1、空间向量与空间距离（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.已知ABC的三个顶点的坐标为A(-1,0,1),B(1,3,5),C(-1,-1,1),则BC边上的中线AD的长为()A.B.6C.D.32.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AA1的中点,则点A1到平面MBD的距离是()A.aB.aC.aD.a3.(2013开封高二检测)四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为正方形,PA平面ABCD,PA=AB=2,E,F分别为PB,PD的中点,则P到直线EF的距离为()A.1B.C.D.4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,E为CD的中点,则点D1
2、到平面AEC1的距离为()A.B.C.D.15.(2013石家庄高二检测)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则直线A1C1到平面ACD1的距离为()A.1B.C.D.二、填空题(每小题8分,共24分)6.(2013东莞高二检测)平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,AD=2,AA1=3,BAD=90,BAA1=DAA1=60,则AC1的长为.7.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面为直角梯形,ABCD且ADC=90,AD=1,CD=,BC=2,AA1=2,E是CC1的中点,则A1B1到平面ABE的距离是.8.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=3
3、,CC1=2,则平面A1BC1与平面ACD1的距离是.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.正方形ABCD的边长为2,E,F分别是AB和CD的中点,将正方形沿EF折成直二面角(如图所示),M是矩形AEFD内一点,如果MBE=MBC,MB和平面BCFE所成的角的正切值为,求点M到直线EF的距离.10.(2013济南高二检测)如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的,其中AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1.(1)求|.(2)求点C到平面AEC1F的距离.11.(能力挑战题)如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABC=90,BC=2,CC1=4
4、,EB1=1,D,F,G分别为CC1,B1C1,A1C1的中点,EF与B1D相交于点H.(1)求证:B1D平面ABD.(2)求证:平面EGF平面ABD.(3)求平面EGF与平面ABD的距离.答案解析1.【解析】选A.易知D(0,1,3),=(1,1,2),|=.2.【解析】选A.如图所示,建立空间直角坐标系,则A1(a,0,a),M(a,0,),B(a,a,0),D(0,0,0)=(0,0,),=(a,0,),=(a,a,0),设平面MBD的法向量为n=(x,y,z),则令x=1,得n=(1,-1,-2)点A1到平面MBD的距离为=a.【一题多解】由于M是AA1的中点,故A1与A到平面MBD的
5、距离相等.又VA-MBD=VB-AMD,即aah=aa,解得h=a.3.【解析】选D.建系如图,即P(0,0,2),E(1,0,1),F(0,1,1),=(-1,0,1),=(-1,1,0).在上的投影为=,点P到直线EF的距离为=.4.【解题指南】先求平面AEC1的法向量,代入点面距公式求解.【解析】选A.建立如图所示空间直角坐标系,则A(3,0,0),D1(0,0,3),E(0,0),C1(0,3,3),=(-3,0),=(-3,3,3),=(0,3,0),设n=(x,y,z)为平面AEC1的法向量,则令x=1,得y=2,z=-1,n=(1,2,-1).D1到平面AEC1的距离为=.5.【
6、解析】选B.易知A1C1平面ACD1,则点A1到平面ACD1的距离即为直线A1C1到平面ACD1的距离.建系如图,易知=(0,0,1)平面ACD1的一个法向量为n=(1,1,1),故所求的距离为=.6.【解析】=+,|2=(+)2=|2+|2+|2+2+2+2=1+22+32+2|cos+2|cos+2|cos=14+212cos 90+213cos 60+223cos 60=23,|=,即AC1=.答案:7.【解析】以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(1,2,0),E(0,1),A1(1,0,2),=(0,2,0),=(-1
7、,-,1),设平面ABE的法向量为n=(x,y,z),则解得,取z=1,则n=(1,0,1).又易证A1B1平面ABE,所以A1B1到平面ABE的距离等于点A1到平面ABE的距离,又=(0,0,2),点A1到平面ABE的距离为=.答案:8. 【解析】由AD1BC1,A1BD1C可证得平面A1BC1平面ACD1,建立如图所示的空间直角坐标系,AB=4,BC=3,CC1=2,则A1(3,0,2),B(3,4,0),C1(0,4,2),A(3,0,0).=(0,4,-2),=(-3,0,2).设平面A1BC1的法向量为n=(x,y,z),则n,n,解得,取z=6,则n=(4,3,6),又=(0,4,
8、0),则平面A1BC1与平面ACD1的距离为=.答案:9.【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,作MNEF,垂足为N,则MN平面BCFE,连接BN,则MBN即为MB与平面BCFE所成的角,tanMBN=,设M(0,y,z),0y2,0z1,则由题意可知N(0,y,0),而E(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),=(-1,0,0),=(0,2,0),=(-1,y,z),=(-1,y,0),=(0,0,-z),cosMBE=,cosMBC=,tanMBN=.MBE=MBC,y=1,z=.因此点M到直线EF的距离为.10.【解析】以D为原点,DA,DC,DF所在直线为x轴,y轴,z轴建
9、立空间直角坐标系,D(0,0,0),B(2,4,0),A(2,0,0),C(0,4,0),E(2,4,1),C1(0,4,3).(1)设F(0,0,a),由=,得(-2,0,a)=(-2,0,2),a=2.F(0,0,2),=(-2,-4,2).|=2.(2)设n=(x,y,z)为平面AEC1F的法向量,由得取z=1,则n=(1,-,1),又=(0,0,3),C到平面AEC1F的距离d=.11.【解题指南】寻找条件中的三线两两垂直建立空间直角坐标系,正确地求出图中各点坐标,然后利用向量的坐标运算证明、求解.【解析】如图所示,建立空间直角坐标系,设A1(a,0,0),则B1(0,0,0),F(0
10、,1,0),E(0,0,1),A(a,0,4),B(0,0,4),D(0,2,2),G(,1,0).(1)=(0,2,2),=(-a,0,0),=(0,2,-2).=0+0+0=0,=0+4-4=0.B1DAB,B1DBD.又ABBD=B,B1D平面ABD.(2)=(-a,0,0),=(0,2,-2).=(-,0,0),=(0,1,-1),=,=.GFAB,EFBD.又GFEF=F,ABBD=B,平面EGF平面ABD.(3)方法一:由(1)(2)知DH为平面EFG与平面ABD的公垂线段.设=(0,2,2),则=(0,2,2-1),=(0,1,-1).与共线,=,即=,=(0,),=(0,),|=.平面EGF与平面ABD的距离为.方法二:由(2)知平面EGF平面ABD,设平面ABD的法向量为n=(x,y,z),则n,n,解得取z=1,则n=(0,1,1),=(0,2,1),d=,即平面EGF与平面ABD的距离为.