1、1微重点 立体几何中的动态问题“动态”问题是高考立体几何问题最具创新意识的题型，它渗透了一些“动态”的点、线、面等元素，给静态的立体几何题赋予了活力，题型更新颖同时，由于“动态”的存在，也使立体几何题更趋多元化，将立体几何问题与平面几何中的解三角形问题、多边形面积问题以及解析几何问题之间建立桥梁，使得它们之间灵活转化知识导图考点一：动点轨迹问题考点二：折叠、展开问题考点三：最值、范围问题考点分类讲解考点一：动点轨迹问题规律方法 解决与几何体有关的动点轨迹问题的方法(1)几何法：根据平面的性质进行判定(2)定义法：转化为平面轨迹问题，用圆锥曲线的定义判定或用代数法进行计算(3)特殊值法：根据空间
2、图形线段长度关系取特殊值或位置进行排除1(2024浙江温州一模)如图，所有棱长都为 1 的正三棱柱 ABC-A1B1C1，BE=2EC，点 F 是侧棱AA1上的动点，且 AF=2CG，H 为线段 FB 上的动点，直线 CH 平面 AEG=M，则点 M 的轨迹为()A.三角形(含内部)B.矩形(含内部)C.圆柱面的一部分D.球面的一部分2(多选)(23-24 高三上贵州安顺期末)如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，点 E、F、G、H 分别为棱 CC1、C1D1、A1D1、AB 的中点，点 M 为棱 A1B1上动点，则()2 A.点 E、F、G、H 共面B.GM+MH的最小
3、值为 1+5C.点 B 到平面 AB1C 的距离为 2 33D.DE A1H3(2023贵州一模)如图，已知正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 2，M，N，P 分别为棱 AA1,CC1,AD的中点，Q 为该正方体表面上的点，若 M，N，P，Q 四点共面，则点 Q 的轨迹围成图形的面积为4(2023宁波联考)正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1，点 P 满足 BP=BC+-BB1(，R)，则下列说法正确的有()A.若 +=1，则 A1P AD1B.若 +=1，则三棱锥 A1-PDC1的体积为定值C.若点 P 总满足 PA BD1，则动点 P 的轨迹是一条直线D.若点 P 到点
4、A 的距离为3，则动点 P 的轨迹是一个面积为 的圆考点二：折叠、展开问题规律方法 画好折叠、展开前后的平面图形与立体图形，抓住两个关键点：不变的线线关系、不变的数量关系1(2024河南模拟预测)为体现市民参与城市建设、共建共享公园城市的热情，同时搭建城市共建共享平台，彰显城市的发展温度，某市在中心公园开放长椅赠送点位，接受市民赠送的休闲长椅.其中观景草坪上一架长椅因其造型简单别致，颇受人们喜欢(如图 1).已知 AB 和 CD 是圆 O 的两条互相垂直的直径，将平面 ABC 沿 AB 翻折至平面 ABC，使得平面 ABC 平面 ABD(如图 2)此时直线 AB 与平面 CBD 所成角的正弦值
5、为()3A.13B.33C.22D.322(22-23 高三上浙江开学考试)如图，矩形 ABCD 中，AD=2,AB=3,AE=2EB，将 ADE 沿直线DE 翻折成 A1DE，若 M 为线段 A1C 的点，满足 CM=2MA1，则在 ADE 翻折过程中(点 A1不在平面DEBC 内)，下面四个选项中正确的是()A.BM 平面 A1DEB.点 M 在某个圆上运动C.存在某个位置，使 DE A1CD.线段 BA1的长的取值范围是5,33(2024 高三全国专题练习)如图 1，在等边 ABC 中，点 D、E 分别为边 AB、AC 上的动点且满足DE BC，记 DEBC=.将 ADE 沿 DE 翻折
6、到 MDE 的位置，使得平面 MDE 平面 DECB，连接 MB，MC，如图 2，N 为 MC 的中点(1)当 EN 平面 MBD 时，求 的值(2)随着 的值的变化，二面角 B-MD-E 的大小是否改变？若是，请说明理由；若不是，请求出二面角 B-MD-E 的正弦值4(2023邵阳模拟)如图所示，在矩形 ABCD 中，AB=3，AD=1，AF 平面 ABCD，且 AF=3，点E 为线段 CD(除端点外)上的动点，沿直线 AE 将 DAE 翻折到 DAE，则下列说法中正确的是()4A.当点 E 固定在线段 CD 的某位置时，点 D 的运动轨迹为球面B.存在点 E，使 AB 平面 DAEC.点
