1、课时跟踪检测(十九) 导数的应用问题1已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为yx381x234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为()A13万件 B11万件C9万件 D7万件解析：选Cyx281，令y0，解得x9或x9(舍去)当0x9时，y0；当x9时，y0. 所以当x9时，y取得最大值2某工厂要围建一个面积为512 m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当墙壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为()A32 m,16 m B30 m,15 mC40 m,20 m D36 m,18 m解析：选A要求材料最省就是要求新砌的墙壁
2、总长度最短，如图所示设场地宽为x m，则长为 m，因此新墙总长度L2x(x0)，则L2，令L0，得x16.x0，x16.当x16时，Lmin64，堆料场的长为32 (m)3函数f(x)的导函数f(x)有下列信息：f(x)0时，1x2；f(x)0时，x2；f(x)0时，x1或x2.则函数f(x)的大致图象是()解析：选C根据信息知，函数f(x)在(1,2)上是增函数在(，1)，(2，)上是减函数，故选C.4某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元已知总收益R与年产量x的关系是R(x)则总利润最大时，每年生产的产品是()A100 B150C200 D300解
3、析：选D由题意，总成本为：C20 000100x，所以总利润为PRCP令P0，当0x400时，得x300；当x400时，P0恒成立，易知当x300时，总利润最大5已知aR，函数f(x)x3ax2ax2的导函数f(x)在(，1)上有最小值，若函数g(x)，则()Ag(x)在(1，)上有最大值Bg(x)在(1，)上有最小值Cg(x)在(1，)上为减函数Dg(x)在(1，)上为增函数解析：选D函数f(x)x3ax2ax2的导函数f(x)x22axa，f(x)图象的对称轴为xa，又导函数f(x)在(，1)上有最小值，所以a0，所以g(x)在(1，)上为增函数故选D.6.一个帐篷，它下部的形状是高为1
4、m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m 的正六棱锥(如图所示)当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为_ m时，帐篷的体积最大解析：设OO1为x m，底面正六边形的面积为S m2，帐篷的体积为V m3. 则由题设可得正六棱锥底面边长为(m)，于是底面正六边形的面积为S6()2(82xx2)帐篷的体积为V(82xx2)(x1)(82xx2)(82xx2)(1612xx3)，V(123x2)令V0，解得x2或x2(不合题意，舍去)当1x2时，V0；当2x4时，V0.所以当x2时，V最大答案：27某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q件，则销售量Q与零售价p有如下
5、关系：Q8 300170pp2，则最大毛利润为_元解析：设毛利润为L(p)，由题意知L(p)pQ20QQ(p20)(8 300170pp2)(p20)p3150p211 700p166 000，所以L(p)3p2300p11 700.令L(p)0，解得p30或p130(舍去)此时，L(30)23 000.因为在p30附近的左侧L(p)0，右侧L(p)0，f(x)是递增的，x时，f(x)0，f(x)是递减的，当x时，f(x)取最大值.答案：9.如图，某小区拟在空地上建一个占地面积为2 400 m2的矩形休闲广场按照设计要求，休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域，周边及绿化区域之间是道路(图中
6、阴影部分)，道路的宽度均为2 m怎样设计矩形休闲广场的长和宽，才能使绿化区域的总面积最大？并求出最大面积解：设休闲广场的长为x m，则宽为 m，绿化区域的总面积为S(x) m2.则S(x)(x6)2 4242 4244，x(6,600)S(x)4.令S(x)0，得60x0，得6x60.S(x)在(6,60)上是增函数，在(60,600)上是减函数，当x60时，S(x)取得极大值，也是最大值，S(x)maxS(60)1 944.当休闲广场的长为60 m，宽为40 m时，绿化区域的总面积最大，最大面积为1 944 m2.10已知f(x)ax2，g(x)2ln x，若方程f(x)g(x)在区间，e上
7、有两个不等解，试求a的取值范围解：原式等价于方程a在区间，e上有两个不等解令(x)，由(x)易知，(x)在(，)上为增函数，在(，e)上为减函数，则(x)max().而(e)，().由(e)()0，所以(e)()所以(x)min(e)，作出函数(x)的大致图象如图所示，可知(x)a有两个不等解时，需a0；当x时，g(x)0，g()2，故g(x)在区间(0，)存在唯一零点所以f(x)在区间(0，)存在唯一零点(2)由题设知f()a，f()0，可得a0.由(1)知，f(x)在区间(0，)只有一个零点，设为x0，且当x(0，x0)时，f(x)0；当x(x0，)时，f(x)0，所以f(x)在(0，x0)上单调递增，在(x0，)上单调递减又f(0)0，f()0，所以当x0，时，f(x)0.又当a0，x0，时，ax0，故f(x)ax.因此，a的取值范围是(，0