉络1.理解数列的概念、表示、分类.2.理解数列的通项公式及其简单应用.3.能根据数列的前几项写出一个通项公式.-5-第1课时 数列的概念 与简单表示法 JICHU ZHISHI基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 SUITANG LIANXI随堂练习 1.数列(1)定义:按照一定顺序排列的一列数叫做数列
2、.(2)项:数列中的每一个数都叫做这个数列的项.数列中的每一项都和它的序号有关,排在第一位的数称为这个数列的第 1 项(通常也叫做首项),排在第二位的数称为这个数列的第 2 项排在第 n 位的数称为这个数列的第 n 项.(3)表示:数列的一般形式可以写成:a1,a2,an,简记为an.an 表示数列中的第 n 个数.名师点拨数列的特征:(1)每一项都是数;(2)数列中的数有顺序,同一组数可组成多个不同的数列.-6-第1课时 数列的概念 与简单表示法 JICHU ZHISHI基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 SUITANG LIANXI随堂练习 2.数列的分类(1)按
3、数列的项数是否有限,分为有穷数列和无穷数列.项数有限的数列叫做有穷数列;项数无限的数列叫做无穷数列.(2)按项的变化趋势分类 类别含义递增数列从第 2 项起,每一项都大于它的前一项的数列递减数列从第 2 项起,每一项都小于它的前一项的数列常数列各项相等的数列摆动数列从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列名师点拨在写数列时,对于有穷数列,要把末项(有穷数列的最后一项)写出,如:数列 1,12,122,12-1表示有穷数列;但如果把数列写成1,12,122,123,12-1,或 1,12,122,123,则表示无穷数列.-7-第1课时 数列的概念 与简单表示法 JICHU
4、 ZHISHI基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 SUITANG LIANXI随堂练习 3.数列的通项公式如果数列an的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.名师点拨(1)已知通项公式 an=f(n),那么只需依次用1,2,3,代替公式中的 n,就可以求出这个数列的各项.(2)一个数列的通项公式可以有不同的形式,如 an=(-1)n 可以写成an=(-1)n+2,还可以写成 an=-1,为奇数,1,为偶数,这些通项公式形式上虽然不同,但都表示同一数列.(3)数列的通项公式也可用一个分段函数表示.例如,数列 1,0,1
5、,0,的通项公式可以表示为 an=1,为奇数,0,为偶数.(4)数列的通项公式实际上就是相应函数的解析式.(5)并不是所有的数列都有通项公式,就像并不是所有的函数都能用解析式表示一样.-8-第1课时 数列的概念 与简单表示法 JICHU ZHISHI基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 SUITANG LIANXI随堂练习 思考数列的项与项数有什么不同?提示:项与项数是两个不同的概念,数列的项是指这个数列中的某一个确定的数,它是一个函数值,即 f(n);而项数是指这个数在数列中的位置序号,它是函数值 f(n)对应的自变量的值,即 n.-9-第1课时 数列的概念 与简单表
6、示法 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 SUITANG LIANXI随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 数列的概念及分类对数列概念的理解:(1)有序性:如 1,2,3 与 3,2,1 是不同的数列.(2)可重复:如 2,2,2 是一个数列.(3)an与 an是两个不同的概念,an表示数列 a1,a2,an,而 an只表示数列an的第 n 项.(4)数列与数集是两个不同的概念,它们的主要区别在于:集合中的元素具有无序性和互异性,数列中的项是有序的且可以相同,即如果组成两个数列的数相同而排列次序不同,那么它们就是不同的数列,另一方面
7、,同一个数在数列中可以重复出现.-10-第1课时 数列的概念 与简单表示法 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 SUITANG LIANXI随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四【典型例题 1】已知下列数列:(1)0,0,0,0,0,0;(2)0,-1,2,-3,4,-5,;(3)0,12,23,-1,;(4)1,0.2,0.22,0.23,;(5)0,-1,0,cos2,.其中,是有穷数列,是无穷数列,是递增数列,是递减数列,是常数列,是摆动数列(填序号).-11-第1课时 数列的概念 与简单表示法 ZHONGDIAN NANDIAN重点难