7、A 到平面 BCF 的距离为32D.异面直线 EF 与 BC 所成角的余弦值的取值范围是1313，1010考点三：最值、范围问题规律方法 在动态变化过程中产生的体积最大、距离最大(小)、角的范围等问题，常用的解题思路是(1)直观判断：在变化过程中判断点、线、面在何位置时，所求的量有相应最大、最小值(2)函数思想：通过建系或引入变量，把这类动态问题转化为目标函数，从而利用代数方法求目标函数的最值1(多选)(2023鞍山模拟)如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1，P 是线段 BC1上的动点，则下列结论正确的是()A.四面体 PA1D1A 的体积为定值B.AP+PC 的最小值为 2
8、2C.A1P 平面 ACD1D.直线 A1P 与 AC 所成的角的取值范围是 0，32(2023青岛模拟)三面角是立体几何的基本概念之一，而三面角余弦定理是解决三面角问题的重要依据三面角 P-ABC 是由有公共端点 P 且不共面的三条射线 PA，PB，PC 以及相邻两射线间的平面部分所组成的图形，设 APC=，BPC=，APB=，二面角 A-PC-B 为，由三面角余弦定理得 cos=cos-coscossinsin.在三棱锥 P-ABC 中，PA=6，APC=60，BPC=45，APB=90，PB+PC=6，则三棱锥 P-ABC 体积的最大值为()A.27 24B.274C.92D.943(2
9、3-24 高三下北京开学考试)正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1，动点 M 在线段 CC1上，动点P 在平面 A1B1C1D1上，且 AP 平面 MBD1.线段 AP 长度的取值范围是()5A.1,2B.62,3C.62,2D.62+4(2023黑龙江哈尔滨三模)已知四棱锥 P-ABCD 的底面为正方形，PD 底面 ABCD,PD=AD，点 E 是线段 PB 上的动点，则直线 DE 与平面 PBC 所成角的最大值为()A.6B.4C.3D.2强化训练一、单选题1(2023云南保山二模)已知正方体 ABCD-A1B1C1D1，Q 为上底面 A1B1C1D1所在平面内的动点，当直线 D
10、Q 与 DA1的所成角为 45 时，点 Q 的轨迹为()A.圆B.直线C.抛物线D.椭圆2(2023全国三模)在平面直角坐标系中，P 为圆 x2+y2=16 上的动点，定点 A-3,2现将 y 轴左侧半圆所在坐标平面沿 y 轴翻折，与 y 轴右侧半圆所在平面成 23 的二面角，使点 A 翻折至 A，P 仍在右侧半圆和折起的左侧半圆上运动，则 A，P 两点间距离的取值范围是()A.13,3 5B.4-13,7C.4-13,3 5D.13,73(2024全国模拟预测)如图，已知矩形 ABCD 中，E 为线段 CD 上一动点(不含端点)，记 AED=，现将 ADE 沿直线 AE 翻折到 APE 的位
11、置，记直线 CP 与直线 AE 所成的角为，则()A.cos cosB.cos sinD.sin cos4(2023上海宝山二模)在空间直角坐标系 O-xyz 中,已知定点 A 2,1,0,B 0,2,0和动点C 0,t,t+2t 0.若 OAC 的面积为 S,以 O,A,B,C 为顶点的锥体的体积为 V,则 VS 的最大值为()A.2155B.155C.4155D.45565(23-24 高三上河北衡水阶段练习)正三棱柱 ABC-A1B1C1中，AB=2,AA1=3,O 为 BC 的中点，M 为棱 B1C1上的动点，N 为棱 AM 上的动点，且 MNMO=MOMA，则线段 MN 长度的取值范
12、围为()A.3 64,7B.62,4 77C.34,4 77D.3,66(23-24 高三下山西阶段练习)在棱长为 4 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E 是 CD 的中点，F 是CC1上的动点，则三棱锥 A-DEF 外接球半径的最小值为()A.3B.2 3C.13D.157(2023陕西咸阳模拟预测)如图，点 P 是棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1的表面上一个动点，则以下不正确的是()A.当 P 在平面 BCC1B1上运动时，四棱锥 P-AA1D1D 的体积不变B.当 P 在线段 AC 上运动时，D1P 与 A1C1所成角的取值范围是3,2C.使直线 AP 与平面 A
13、BCD 所成的角为 45o的点 P 的轨迹长度为 +4 2D.若 F 是 A1B1的中点，当 P 在底面 ABCD 上运动，且满足 PF 平面 B1CD1时，PF 长度的最小值是58(2023吉林长春模拟预测)四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中，侧棱 AA1 底面 ABCD，AB CD，2AB=BC=CD，BC CD，侧面 A1ABB1为正方形，设点 O 为四棱锥 A1-CC1DD 外接球的球心，E 为 DD1上的动点，则直线 AE 与 OB 所成的最小角的正弦值为()A.55B.2 55C.2 65D.15二、多选题9(23-24 高三下江苏苏州开学考试)在正方体 ABCD-A1B1C1D
