1、2018-2019学年度第一学期高三期末调研考试数学试题（理科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数满足，则（ ）A. 或 B. 或 C. 或 D. 【答案】A【解析】【分析】设za+bi（a，bR），利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件列式求得a，b，则答案可求【详解】设za+bi（a，bR），由z25+12i，得a2b2+2abi5+12i，解得或z3+2i或z32i故选：A【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题2.函数的零点所在的区间是（ ）A. B. C. D.
2、【答案】B【解析】【分析】由于连续函数f（x）满足 f（1）0，f（2）0，从而得到函数yx4（）x的零点所在区间【详解】yx4（）x为R上的连续函数，且f（1）120，f（2）210，f（1）f（2）0，故函数yx4（）x的零点所在区间为：（1，2），故选：B【点睛】本题主要考查函数的零点的定义，判断函数的零点所在的区间的方法，属于基础题3.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则的一个充分条件是（ ）A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】C【解析】【分析】在A中，a与b相交、平行或异面；在C中，由线面垂直的性质可得ab；在B、D中，均可得a与b相交、平行或异面；【详解】由a，b是两
3、条不同的直线，是两个不同的平面，在A中，则a与b相交、平行或异面，故A错误；在B中，则a与b相交、平行或异面，故B错误；在C中，由a，则，又，由线面垂直的性质可知，故C正确；在D中，则a与b相交、平行或异面，故D错误故选：C【点睛】本题考查线线平行的充分条件的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题4.定义运算，则函数的图像是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据新定义可得函数1log2x就是取1与log2x中较大的一个即可判断【详解】从定义运算ab上看，对于任意的a、b，ab实质上是求a与b中最大的，1log2
4、x就是取1与log2x中较大的一个，对于对数函数ylog2x，当x2，log2x1，当0x2时，f（x）1故选：C【点睛】本题主要考查新定义，求函数的最大值，属于基础题5.的展开式中，的系数是（ ）A. -160 B. -120 C. 40 D. 200【答案】B【解析】【分析】将问题转化为二项式（12x）5的展开式的系数问题，求出（12x）5展开式的通项，分别令r2，3求出（12x）5（2+x）的展开式中x3项的系数【详解】（12x）5（2+x）的展开式中x3项的系数是（12x）5展开式中x3项的系数的2倍与（12x）5展开式中x2项的系数的和（12x）5展开式的通项为Tr+1（2）rC5r
5、xr令r3得到x3项的系数为8C5380令r2得到x2项的系数为4C5240所以（12x）5（2+x）的展开式中x3项的系数是802+40120故答案为：B【点睛】解决二项展开式的特定项问题常利用的工具是二项展开式的通项公式求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可；(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A. 36 B. 32 C. 30 D. 27【答案】A【解析】【分析】由已知中的三视图，判断该
6、几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个以3为边长的长方形，高为4，分别求出棱锥各个面的面积，进而可得答案【详解】由已知中的该几何体是一个四棱锥的几何体，四棱锥的底面为边长为3和3的正方形，高为4，故S四棱锥43+535343+3336故选：A【点睛】本题考查的知识点是由三视图求表面积，其中根据三视图判断出几何体的形状，并找出各个面的棱长、高等关键的数据是解答本题的关键7.若双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，则双曲线的离心率为（ ）A. 4 B. 3 C. 2 D. 【答案】C【解析】【分析】先求出抛物线y28x的焦点坐标，由此得到双曲线C：1的一个焦点，从而求出a的值，进而得到该双曲线的离心
