1、2015-2016学年北京101中高二（上）期末数学试卷（文科）一.选择题：本大题共8小题，共40分1对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则（）AP1=P2P3BP2=P3P1CP1=P3P2DP1=P2=P32某公司10位员工的月工资（单位：元）为x1，x2，x10，其均值和方差分别为和s2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（）A，s2+1002B +100，s2+1002C，s2D +100，s23某程序框图如图所示，则该程序运
2、行后输出i的值是（）A27B63C15D314为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为12，13），13，14），14，15），15，16），16，17，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，第五组如图是根据试验数据制成的频率分布直方图已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（）A6B8C12D185下列续集中正确的个数是（）命题“xR，x2x0”的否定是“xR，x2x0”；命题“若am2bm2，则ab”的逆命题是真命题；若p是q的必要条件，则p是q的充分条件；xR，不等式x2+2x4x
3、3均成立A1个B2个C3个D4个6若区间（0，1）上任取一实数b，则方程x2+x+b=0有实根的概率为（）ABCD7函数f（x）的定义域为R，f（1）=2，对任意xR，f（x）2，则f（x）2x+4的解集为（）A（1，1）B（1，+）C（，l）D（，+）8已知动圆C经过点F（0，1），并且与直线y=1相切，若直线3x4y+20=0与圆C有公共点，则圆C的面积（）A有最大值为B有最小值为C有最大值为4D有最小值为4二、填空题：本大题共6小题，共30分9右面的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩低于乙的平均成绩的概率是10已知双曲线的一个焦点与抛物线y
4、2=4x的焦点重合，且该双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为11已知a是实数，函数f（x）=x2（xa），若f（1）=3，则曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为12如图，F1、F2是双曲线=1（a0，b0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A、B若ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为13如图，椭圆+=1（ab0）的左、右焦点为F1、F2，上顶点A，离心率为，点P为第一象限内椭圆上的一点，若： =2：1则直线PF1的斜率为14已知F是抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧， =2（其中O为坐标原点），则ABO与AFO面积之和的最小值
5、是三、解答题：本大题共4小题，共50分.15某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团）围棋社戏剧社书法社高中4530a初中151020学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果围棋社被抽出12人（I） 求这三个社团共有多少人？（II） 书法社从3名高中和2名初中成员中，随机选出2人参加书法展示，求这2人中初、高中学生都有的概率16随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如表：年份20102011201220132014时间代号t12345储蓄存款y （千亿元）567810（1）求y关于t回归方
6、程=+t；用所求回归方程预测该地区2016年（t=7）人民币储蓄存款附：回归直线方程=+t中， =， =17已知函数f（x）=（xk）ex（）求f（x）的单调区间；（）求f（x）在区间0，1上的最小值18已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点B与抛物线x2=4y的焦点重合，离心率（）求椭圆C的方程；（）是否存在直线l与椭圆交于M、N两点，且椭圆C的右焦点F恰为BMN的垂心（三条高所在直线的交点），若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由2015-2016学年北京101中高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共8小题，共40分1对一个容量为N的总
7、体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则（）AP1=P2P3BP2=P3P1CP1=P3P2DP1=P2=P3【考点】简单随机抽样；分层抽样方法；系统抽样方法【分析】根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义即可得到结论【解答】解：根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，无论哪种抽样，每个个体被抽中的概率都是相等的，即P1=P2=P3故选：D2某公司10位员工的月工资（单位：元）为x1，x2，x10，其均值和方差分别为和s2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均