8、点 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 SUITANG LIANXI随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 思路分析:观察数列的项的变化趋势与规律,由数列的分类来判断.解析:(1)是常数列且是有穷数列;(2)是无穷摆动数列;(3)是无穷递增数列 因为-1=1-1;(4)是无穷递减数列;(5)是无穷摆动数列.答案:(1)(2)(3)(4)(5)(3)(4)(1)(2)(5)-12-第1课时 数列的概念 与简单表示法 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 SUITANG LIANXI随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究二 根据数列的
9、前几项写出通项公式1.数列的通项公式表示的是项与项数之间的关系.2.根据数列的前几项写通项公式,体现了由特殊到一般的规律.解题时,一定要注意观察项与项数的关系和相邻项间的关系.具体思路为:(1)先统一项的结构,如都化成分数、根式等.(2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分,探索变化部分的规律与对应序号间的关系.(3)对于符号交替出现的情况,可先观察其绝对值,再用(-1)k 处理符号.(4)对于周期出现的数列,考虑拆成几个简单数列和的形式,或者利用周期函数的知识解答.-13-第1课时 数列的概念 与简单表示法 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 首 页 JICHU ZHISHI基础知识
10、 SUITANG LIANXI随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 3.常见数列的通项公式(1)数列-1,1,-1,1,的通项公式是 an=(-1)n,数列 1,-1,1,-1,的通项公式是 an=(-1)n+1 或(-1)n-1.(2)数列 1,2,3,4,的通项公式是 an=n.(3)数列 1,3,5,7,的通项公式是 an=2n-1.(4)数列 2,4,6,8,的通项公式是 an=2n.(5)数列 1,2,4,8,的通项公式是 an=2n-1.(6)数列 1,4,9,16,的通项公式是 an=n2.(7)数列 1,3,6,10,的通项公式是 an=(+1)2.(8)数列 1,12,1
11、3,14,的通项公式是 an=1.-14-第1课时 数列的概念 与简单表示法 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 SUITANG LIANXI随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四【典型例题 2】写出下列数列的一个通项公式:(1)12,2,92,8,252,;(2)1,-3,5,-7,9,;(3)9,99,999,9 999,;(4)22-11,32-23,42-35,52-47,;(5)-112,123,-134,145,.思路分析:经过观察、分析寻找每一项与其项数的统一规律.解:(1)数列的项有的是分数,有的是整数,可将各项都统一成分数再
12、观察:12,42,92,162,252,所以,它的一个通项公式为 an=22.(2)数列各项的绝对值分别为 1,3,5,7,9,是连续的正奇数,其通项公式为 2n-1;考虑(-1)n+1 具有转换符号的作用,所以数列的一个通项公式为an=(-1)n+1(2n-1).-15-第1课时 数列的概念 与简单表示法 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 SUITANG LIANXI随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四(3)各项加 1 后,分别变为 10,100,1 000,10 000,此数列的通项公式为 10n可得原数列的一个通项公式为 an=10
13、n-1.(4)数列中每一项均由三部分组成,分母是从 1 开始的奇数列,其通项公式为 2n-1;分子的前一部分是从 2 开始的自然数的平方,其通项公式为(n+1)2,分子的后一部分是减去一个自然数,其通项公式为 n,综合得原数列的一个通项公式为 an=(+1)2-n2-1=2+n+12-1.(5)这个数列的前 4 项的绝对值都等于序号与序号加 1 的积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式是 an=(-1)n1(+1).-16-第1课时 数列的概念 与简单表示法 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 SUITANG LIANXI随堂
14、练习 探究一 探究二 探究三 探究四 方法总结此类问题主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.具体方法为:(1)分式中分子、分母的特征;(2)相邻项的变化特征;(3)拆项后的特征;(4)各项的符号特征和绝对值特征;(5)化异为同.对于分式,还可以考虑对分子、分母各个击破,或寻找分子、分母之间的关系.-17-第1课时 数列的概念 与简单表示法 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 SUITANG LIANXI随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究三 数列通项公式的应用1.数列