7、率【详解】抛物线y28x的焦点是（2，0），双曲线C：1的一个焦点与抛物线y28x的焦点重合，c2，b23，m1，e2故选：C【点睛】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要抛物线的性质进行求解8.在中，若，（），则当最小时，（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由已知可求的坐标，然后结合向量数量积的坐标表示及二次函数的性质可求BC最小时的x，结合向量数量积的性质即可求解【详解】（1，2），（x，2x）（x0），（x1，2x2），|令y5x26x+5，x0根据二次函数的性质可知，当x，ymin，此时BC最小，（，），0，即C90，故选：A【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示，考查
8、了二次函数的性质的简单应用，考查运算求解能力，是基础题9.已知函数，且图像在点处的切线的倾斜角为，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先对函数进行求导，求出f（1），然后根据导数的几何意义求出切线斜率kf（2）tan，然后根据诱导公式及同角基本关系可得sin（）cos（）cossin，代入可求【详解】f（x）x3+2x2f（1）+2，f（x）3x2+4xf（1），f（1）3+4f（1），即f（1）1，f（x）3x24x，图象在点x2处的切线的斜率kf（2）4tan，则sin（）cos（）cossin ，故选：D【点睛】本题综合考查了导数的几何意义的应用，诱导公式及同
9、角基本关系的综合应用，属于基础知识的综合应用10.已知是所在平面内一点，现将一粒红豆随机撒在内，记红豆落在内的概率为，落在内的概率为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据23，计算出PAB，PAC，PBC面积的关系，求出概率，作积得答案【详解】如图，令，则P为A1B1C1 的重心，而，2SPAB3SPAC6SPBC，则PPBCPPBAPPAC故选：D【点睛】本题考查的知识点是几何概型概率计算公式，计算出满足条件和所有基本事件对应的几何量，是解答的关键，难度中档11.数列1,2,1,2,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,1,2，其相邻的两个1被2隔开，第对1之间有
10、个2，则数列的前209项的和为（ ）A. 279 B. 289 C. 399 D. 409【答案】C【解析】【分析】根据题意，根据数列的性质，先把数列分组，每组中，第一个数为1，其他均为2，且第n组中，有n+1个数；得到209是前19行的和，进而得到所有项的和.【详解】根据题意，先把数列分组，第一组为1，2，有2个数，第二组为1，2，2，有3个数，第三组为1，2，2，2，有4个数，第n组中，第一个数为1，其他均为2，有n+1个数，即每组中，第一个数为1，其他均为2，则前n组共有个数，当n=19时，恰好前19行有209个数，前19行有19个1，有209-19=190个2，则这些数的和为：19+故
11、答案为C【点睛】本题考查数列的求和，注意要先根据数列的规律进行分组，综合运用等差数列前n项和公式与分组求和的方法，进行求和12.已知且，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】将式子变形得到，因为余弦函数是偶函数，故，构造函数，通过求导得到函数的单调性，进而得到结果.【详解】等价于,即，因为余弦函数是偶函数，故，构造函数，根据偶函数的定义f(x)=f(-x)得到函数是偶函数，而f(x)在上，故函数单调增，又因为，故得到.故答案为：A.【点睛】这个题目考查了函数奇偶性的应用，以及函数的单调性的应用，通过研究函数的这些性质来比较函数的大小；比较大小常用的方法，除构
12、造函数，研究函数性质得到结果，常用的有：做差和0比，做商和1比，不等式性质的应用等.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知集合，则_（用区间表示）【答案】（-1,0）【解析】【分析】化简集合N，根据补集与交集的定义写出【详解】Mx|1x1（1，1），Nx|00，1），则MN（1，0），故答案为：（1，0）【点睛】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题14.元朝著名数学家朱世杰在四元玉鉴中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，若最终输出的x0，则开始时输入的x的值为_【答案