8、值和方差分别为（）A，s2+1002B +100，s2+1002C，s2D +100，s2【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数【分析】根据变量之间均值和方差的关系和定义，直接代入即可得到结论【解答】解：由题意知yi=xi+100，则=（x1+x2+x10+10010）=（x1+x2+x10）=+100，方差s2= （x1+100（+100）2+（x2+100（+100）2+（x10+100（+100）2= （x1）2+（x2）2+（x10）2=s2故选：D3某程序框图如图所示，则该程序运行后输出i的值是（）A27B63C15D31【考点】程序框图【分析】根据程序框图的要求，写出前几
9、次循环结果，直到满足判断框中的要求，得到输出的结果【解答】解：该程序框图为循环结构经第一次循环得到s=1，i=3；第二次循环得到s=2，i=7；经第三次循环得到s=5，i=15经第四次循环得到s=26，i=31；经第五次循环得到s=262+1，i=63，此时满足判断框中的条件，执行输出63故选B4为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为12，13），13，14），14，15），15，16），16，17，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，第五组如图是根据试验数据制成的频率分布直方图已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗
10、效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（）A6B8C12D18【考点】频率分布直方图【分析】由频率=以及直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人的频率，即可求出第三组中有疗效的人数得到答案；【解答】解：由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人，分布在区间第一组与第二组的频率分别为0.24，0.16，所以第一组有12人，第二组8人，第三组的频率为0.36，所以第三组的人数：18人，第三组中没有疗效的有6人，第三组中有疗效的有12人故选：C5下列续集中正确的个数是（）命题“xR，x2x0”的否定是“xR，x2x0”；命题“若am2bm2，则ab”的逆命题是真命题；若p是q的必要条件，则p是
11、q的充分条件；xR，不等式x2+2x4x3均成立A1个B2个C3个D4个【考点】命题的否定；充要条件；全称命题【分析】所给的命题是一个特称命题，特称命题的否定是全称命题，依据规则写出结论即可；通过举反例判断出不正确；根据p是q的必要条件，我们易得到qp的真假，然后根据逆否命题真假性相同，即可得到的真假；利用二次不等式的解的情况可对进行判断【解答】解：对于：由于命题“xR，x2x0”的否定是“xR，x2x0”，故正确；对于：“若am2bm2，则ab”的逆命题为“若ab则am2bm2当m=0时不成立，故为假命题故不正确；：p是q的必要条件，qp为真命题，故pq为真命题故p是q的充分条件，故正确；：
12、不等式x2+2x4x3即不等式x22x+30，即（x1）2+20，它恒成立，故正确故选C6若区间（0，1）上任取一实数b，则方程x2+x+b=0有实根的概率为（）ABCD【考点】几何概型【分析】由方程有实根可得b的范围，由线段长度之比可得概率【解答】解：由方程x2+x+b=0有实根可得=14b0，解得b，所求概率P=故选：A7函数f（x）的定义域为R，f（1）=2，对任意xR，f（x）2，则f（x）2x+4的解集为（）A（1，1）B（1，+）C（，l）D（，+）【考点】其他不等式的解法【分析】把所求的不等式的右边移项到左边后，设左边的式子为F（x）构成一个函数，把x=1代入F（x）中，由f（1
13、）=2出F（1）的值，然后求出F（x）的导函数，根据f（x）2，得到导函数大于0即得到F（x）在R上为增函数，根据函数的增减性即可得到F（x）大于0的解集，进而得到所求不等式的解集【解答】解：设F（x）=f（x）（2x+4），则F（1）=f（1）（2+4）=22=0，又对任意xR，f（x）2，所以F（x）=f（x）20，即F（x）在R上单调递增，则F（x）0的解集为（1，+），即f（x）2x+4的解集为（1，+）故选B8已知动圆C经过点F（0，1），并且与直线y=1相切，若直线3x4y+20=0与圆C有公共点，则圆C的面积（）A有最大值为B有最小值为C有最大值为4D有最小值为4【考点】圆的一般
14、方程；直线与圆相交的性质【分析】因为直线3x4y+20=0与圆C有公共点，则直线与圆相切或相交，而点F（0，1）在直线3x4y+20=0的下方，所以直线3x4y+20=0与圆相切时圆最小，再求得此时的半径，从而求得面积另外，本题还可根据由于圆经过点F（0，1）且与直线y=1相切，所以圆心C到点F与到直线y=1的距离相等，由抛物线的定义知点C的轨迹方程为x2=4y，根据点、直线间的距离公式列出方程求r的最值来求解本题【解答】解法一：设圆的标准方程为（xa）2+（yb）2=r2则根据题意：，解得：r=2故最小的圆的面积是4解法二：由抛物线的定义知点C的轨迹方程为x2=4y，设C点坐标为（x，），C