15、是特殊的函数,特殊性表现在它的定义域为正整数集 N*(或它的有限子集).当自变量 n 从小到大依次取值时,对应的函数值就构成数列,因此数列的通项公式就是相应函数的解析式,即 an=f(n).2.判断给定的项是否是数列中的项,实质就是一个解方程的过程.若解得的 n 是正整数,则该项是此数列中的项;否则,就不是该数列中的项.-18-第1课时 数列的概念 与简单表示法 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 SUITANG LIANXI随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四【典型例题 3】已知数列 92-9n+292-1 ,(1)求这个数列的第 10
16、项;(2)98101是不是该数列中的项,为什么?(3)求证:数列中的各项都在区间(0,1)内.思路分析:对于(1)(2)将 n 代入或列方程求解;对于(3),将通项化简,根据n1 求出项的取值范围.解:设 f(n)=92-9n+292-1=(3-1)(3-2)(3-1)(3+1)=3-23+1.(1)令 n=10,得第 10 项 a10=f(10)=2831.(2)令 3-23+1=98101,得 9n=300.此方程无正整数解,所以 98101不是该数列中的项.-19-第1课时 数列的概念 与简单表示法 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 S
17、UITANG LIANXI随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四(3)an=3-23+1=3+1-33+1=1-33+1,又 nN*,033+11,0an1.即数列中的各项都在区间(0,1)内.-20-第1课时 数列的概念 与简单表示法 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 SUITANG LIANXI随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究四 易错辨析易错点:忽略数列中 n 的取值范围而致错【典型例题 4】求数列-2n2+29n+3中的最大项.错解:由已知,得 an=-2n2+29n+3=-2-294 2+10818,数列-2n2+29
18、n+3中的最大项为 10818.错因分析:上述解法忽略了数列中的项数 n 应为正整数的条件,n 的值不能取到294.正解:由已知,得 an=-2n2+29n+3=-2-294 2+10818.由于 nN*,故当 n 取距离294 最近的正整数 7 时,an 取得最大值 108.故数列-2n2+29n+3中的最大项为 a7=108.-21-第1课时 数列的概念 与简单表示法 SUITANG LIANXI随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 1 2 3 4 51.下列叙述正确的是()A.数列 1,3,5,7 与 7,5,3,1 是相同的数列
19、B.数列 0,1,2,3,可以表示为nC.数列 0,1,0,1,是常数列D.数列+1 是递增数列解析:数列中的项是有序的,故 A 错;B 中数列可以表示为n-1;C 中数列为摆动数列,故选 D.答案:D-22-第1课时 数列的概念 与简单表示法 SUITANG LIANXI随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 1 2 3 4 52.设数列 2,5,2 2,11,则 2 5是这个数列的()A.第 6 项B.第 7 项C.第 8 项D.第 9 项解析:数列的通项公式为 an=3-1,令 3-1=2 5,解得 n=7.答案:B-23-第1课时
20、 数列的概念 与简单表示法 SUITANG LIANXI随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 1 2 3 4 53.观察下面数列的特点,用适当的数填空:1,2,2,5,7,再写出它的一个通项公式为 .答案:3 6 an=-24-第1课时 数列的概念 与简单表示法 SUITANG LIANXI随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 1 2 3 4 54.数列23,-1,107,-179,2611,-3713,的一个通项公式为 .解析:数列可写为23,-55,107,-179,2611
21、,-3713,奇数项为正,偶数项为负,且分母是奇数,分子是 n2+1,所以它的一个通项公式可写为(-1)n+12+12+1.答案:an=(-1)n+12+12+1-25-第1课时 数列的概念 与简单表示法 SUITANG LIANXI随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 1 2 3 4 55.已知数列an的通项公式为 an=3n2-28n.(1)写出数列的第 4 项和第 6 项;(2)-49 是否是该数列的一项?如果是,是哪一项?68 是否是该数列的一项呢?解:(1)a4=316-284=-64,a6=336-286=-60.(2)设 3n2-28n=-49,解得 n=7 或 n=73(舍去),n=7,即-49 是该数列的第 7项.设 3n2-28n=68,解得 n=343 或 n=-2.343 N*,-2 N*,68 不是该数列的项.