13、】【解析】【分析】求出对应的函数关系，由题输出的结果的值为0，由此关系建立方程求出自变量的值即可【详解】第一次输入xx，i1执行循环体，x2x1，i2，执行循环体，x2（2x1）14x3，i3，执行循环体，x2（4x3）18x7，i43，输出8x7的值为0，解得：x，故答案为：【点睛】解答本题，关键是根据所给的框图，得出函数关系，然后通过解方程求得输入的值本题是算法框图考试常见的题型，其作题步骤是识图得出函数关系，由此函数关系解题，得出答案15.设实数满足，若的最大值为16，则实数_【答案】3【解析】【分析】先画出可行域，得到角点坐标再对k进行分类讨论，通过平移直线zkx+y得到最大值点A，即
14、可得到答案【详解】实数x，y满足的可行域如图：得：A（4，4），同样地，得B（0，2），zkx+y，即ykx+z，分k0，k0两种情况当k0时，目标函数zkx+y在A点取最大值，即直线zkx+y在y轴上的截距z最大，即164k+4，得k3；当k0时，当k时，目标函数zkx+y在A点（4，4）时取最大值，即直线zkx+y在y轴上的截距z最大，此时，164k+4，故k3当k时，目标函数zkx+y在B点（0，2）时取最大值，即直线zkx+y在y轴上的截距z最大，此时，160k+2，故k不存在综上，k3故答案为：3【点睛】本题主要考查简单线性规划解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标
15、函数赋予几何意义16.已知过椭圆上一点的切线方程为，若分别交轴于两点，则当最小时，_（为坐标原点）【答案】【解析】【分析】利用切线求得A、B两点坐标，表示出，再利用，结合基本不等式求得，再利用最小时的条件求得，即可求解.【详解】因为点的切线方程为，若分别交轴于两点，所以A（，0），B（0，），=，又 点P在椭圆上，有，=+)，当且仅当=时等号成立，解得，=，=.故答案为.【点睛】本题以过椭圆上点的切线为载体，考查了利用基本不等式求最值及等号成立的条件，考查了逻辑推理及运算能力，属于难题三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在中，分别是内角的对
16、边，且.（1）求；（2）若，求的面积.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）由已知利用正弦定理可得：a2b2+c2+bc由余弦定理可得：cosA，结合范围A（0，），可求A（2）由已知利用余弦定理c2+2c50，解得c的值，利用三角形面积公式即可计算得解【详解】（1）因为，由正弦定理得. 再由余弦定理得，又因为 ，所以 （2）因为a=3，代入得,解得 . 故ABC的面积.【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题18.设，数列的前项和，点（）均在函数的图像上.（1）求数列的通项公式；（2）设，是数列的前项和，求满足
17、（）的最大正整数.【答案】（1）an6n5 （） （2）8【解析】【分析】（1）根据f（x）3x22x，由（n，Sn）在y3x22x上，知Sn3n22n由此能求出数列an的通项公式（2）由，知Tn（1），根据（）对恒成立,当且仅当，由此能求出所有nN*都成立的m的范围【详解】（1）因为3x22x. 又因为点 均在函数的图像上，所以3n22n. 当n2时，anSnSn1（3n22n） 6n5. 当n1时，a1S131221，所以，an6n5 （）. （2）由（1）得知 ，故Tn （1），且Tn随着n的增大而增大因此，要使（1）（）对恒成立,当且仅当n=1时T1=，即m9，所以满足要求的最大正整数
18、m为8.【点睛】本题考查数列与不等式的综合，综合性强，难度较大易错点是基础知识不牢固，不会运用数列知识进行等价转化转化解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件19.如图，正三棱柱中，（底面为正三角形，侧棱垂直于底面），侧棱长，底面边长，是的中点.（1）求证：平面平面；（2）设是线段的中点，求直线与平面所成的角的正弦值.【答案】（1） 见解析（2）【解析】【分析】（1）通过做平行线构造平行四边形，进而得到线面垂直，再由平形四边行的对边平行的性质得到平面内的线垂直于平面内的线，进而得到面面垂直;(2)建立空间坐标系，求直线的方向向量和面的法向量，进而得到线面角.【详解】（1）证明：取中点，的中点
