1、1.2空间向量基本定理基础过关练题组一空间向量基本定理及相关概念的理解1.设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且a,b,c是空间的一个基底,给出下列向量组:a,b,x;x,y,z;b,c,z;x,y,a+b+c,则其中可以作为空间的基底的向量组有(深度解析)A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.已知空间四个点O、A、B、C,OA,OB,OC为空间的一个基底,则下列说法正确的是()A.O,A,B,C四点共线 B.O,A,B,C四点共面,但不共线C.O,A,B,C四点不共面 D.|OA|=|OB|=|OC|=13.(2021山东济宁高二上检测)已知点O,A,B,C为空间中不共面的四点,且向量
2、a=OA+OB+OC,向量b=OA+OB-OC,则不能与a,b共同构成空间向量的一个基底的向量是()A.OA B.OB C.OC D.以上都不能题组二空间向量基本定理的应用用空间的基底表示空间向量4.在三棱柱A1B1C1-ABC中,D是四边形BB1C1C的中心,且AA1 =a,AB=b,AC=c,则A1D=()A.12a+12b+12c B.12a-12b+12cC.12a+12b-12c D.-12a+12b+12c5.(2020安徽淮北一中高二上期中)已知M、N分别是四面体OABC的棱OA,BC的中点,点P在线段MN上,且MP=2PN,设向量OA=a,OB=b,OC=c,则OP=() A.
3、16a+16b+16c B.13a+13b+13cC.16a+13b+13c D.13a+16b+16c6.(2020湖北宜昌高二下期末)在正四面体PABC中,M是PA上的点,且PM=2MA,N是BC的中点,若MN=xPA+yPB+zPC,则x+y+z 的值为.题组三利用空间向量基本定理解决几何问题7.(2021山东师范大学附属中学高二上月考)如图,已知ABCD-A1B1C1D1是四棱柱,底面ABCD是正方形,AA1=3,AB=2,且C1CB=C1CD=60,设CD=a,CB=b,CC1=c.(1)试用a,b,c表示A1C ;(2)已知O为体对角线A1C的中点,求CO的长. 能力提升练题组一利
4、用空间向量基本定理证明平行和垂直 1.(多选)()在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E为A1C1的中点,则与直线CE不垂直的有()A.ACB.BDC.A1DD.A1A2.(2020山东烟台高二上期末,)如图所示的平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=AA1=AD,BAD=DAA1=60,BAA1=30,N为A1D1上一点,且A1N=A1D1,若BDAN,则的值为;若M为棱DD1的中点,BM平面AB1N,则的值为.3. (2021辽宁大连高二上检测,)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABC=90,BC=2,CC1=4,点E在棱BB1上,EB1=1,D、F、G分别为CC1
5、、B1C1、A1C1的中点,EF与B1D相交于点H.(1)求证:B1D平面ABD;(2)求证:平面EFG平面ABD. 题组二利用空间向量基本定理求线段长度和异面直线所成角4. (2021山东济宁实验中学高二上月考,)在一平面直角坐标系中,已知A(-1,6),B(2,-6),现沿x轴将坐标平面折成60的二面角,则折叠后A,B两点间的距离为()A. B. C. D.5.(多选)()如图,一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A1B1C1D1,其中,以顶点A为端点的三条棱长均为6,且它们彼此的夹角都是60,下列说法中正确的是()A.AC1=66B.AC1DBC.向量B1C与AA1的夹角是60D.BD
6、1与AC所成角的余弦值为636.(2020浙江杭州学军中学高二上期中,)棱长为a的正四面体ABCD中,E,F分别为棱AD,BC的中点,则异面直线EF与AB所成角的大小是,线段EF的长度为.7.(原创)()化学中,将构成粒子(原子、离子或分子)在空间按一定规律呈周期性重复排列构成的固体物质称为晶体.在结构化学中,可将晶体结构截分为一个个包含等同内容的基本单位,这个基本单位叫做晶胞.已知钙、钛、氧可以形成如图所示的立方体晶胞(其中Ti原子位于晶胞的中心,Ca原子均在顶点位置,O原子位于棱的中点).则图中原子连线BF与B1E所成角的余弦值为.答案全解全析基础过关练1.C结合长方体,如图,可知向量a,
7、b,x共面,x,y,z不共面,b,c,z不共面,x,y,a+b+c也不共面,故选C.方法归纳判断给出的某一个向量组中的三个向量能否作为基底,关键是要判断它们是否共面,如果从正面难以入手,常用反证法或借助一些常见的几何图形帮助我们进行判断.2.COA,OB,OC为空间的一个基底,OA,OB,OC三个向量不共面,即O、A、B、C四点不共面.OA、OB、OC不一定为单位向量,故选C.3.COC=12(OA+OB+OC)-12(OA+OB-OC)=12(a-b),OC与a,b共面,OC不能与a,b共同构成空间向量的一个基底.易知OA,OB均能与a,b共同构成空间向量的一个基底.故选C.4.DA1D=1
