1、第五章三角函数(全卷满分150分,考试用时120分钟)一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.(2021广东广州广雅中学高一上期末)sin(-1 380)的值为()A.-12B.12C.-32D.322.(2021安徽师范大学附属中学高一上期末)已知角的始边与x轴的非负半轴重合,顶点在坐标原点,其终边上的一点P到原点的距离为2,若=4,则点P的坐标为()A.(1,2) B.(2,1) C.(2,2)D.(1,1)3.(2021湖南永州高一上期末)扇形的半径为1,圆心角为2,则扇形的面积为()A.1B.2C.3D.44.(20
2、21天津六校高一上期末联考)设R,则“=3+2k,kZ”是“cos =12”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.(2021江苏扬州高一上期末)设函数f(x)=sin2x-56,将其图象向左平移(0)个单位长度,得到函数g(x)的图象,若g(x)为偶函数,则的最小值是()A.6B.3C.23D.566.(2021福建南平高一上期末)我国著名数学家华罗庚先生曾倡导“0.618优选法”,0.618是被公认为最具有审美意义的比例数字,我们称为黄金分割.“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用,华先生认为底与腰之比为黄金分割比5-125-
3、120.618的黄金三角形(即顶角为36的等腰三角形)是“最美三角形”.如图,在黄金ABC中,黄金分割比为BCAC.试根据以上信息,计算sin 18=()A.5-12B.5-14 C.5+14D.3-527.(2021湖北第五届高考测评高一上期末)已知函数f(x)=sinx-6,若方程f(x)=45的解为x1,x2(0x1x20,函数f(x)=2sinx+6在2,56上单调递减,则实数的取值范围是()A.(0,1B.12,85C.23,56D.23,85二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3
4、分)9.(2021山东泰安高一上期末)若为第二象限角,则下列结论一定正确的是()A.sin cos B.sin tan C.sin +cos 0D.cos +tan 010.(2021山东烟台高一上期末)下列说法正确的有()A.经过30分钟,钟表的分针转过-2弧度B.若sin 0,cos 1,则为第一象限角D.函数f(x)=sin|x|是周期为的偶函数11.(2021山东济宁高一上期末)已知(0,),sin +cos =-15,则下列结论正确的是()A.2,B.cos =-35C.tan =-34D.sin -cos =7512.(2021山东菏泽高一上期末)设函数f(x)=sin2x+4+c
5、os2x+4,则下列关于函数f(x)的说法中正确的是()A.函数f(x)是偶函数B.函数f(x)在0,2上单调递减C.函数f(x)的最大值为2D.函数f(x)的图象关于点4,0对称三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2021安徽淮南高一上期末)已知为第二象限角,sin =45,则tan 2=.14.(2021四川成都蓉城名校联盟高一上期末)已知函数f(x)=sin(x+)0,|0,0,t0,+).在一次振动中,小球从最高点运动至最低点所用时间为1 s,且最高点与最低点间的距离为10 cm.(1)求小球相对于平衡位置的高度h(单位:cm)和时间t(单位:s)之间的函数关系式;
6、(2)若小球在t0 s内经过最高点的次数恰为50,求t0的取值范围.21.(12分)(2021河北唐山高一上期末)如图,在RtACB中,斜边AB=2,BC=1,在以AB为直径的半圆上有一点D(不与端点重合),BAD=,设ABD的面积为S1,ACD的面积为S2.(1)若S1=S2,求;(2)令S=S1-S2,求S的最大值及此时的.22.(12分)(2021河南郑州高一上期末)设有三个乡镇,分别位于一个矩形MNPQ的两个顶点M,N及PQ的中点S处,MN=103 km,NP=53 km,现要在该矩形区域内(含边界),且与M,N等距离的一点O处设一个宣讲站,记O点到三个乡镇的距离之和为L(km).(1
7、)设OMN=x(rad),试将L表示为x的函数并写出其定义域;(2)试利用(1)中的函数关系式确定宣讲站O的位置,使宣讲站O到三个乡镇的距离之和L(km)最小.答案全解全析1.Dsin(-1 380)=sin(-1 440+60)=sin(-4360+60)=sin 60=32.故选D.2.D设P(x,y),由三角函数的定义得sin =sin 4=y2=22,cos =cos 4=x2=22,则x=1,y=1.点P的坐标为(1,1).故选D.3.A由扇形的半径为1,圆心角为2,可得扇形的弧长为2,所以扇形的面积为1221=1,故选A.4.A当=3+2k,kZ时,cos =12;当cos =12
8、时,=2k3,kZ,故“=3+2k,kZ”是“cos =12”的充分不必要条件,故选A.5.A将函数f(x)=sin2x-56的图象向左平移(0)个单位长度,得到函数g(x)=sin2x+2-56的图象.若g(x)为偶函数,则2-56=k+2,kZ,则=k2+23,kZ,又0,所以令k=-1,可得的最小值为6,故选A.6.B在ABC中,设D是BC的中点,连接AD.依题意得BCAC=2DCAC=5-12,所以DCAC=5-14,又BAC=36,所以DAC=18,从而sin 18=DCAC=5-14.故选B.7.A令x-6=2+k,kZ,得x=23+k,kZ,故函数f(x)=sinx-6的图象的对