15、过点F，半径r=|CF|=，直线3x4y+20=0圆C有公共点，即转化为点（x，）到直线3x4y+20=0的距离d=解得x或x2，从而得圆C的半径r=+12，故圆的面积有最小值4二、填空题：本大题共6小题，共30分9右面的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩低于乙的平均成绩的概率是【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数【分析】由已知的茎叶图，我们可以求出甲乙两人的平均成绩，然后求出，即甲的平均成绩低于乙的平均成绩的概率，进而得到答案【解答】解：由已知中的茎叶图可得甲的5次综合测评中的成绩分别为88，89，90，91，92，则甲的平均成绩=（88+89
16、+90+91+92）=90设污损数字为X，则乙的5次综合测评中的成绩分别为83，83，87，99，90+X则乙的平均成绩=（83+83+87+99+90+X）=88.4+当X=9时，即甲的平均成绩低于乙的平均成绩的概率为，故答案为：10已知双曲线的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且该双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为【考点】双曲线的简单性质；抛物线的简单性质【分析】根据双曲线的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，可得c=1，利用双曲线的离心率为，可得a的值，从而可求双曲线的渐近线方程【解答】解：由题意，抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0）双曲线的一个焦点与抛物线y2=4x的焦
17、点重合，c=1双曲线的离心率为，双曲线的渐近线方程为故答案为：y=2x11已知a是实数，函数f（x）=x2（xa），若f（1）=3，则曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求得f（x）的导数，由f（1）=3，可得a=0，求出f（x）的解析式和导数，可得所求切线的斜率和切点，运用点斜式方程，可得所求切线的方程【解答】解：函数f（x）=x2（xa）的导数为f（x）=2x（xa）+x2=3x22ax，f（1）=3，即为32a=3，解得a=0，即f（x）=x3，f（x）=3x2，可得曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线斜率为3，切点为（1，
18、1），即有切线的方程为y1=3（x1），即为3xy2=0故答案为：3xy2=012如图，F1、F2是双曲线=1（a0，b0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A、B若ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为【考点】双曲线的简单性质【分析】根据双曲线的定义算出AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，由ABF2是等边三角形得F1AF2=120，利用余弦定理算出c=a，结合双曲线离心率公式即可算出双曲线C的离心率【解答】解：根据双曲线的定义，可得|BF1|BF2|=2a，ABF2是等边三角形，即|BF2|=|AB|，|BF1|BF2|=2a，即|BF1|AB|=|AF
19、1|=2a，又|AF2|AF1|=2a，|AF2|=|AF1|+2a=4a，AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，F1AF2=120，|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|22|AF1|AF2|cos120，即4c2=4a2+16a222a4a（）=28a2，解之得c=a，由此可得双曲线C的离心率e=故答案为：13如图，椭圆+=1（ab0）的左、右焦点为F1、F2，上顶点A，离心率为，点P为第一象限内椭圆上的一点，若： =2：1则直线PF1的斜率为【考点】椭圆的简单性质【分析】设出直线方程，利用： =2：1，可得A到直线PF1的距离是F2到直线PF1的2倍，利用椭圆的离心率，即可
20、求得直线PF1的斜率【解答】解：设直线PF1的斜率为k，则直线PF1的直线方程为y=k（x+c），即kxy+kc=0： =2：1A到直线PF1的距离是F2到直线PF1的2倍=2|b+kc|=4|kc|离心率为，b=ck=或k=点P为第一象限内椭圆上的一点，k=故答案为14已知F是抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧， =2（其中O为坐标原点），则ABO与AFO面积之和的最小值是【考点】抛物线的简单性质【分析】先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及=2消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题【解答】解：设直线AB的方程为：x=
21、ty+m，点A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB与x轴的交点为M（m，0），x=ty+m代入y2=x，可得y2tym=0，根据韦达定理有y1y2=m，=2，x1x2+y1y2=2，从而（y1y2）2+y1y22=0，点A，B位于x轴的两侧，y1y2=2，故m=2不妨令点A在x轴上方，则y10，又F（，0），SABO+SAFO=2（y1y2）+y1=y1+3当且仅当y1=，即y1=时，取“=”号，ABO与AFO面积之和的最小值是3，故答案为：3三、解答题：本大题共4小题，共50分.15某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团）围棋社戏剧社书法社高中4530a初中151020