8、2(A1B+A1C1)=12(A1A+A1B1+A1C1)=-12a+12b+12c,故选D.5.COP=23ON+13OM=2312(OB+OC)+1312OA=13b+13c+16a,故选C.6.答案13 解析如图所示,连接PN,AN,MN=MP+PN=-23PA+12(PB+PC)=-23PA+12PB+12PC,x=-23,y=12,z=12.x+y+z=13.7.解析(1)A1C=A1A+AD+DC=-AA1+BC-CD=-CC1-CB-CD=-c-b-a.(2)由题意知,|a|=2,|b|=2,|c|=3,ab=0,ac=2312=3,ab=2312=3,CO=12CA1=12(a
9、+b+c),|CO|=14(a+b+c)2=14(a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc) =14(22+22+32+0+23+23)=292.能力提升练1.ACDCE=AE-AC=AA1+A1E-AB-AD=AA1-12AB-12AD,AC=AB+AD,BD=AD-AB,A1D=AD-AA1,CEAC=-12AB2-12AD20,CEBD=12AB2-12AD2=0,CEA1D=-AA12-12AD20,CEAA1=AA120,与CE不垂直的有AC、A1D、A1A.故选ACD.2.答案3-1;23解析取空间中的一个基底:AB=a,AD=b,AA1=c.若BDAN,则BDAN=0.BD=AD
10、-AB=b-a,AN=AA1+A1N=c+b,(b-a)(c+b)=0,12+-32-2=0,=3-1.当M为棱DD1的中点,BM平面AB1N时,BM=-a+b+12c,AN=b+c,AB1=a+c.BM平面AB1N,向量BM,AN,AB1共面,x,yR,使得BM=xAN+yAB1,即-a+b+12c=ya+xb+(x+y)c,-1=y,1=x,12=x+y, 解得=23.3.证明(1)易得B1D=B1C1+C1D=B1C1+12B1B,BD=BC+CD=B1C1-12B1B,B1DBA=B1C1+12B1BB1A1=0,B1DBD=B1C1+12B1BB1C1-12B1B=B1C12-14B
11、1B2=0,B1DBA,B1DBD,又BABD=B,B1D平面ABD.(2)连接B1G.EG=B1G-B1E=12(B1C1+B1A1)-14B1B,FG=B1G-B1F=12(B1A1+B1C1)-12B1C1=12B1A1,B1DEG=(B1C1+12B1B)12B1C1+12B1A1-14B1B=12B1C12-18B1B2=0,B1DFG=B1C1+12B1B12B1A1=0,B1DEG,B1DFG,又EGFG=G,B1D平面EFG,又B1D平面ABD,平面ABD与平面EFG不重合,平面EFG平面ABD.4.D已知在平面直角坐标系中A(-1,6),B(2,-6),作ACx轴,交x轴于C
12、点,作BDx轴,交x轴于D点,如图(1),沿x轴将坐标平面折成60的二面角,如图(2),易得|AC|=6,|CD|=3,|DB|=6,ACCD,CDDB,AC,DB的夹角为120,所以AB=AC+CD+DB,图(1)图(2)所以|AB|2=|AC|2+|CD|2+|DB|2+2ACCD+2CDDB+2ACDB=62+32+62-26612=45,|AB|=35,即折叠后A,B两点间的距离为35.故选D.5.AB因为以顶点A为端点的三条棱长均为6,且它们彼此的夹角都是60,所以AA1AB=AA1AD=ADAB=66cos 60=18,(AA1+AB+AD)2=AA12+AB2+AD2+2AA1A
13、B+2ABAD+2AA1AD=36+36+36+3218=216,则|AC1|=|AA1+AB+AD|=66, 所以A正确;AC1DB=(AA1+AB+AD)(AB-AD)=AA1AB-AA1AD+AB2-ABAD+ADAB-AD2 =0,所以B正确;显然AA1D 为等边三角形,则AA1D=60.因为B1C=A1D,且向量A1D与AA1的夹角是120,所以B1C与AA1的夹角是120,所以C不正确;因为BD1=AD+AA1-AB,AC=AB+AD,所以|BD1|=(AD+AA1-AB)2=62,|AC|=(AB+AD)2=63,BD1AC=(AD+AA1-AB)(AB+AD)=36,所以cos
14、=BD1AC|BD1|AC|=366263=66,所以D不正确.故选AB.6.答案4;22a解析设AB=a,AC=b,AD=c,则a,b,c是空间的一个基底,|a|=|b|=|c|=a,ab=ac=bc=12a2.EF=AF-AE=12(a+b)-12c,EFAB=12a2+12ab-12ac=12a2,|EF|=12a+12b-12c2=22a,cos=EFAB|EF|AB|=12a222aa=22,异面直线EF与AB所成的角为4.7.答案15解析设该立方体的棱长为a,取A1B1,A1D1,A1A为空间向量的一个基底,其中=90,=90,=90.BF=AF-AB=12AD-AB=12A1D1-A1B1,B1E=B1B+BE=A1A+12A1D1,设BF与B1E所成角为,则cos =|cos|=|BFB1E|BF|B1E|=14A1D1214A1D12+A1B1214A1D12+A1A2=14a254a2=15,BF与B1E所成角的余弦值为15.