9、称轴方程为x=23+k,kZ,令f(x)=45,得x=x1或x=x2,0x1x20,由2x56,得2+6x+656+6,又函数f(x)=2sinx+6在2,56上单调递减,12256-2,00,cos 0,tan 0,当34,时,sin +cos 0,cos 1sin2+cos2+2sin cos 12sin cos 0,又sin +cos =10,所以sin 0,cos 0,即为第一象限角,所以C正确;对于D,函数f(x)=sin|x|是偶函数,但不以为周期,如f2=1, f+2=-1, f2f+2,所以D错误.故选BC.11. ACD因为(0,),所以sin 0,又sin +cos =-1
10、50,所以cos 0,cos 0,|2的部分图象,可得122=3+6,=2.由五点法作图,可得23+=,=3,f(x)=sin2x+3,f-12=sin 6=12,故答案为12.15.答案125;-1213解析因为角以Ox为始边,它的终边与单位圆交于第一象限内的点Pm,1213,所以m=1-12132=513,则tan =1213513=125.保持角始边的位置不变,将其终边按逆时针方向旋转2得到角,则cos =cos+2=-sin =-1213.故答案为125;-1213.16.答案13解析以枢轮中心为原点,以平行于水面的方向为x轴建立坐标系(图略).则经过x分钟后P点纵坐标y1=1.7si
11、n2+15x=1.7cos 15x,水面纵坐标y2=-1.19-0.017x,P点进入水中,则1.7cos 15x-1.19-0.17x,即cos 15x0,h(13)0,所以点P至少经过13分钟进入水中.17.解析sin(+)=-sin =-45,2,sin =45,cos =-1-sin2=-35,(2分)从而tan =sincos=45-35=-43,(3分)(1)sin2+2cos(-)sin2-+sin(-)=cos-2coscos-sin=-coscos-sin=-37.(5分)(2)tan154-=tan4-4-=tan-4-=-tan4+(7分)=-tan 4+tan1-tan
12、 4tan=17.(10分)18.解析(1)f(x)=3sin x2cos x2+cos2x2+12=32sin x+1+cosx2+12(2分)=sinx+6+1,(4分)可得函数f(x)的最小正周期为2.(6分)(2)若选择,依题意可得g(x)=-cos2x+6+1,(8分)令2x+6=2k+,kZ,解得x=k+512,kZ,此时函数g(x)取得最大值2,即g(x)max=2,(10分)函数g(x)取得最大值时,x的取值集合为x|x=k+512,kZ.(12分)若选择,依题意可得g(x)=-cos2x+6+1,(8分)令2x+6=2k+,kZ,解得x=k+512,kZ,(10分)此时函数g
13、(x)取得最大值2,即g(x)max=2,函数g(x)取得最大值时,x的取值集合为x|x=k+512,kZ.(12分)19.解析(1)f(x)=sin 2x-3(cos2x-sin2x)=sin 2x-3cos 2x(2分)=2sin2x-3,(4分)f6=2sin 0=0.(6分)(2)由(1)知f(x)=2sin2x-3,故f(x)的最小正周期T=22=,(8分)令-2+2k2x-32+2k,kZ,(10分)解得-12+kx512+k,kZ,故f(x)的单调递增区间为-12+k,512+k,kZ.(12分)20.解析(1)因为小球振动过程中的最高点与最低点的距离为10 cm,所以A=102
14、=5.(2分)因为在一次振动中,小球从最高点运动至最低点所用时间为1 s,所以周期为2 s, 所以T=2=2,所以=.(5分)所以h=5sint+4,t0,+).(6分)(2)由题意,当t=14时,小球第一次到达最高点,以后每隔一个周期都会到达一次最高点, (8分)因为小球在t0 s内经过最高点的次数恰为50,所以14+49Tt014+50T.(10分)因为T=2,所以9814t10014,所以t0的取值范围为9814,10014.(12分)21.解析因为在RtACB中,斜边AB=2,BC=1,(1分)所以AC=3,BAC=6,ABC=3.因为D为以AB为直径的半圆上一点,所以ADB=2,(2
15、分)在RtADB中,AD=2cos ,BD=2sin ,0,2, 如图,作CFAD于点F,则CF=3sin+6,S1=12ADBD=122cos 2sin =sin 2,(3分)S2=12ADCF=122cos 3sin+6=3cos sin+6.(4分)(1)若S1=S2,则sin 2=3cos sin+6, 因为cos 0,所以2sin =3sin+6, (5分)所以2sin =32sin +32cos ,整理可得12sin =32cos ,可得tan =3,又0,2,所以=3.(6分)(2)S=sin 2-3cos sin+6=sin 2-3cos 32sin+12cos=sin 2-34sin 2-34(1+cos 2)=14sin 2-34cos 2-34=12sin2-3-34,(8分)因为02,所以-32-30,t3.(10分)易知当t取最小值时,L最小,当t=3时,=3,x=60,4,L取得最小值,即宣讲站O的位置满足x=6,NO=MO=10 km,OS=(53-5)km时,可使得其到三个乡镇的距离之和最小.(12分)