22、学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果围棋社被抽出12人（I） 求这三个社团共有多少人？（II） 书法社从3名高中和2名初中成员中，随机选出2人参加书法展示，求这2人中初、高中学生都有的概率【考点】等可能事件的概率；分层抽样方法【分析】（I）根据围棋社共有60人，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果围棋社被抽出12人，得到三个社团的总人数（II）本题是一个等可能事件的概率，列举出试验发生包含的事件，共有10个基本事件，书法展示的同学中初、高中学生都有列举出共有6种结果，根据概率公式得到结果【解答】解：（I）围棋社共有60人，由可知三个社团
23、一共有150人（II）由题意知本题是一个等可能事件的概率，设初中的两名同学为a1，a2，高中的3名同学为b1，b2，b3，随机选出2人参加书法展示所有可能的结果：a1，a2，a1，b1，a1，b2，a1，b3，a2，b1，a2，b2，a2，b3，b1，b2，b1，b3，b2，b3，共10个基本事件设事件A表示“书法展示的同学中初、高中学生都有”，则事件A共有a1，b1，a1，b2，a1，b3，a2，b1，a2，b2，a2，b36个基本事件故参加书法展示的2人中初、高中学生都有的概率为16随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如表：年份2010201
24、1201220132014时间代号t12345储蓄存款y （千亿元）567810（1）求y关于t回归方程=+t；用所求回归方程预测该地区2016年（t=7）人民币储蓄存款附：回归直线方程=+t中， =， =【考点】线性回归方程【分析】（1）由题意，利用公式计算平均数与回归直线的系数，即可写出回归直线方程；（2）计算t=7时回归方程中的值即可【解答】解：（1）由题意可知=（1+2+3+4+5）=3，=（5+6+7+8+10）=7.2，tiyi=15+26+37+48+510=120，=12+22+32+42+52=55，故=1.2，=7.21.23=3.6，因此，所求y关于t的回归方程为=3.6
25、+1.2t；（2）将t=7代入（1）中的回归方程可得：=3.6+1.27=12；故由所求回归方程可预测该地区2016年的人民币储蓄存款为12千亿元17已知函数f（x）=（xk）ex（）求f（x）的单调区间；（）求f（x）在区间0，1上的最小值【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（I）求导，令导数等于零，解方程，跟据f（x）f（x）随x的变化情况即可求出函数的单调区间；（）根据（I），对k1是否在区间0，1内进行讨论，从而求得f（x）在区间0，1上的最小值【解答】解：（）f（x）=（xk+1）ex，令f（x）=0，得x=k1，f（x）f（x）随x的变化情况如下：
26、x（，k1）k1（k1，+） f（x）0+ f（x）ek1f（x）的单调递减区间是（，k1），f（x）的单调递增区间（k1，+）；（）当k10，即k1时，函数f（x）在区间0，1上单调递增，f（x）在区间0，1上的最小值为f（0）=k；当0k11，即1k2时，由（I）知，f（x）在区间0，k1上单调递减，f（x）在区间（k1，1上单调递增，f（x）在区间0，1上的最小值为f（k1）=ek1；当k11，即k2时，函数f（x）在区间0，1上单调递减，f（x）在区间0，1上的最小值为f（1）=（1k）e；综上所述f（x）min=18已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点B与抛物线x2
27、=4y的焦点重合，离心率（）求椭圆C的方程；（）是否存在直线l与椭圆交于M、N两点，且椭圆C的右焦点F恰为BMN的垂心（三条高所在直线的交点），若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（）因为椭圆的一个顶点B与抛物线x2=4y的焦点重合，所以b=1，又因为离心率为，所以，再根据椭圆中a2=b2+c2，就可求出a，b，的值，得到椭圆方程（）先假设存在直线l与椭圆交于M、N两点，且椭圆C的右焦点F恰为BMN的垂心设出M，N坐标，由（1）中所求椭圆方程，可得F，B点坐标，利用若F为BMN的垂心，则MFBN，就可得到含x1，x2，y1，y2的等式，再设MN
28、方程为y=x+t，代入椭圆方程，求x1+x2，x1x2，y1+y2，y1y2，均用含t的式子表示，再代入上面所求等式中，求t，若能求出，则存在直线l与椭圆交于M、N两点，且椭圆C的右焦点F恰为BMN的垂心，若求不出，则不存在直线l与椭圆交于M、N两点，且椭圆C的右焦点F恰为BMN的垂心【解答】解：（）设椭圆方程为，抛物线x2=4y的焦点坐标为（0，1）b=1由已知得，解得椭圆方程为（）设M（x1，y1），N（x2，y2），F（1，0），B（0，1），kBF=1F是垂心，KMN=1设MN的方程为y=x+t，代入椭圆方程后整理得：3x2+4tx+2t22=0将x=yt代入椭圆方程后整理得：3y22ty+t22=0F是垂心，MFBN，（1x1）x2y1（y21）=0，整理得：x1+x2x1x2y1y2+t=03t2+t4=0或t=1（舍）存在直线 l，其方程为使题设成立2016年10月13日
