1、江苏省南通市2007年高三第一次调研考试 数学试题 (2007年4月4日)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 设全集U1，2，3，4，5，集合A1，2，B2，3，则A4，5 B2，3 C1 D2 2 除以9的余数是 A1 B4 C7 D83 函数的定义域和值域均为0，1，则a等于A B2 C D4 双曲线的一条渐近线与实轴的夹角为，则双曲线的离心率为 Asin B Ccos D5 对某种电子元件使用寿命跟踪调查，所得样本频率分布直方图如右图，由图可知一批电子元件中寿命在100300小时的电子元件的数量与寿命在300600小时的
2、电子元件的数量的比是100400200300寿命（h）500600（第5题）A B C D6 函数的单调递增区间是A B C D 7 箱内有大小相同的6个红球和4个黑球，从中每次取1个球记下颜色后再放回箱中，则前3次恰有1次取到黑球的概率为 A B C D8 空间四条直线a，b，c，d，满足ab，bc，cd，da，则必有Aac Bbd Cbd 或ac Dbd 且ac 9 若a0，b0，a3b32a2b，则的取值范围是A B C D10ABC的外接圆圆心为O，且，则C等于A45 B60 C75 D90二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分把答案填写在答题卡相应位置上11已知向量a（1，
3、1），b，则a与b的夹角 12垂直于直线x3y0且与曲线相切的直线方程为 13椭圆的一个焦点为F，点P在椭圆上，且（O为坐标原点），则OPF的面积S 14数列an中，且，则常数t 15一排7个座位，让甲、乙、丙三人就坐，要求甲与乙之间至少有一个空位，且甲与丙之间也至少有一个空位，则不同的坐法有 种16已知函数，当时，有给出以下命题：（1）；（2）；（3）；（4）则所有正确命题的序号是 三、解答题：本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（本题满分12分）已知抛物线的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，且过点P（2，2），过F的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，
4、y2）两点（1）求抛物线的方程；（2）设直线l是抛物线的准线，求证：以AB为直径的圆与直线l相切D1ADBEFC1C（第18题）18（本题满分14分）在同一平面内，RtABC和RtACD拼接如图所示，现将ACD绕A点顺时针旋转角（0）后得AC1D1，AD1交DC于点E，AC1交BC于点FBACACD，ACBADC，AC（1）当AF1时，求；（2）求证：对任意的（0，），为定值19（本题满分14分）正四棱锥SABCD中，O为底面中心，E为SA的中点，AB1，直线AD到平面SBC的距离等于（1）求斜高SM的长；SABCDOEM（第19题）（2）求平面EBC与侧面SAD所成锐二面角的大小；（3）在S
5、M上是否存在点P，使得OP平面EBC？并证明你的结论20（本题满分15分）（1）设a，nN*，a2，证明：；（2）等比数列an中，前n项的和为An，且A7，A9，A8成等差数列设，数列bn前n项的和为Bn，证明：Bn21（本题满分15分）已知函数和（其中），（1）求的取值范围；（2）方程有几个实根？为什么？江苏省南通市2007年高三第一次调研考试 数学试题参考答案和评分标准 (2007年4月4日)1C 2A 3B 4D 5C 6B 7D 8C 9B 10A11120 123xy10 13 1410 15100 16（1），（4）17解：（1）设抛物线，将（2，2）代入，得p1 4分y2=2x为
6、所求的抛物线的方程5分（2）联立 消去y，得到 7分设AB的中点为，则 点到准线l的距离9分而，11分，故以AB为直径的圆与准线l相切 12分（注：本题第（2）也可用抛物线的定义法证明）18解：（1）在ACF中，即5分又， 7分（2） 14分（注：用坐标法证明，同样给分）19解法一：（1）连OM，作OHSM于HSM为斜高，M为BC的中点，BCOMBCSM，BC平面SMO又OHSM，OH平面SBC 2分由题意，得设SMx，则，解之，即 5分（2）设面EBCSDF，取AD中点N，连SN，设SNEFQSABCDOEM（第19题）QHFNADBC，AD面BEFC而面SAD面BEFCEF，ADEF又AD
7、SN，ADNM，AD面SMN从而EF面SMN，EFQS，且EFQMSQM为所求二面角的平面角，记为 7分由平几知识，得，即所求二面角为 10分（3）存在一点P，使得OP平面EBC取SD的中点F，连FC，可得梯形EFCB，取AD的中点G，连SG，GM，得等腰三角形SGM，O为GM的中点，设SGEFH，则H是EF的中点连HM，则HM为平面EFCB与平面SGM的交线又BCSO，BCGM，平面EFCB平面SGM 12分在平面SGM中，过O作OQHM，由两平面垂直的性质，可知OQ平面EFCB而OQ平面SOM，在平面SOM中，延长OQ必与SM相交于一点，故存在一点P，使得OP平面EBC 14分SABCDO
8、EMxyz（第19题）解法二：（1）建立空间坐标系（如图）底面边长为1， 1分设，平面SBC的一个法向量，则，y2h，n（0，2h，1） 3分而（0，1，0），由题意，得解得斜高 5分（2）n（0，2h，1），由对称性，面SAD的一个法向量为n1 6分设平面EBC的一个法向量n2=（x，y，1），由，得 解得 8分设所求的锐二面角为，则， 10分（3）存在满足题意的点证明如下： 11分又，令与n2共线，则 13分故存在PSM，使OP面EBC 14分20. 解：（1）当n为奇数时，ana，于是， 3分 当n为偶数时，a11，且ana2，于是= 6分（2），公比9分 10分（注：如用求和公式，漏掉q=1的讨论，扣1分） 12分15分21解：（1）， 1分，即， 3分当，即时，上式不成立4分当，即时，由条件，得到由，解得或 5分由，解得或6分 m的取值范围是或 7分（2）有一个实根9分，即记，则， 10分 0，故有相异两实根， 显然， 12分于是 而为三次函数的极小值点，故与x轴只有一个交点 方程只有一个实根15分