19、为M，连结，MN,则有且= 四边形为平行四边形， 面,又 平面故平面.所以平面平面 (2)如图建立空间直角坐标系，则B(-,0,0),A(,0,0), 因为是线段的中点，所以M所以 设是平面的一个法向量，因为 所以，由 所以可取 【点睛】这个题目考查了面面垂直的证明，以及线面角的求法，求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可。20.为了积极支持雄安新区建设，某投资公司计划明年投资1000万元给雄安新区甲、乙两家科技企业，以支持其创新研发计划，经有关部门测算，若不受中美贸易战影
20、响的话，每投入100万元资金，在甲企业可获利150万元，若遭受贸易战影响的话，则将损失50万元；同样的情况，在乙企业可获利100万元，否则将损失20万元，假设甲、乙两企业遭受贸易战影响的概率分别为0.6和0.5.（1）若在甲、乙两企业分别投资500万元，求获利1250万元的概率；（2）若在两企业的投资额相差不超过300万元，求该投资公司明年获利约在什么范围内？【答案】（1）0.2 （2）其获利区间范围为335与365万元之间【解析】【分析】（1）由已知条件可知，在甲、乙两公司分别投资500万元的情况下欲获利1250万元，须且必须两公司均不遭受贸易战的影响，故可列出式子即可；（2）先求得投资10
21、0万元在甲公司获利的期望30万，乙为40万，设在甲、乙两公司的投资分别为x,(1000x)万元，则平均获利z=0.3x+0.4(1000x)4000.1x万元，根据x的范围可得到z的范围.【详解】（1）由已知条件可知，在甲、乙两公司分别投资500万元的情况下欲获利1250万元，须且必须两公司均不遭受贸易战的影响.故所求的概率为P=（10.6）（10.5）0.2. （2）设投资100万元在甲公司获利万元，则的可能取值为150和50万元.又甲公司遭受贸易战影响的概率为0.6故投资100万元在甲公司获利的期望为1500.4（50）0.630万元. 同理在乙公司获利的期望为1000.5（20）0.54
22、0万元. 设在甲、乙两公司的投资分别为x,(1000x)万元，则平均获利z=0.3x+0.4(1000x)4000.1x万元（其中）.由于上述函数为减函数，所以其获利区间范围为335与365万元之间.【点睛】这个题目考查了互相独立事件的概率的求法，以及离散型随机变量的均值的求法，即期望的求法；其中互相独立事件A和B，P(AB)=P(A)P(B).21.设点在以，为焦点的椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）经过作直线交于两点，交轴于点，若，且，求与.【答案】（1） （2）【解析】【分析】(1)根据椭圆的定义得到2a值，由题干得到c=2,进而得到方程；（2）设出A、B、M点的坐标，根据向量关系得到A
23、点坐标，代入椭圆方程得到关于的方程，同理得到关于的方程，进而抽出、是方程的两个根，解出即可得到与.【详解】（1）因为点P在以为焦点的椭圆C上，所以所以. 又因为c=2，所以所以椭圆C的方程为 （2）设A、B、M点的坐标分别为A（，），B（，），M（0，） 2， （，） ， 将A点坐标代入到椭圆方程中，得 去分母整理得 ： 同理，由2可得： 、是方程的两个根， ，又二者联立解得 或所以又，所以所以上述方程即为所以【点睛】这个题目考查了椭圆的方程的求法，还考查了向量在圆锥曲线中的应用，一般采用的是向量坐标化，得到点坐标间的关系，再通过题干列出相应的方程进行分析即可.22.已知函数.（1）若，求函数
24、的单调区间；（2）若函数在区间上不单调，求实数的取值范围；（3）求证：或是函数在上有三个不同零点的必要不充分条件.【答案】（1）函数的单调递增区间为，没有单调递减区间. （2） （3）见解析【解析】【分析】(1)将参数值k代入解析式，对函数求导，得到导函数大于0，进而得到函数只有增区间没有减区间；（2）对函数求导，在区间上不单调所以在上有实数解，且无重根，变量分离即方程有解，通过换元得到新函数的单调性，对方程的根进行讨论即可;(3)证明：或则函数在上不能有三个不同零点，证明，函数有3个不同零点则或即可.【详解】（1）若k=-1，则，所以由于=16-480,所以函数的单调递增区间为，没有单调递减
25、区间. （2）因，因在区间上不单调，所以在上有实数解，且无重根， 由得 令有，记则，所以在 上，h(t)单调递减，在 上, h(t)单调递增，所以有，于是得而当时有在上有两个相等的实根，故舍去所以. （3）因为所以，当=，即时函数在R上单调递增故在R上不可能有三个不同零点所以，若在R上有三个不同零点，则必有，即是在R上有三个不同零点的必要条件. 而当，时，满足但即此时只有两个不同零点同样，当时，满足，但即此时也只有两个不同零点故k7是在R上有三个不同零点的必要不充分条件.【点睛】本题中涉及根据函数零点求参数取值，是高考经常涉及的重点问题，（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.