14、1中，点 M 为棱 AB 上的动点，则()A.平面 ABC1D1 平面 A1DMB.平面 BCD1 平面 A1DMC.A1M 与 BC1所成角的取值范围为4,3D.A1M 与平面 ABC1D1所成角的取值范围为6,410(2023全国模拟预测)如图，四边形 ABCD 是两个直角三角形拼接而成，AB=1，BD=2，ABD=C=90，BDC=45.现沿着 BD 进行翻折，使平面 ABD 平面 BCD，连接 AC，得到三棱锥A-BCD(如图)，则下列选项中正确的是()7A.平面 ABC 平面 ACDB.二面角 B-AD-C 的大小为 60C.异面直线 AD 与 BC 所成角的余弦值为33D.三棱锥
15、A-BCD 外接球的表面积为 11(2023全国模拟预测)如图 1，矩形 B1BCC1由正方形 B1BAA1与 A1ACC1拼接而成现将图形沿 A1A 对折成直二面角，如图 2点 P(不与 B1,C 重合)是线段 B1C 上的一个动点，点 E 在线段 AB 上，点 F 在线段 A1C1上，且满足 PE AB，PF A1C1，则()图 1 图 2A.PE=PFB.B1C 平面 PEFC.EPF 的最大值为 23D.多面体 CFAEP 的体积为定值三、填空题12(2023河南模拟预测)如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，P 是棱 DD (不包含端点)上一动点，则三棱锥 P-
16、AB1C 的体积的取值范围为.13(2023江苏淮安模拟预测)某同学参加课外航模兴趣小组活动，学习模型制作.将一张菱形铁片ABCD 进行翻折，菱形的边长为 1，ABC=60，E 是边 BC 上一点，将 CDE 沿着 DE 翻折到 CDE 位置，使平面 CDE 面 ABED，则点 A 与 C 之间距离最小值是.14(23-24 高三上河北保定期末)如图，在棱长为 8 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E 是棱 AA1上的8一个动点，给出下列三个结论：若 F 为 BD1上的动点，则 EF 的最小值为 4 2；D 到平面 BED1的距离的最大值为 8 63；M 为 BC 的中点，P 为空间中一
17、点，且 PD 与平面 ABCD 所成的角为 30，PM 与平面ABCD 所成的角为 60，则 P 在平面 ABCD 上射影的轨迹长度为 3 5，其中所有正确结论的序号是四、解答题15(2023河南二模)如图所示，正六棱柱 ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的底面边长为 1，高为3，P 为线段 DF1上的动点.(1)求证：AP 平面 A1BC；(2)设直线 AP 与平面 CDF1A1所成的角为，求 sin 的取值范围.916(2024 高三全国专题练习)如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E、F 分别是 BB1、CD 的中点(1)求 AE 与 D1F 所成的角；(2)设 AA1=2
18、，在正方形 ABCD 内(或上)，是否存在点 K 使得三棱锥 K-A1D1E 的体积为 1？若存在，求出动点 K 的轨迹；若不存在，说明理由17(2023广西南宁模拟预测)如图，在矩形 ABCD 中，AB=3，AD=4，点 E 是边 AD 上的动点，沿BE 将 ABE 翻折至 ABE，使二面角 A-BE-C 为直二面角.(1)当 AE=3 时，求证：AB CE；(2)当 AB=AE 时，求二面角 C-AB-E 的正弦值.1018(22-23 高三下安徽阶段练习)如图，在四棱锥 P-ABCD 中，所有棱长都相等，AB AD，E，F分别是棱 PC，PB 的中点，G 是棱 AB 上的动点，且 AG=AB.(1)若 =12，证明：GF 平面 BDE.(2)求平面 BDE 与平面 PDG 夹角余弦值的最大值.19(2023全国模拟预测)如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，AB=AC=AA1=1，AB AC，AA1垂直于平面 ABC点 P，E，F 分别为边 A1C1，AA1，AC 上的动点(不包括顶点)，且满足 AE=AF=A1P(1)求三棱锥 B1-A1PE 的体积的最大值；(2)记平面 BEF 与平面 BCP 所成的锐二面角为，当 最小时，求 cos 的值，并说明点 P 所处的位置
