1、本章复习提升易混易错练易错点1多次利用不等式的性质,导致所求代数式范围扩大1.()已知-4a-c-1,-14a-c5,求9a-c的取值范围.2.(2021山西朔州怀仁一中高一上月考,)已知-1a+b3且2a-b4,求2a+3b的取值范围.易错点2忽略基本不等式的应用条件而致错3.(2019安徽宿州期中,)若x0时,下列函数的最小值为2的是()A.y=x(22-x) B.y=x2+1x C.y=x2+4x2+2-1 D.y=x2+2+1x2+25.(2019湖南岳阳期末,)若a0,b0,且a+2b-4=0,则ab的最大值为,1a+2b的最小值为.易错点3忽略二次项系数的符号而致错6.(2019湖
2、南三湘名校联盟期中,)若xR,ax2-3x+a0恒成立,则实数a的取值范围是() A.a32 B.-320,则关于x的不等式(m-x)(n+x)0的解集是()A.x|xmB.x|-nxmC.x|xnD.x|-mx0,则集合A的子集个数为()A.2 B.4 C.6 D.89.()若关于x的不等式ax2-6x+a20的解集为x|mx1,则a=,m=.易错点4在分式不等式中忽略分母不等于0而致错10.(2021广东汕头金山中学高三上期中,)已知集合A=x|x+2x-40,B=0,1,2,4,8,则AB=()A.1,2,4,8B.0,1,2 C.1,2 D.0,1,2,411.(2021浙江精诚联盟高
3、一上10月联考,)不等式2x+11的解集是()A.x|-1x1 B.x|x1 C.x|x1 D.x|x0对-2x4恒成立,则m的取值范围为.2.(2021山西太原师院附中、师苑中学高一上月考,)若不等式ax2+bx+c0的解集是x|x-12,则不等式ax2-bx+c0的解集是.二、分类讨论思想在解不等式中的应用3.()解关于x的不等式21x2+4ax-a20的解集.三、数形结合思想在“三个二次”问题中的应用5.()当xx|1x5时,不等式x2+ax-20有解,则实数a的取值范围是.6.()已知关于x的方程x2-2x+a=0.当a为何值时,(1)方程的一个根大于1,另一个根小于1?(2)方程的一
4、个根大于-1且小于1,另一个根大于2且小于3?(3)方程的两个根都大于0?7.()已知不等式mx2-mx-10时,不等式x2-mx+90恒成立,则实数m的取值范围是()A.m|m69.(2020北师大附中高二期中,)设函数y=x2+mx+n,已知不等式y0的解集为x|1x0恒成立,求a的取值范围.答案全解全析易混易错练1.解析令a-c=x,4a-c=y,得a=13(y-x),c=13(y-4x),9a-c=83y-53x.-4x-1,53-53x203.-1y5,-8383y403.和相加,得-183y-53x20,-19a-c20.2.解析设2a+3b=x(a+b)+y(a-b)=(x+y)
5、a+(x-y)b,则x+y=2,x-y=3,解得x=52,y=-12,2a+3b=52(a+b)-12(a-b).-1a+b3,2a-b4,-5252(a+b)152,-2-12(a-b)-1,-52-22a+3b152-1,即-922a+3b132.易错警示利用几个代数式的范围求某一个代数式的范围时,不可多次运用不等式相加,否则易扩大范围.3.D若x0,(-x)+9-x2(-x)9-x=6,当且仅当-x=9-x,即x=-3时等号成立,x+9x+2=-(-x)+9-x+2(-6)+2=-4,x+9x+2有最大值-4,没有最小值.故选D.易错警示本题易因忽视基本不等式的使用前提而错选A.利用基本
6、不等式求最值应注意的问题:(1)使用基本不等式求最值,其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视.要利用基本不等式求最值,这三个条件缺一不可;(2)在运用基本不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,使其满足基本不等式中“一正、二定、三相等”的条件.4.B对于选项A,当x22时,22-x0,此时y0时,可得y=x2+1x=x+1x2x1x=2,当且仅当x=1x,即x=1时,等号成立,y=x2+1x的最小值为2,符合题意;对于选项C,y=x2+4x2+2-1=x2+2+4x2+2-32(x2+2)4x2+2-3=1,当且仅当x2+2=4x2+2,即x=0时等号成立,不符合题意;对
7、于选项D,y=x2+2+1x2+22x2+21x2+2=2,当且仅当x2+2=1x2+2,即x2+2=1时取等号,又x2+2=1时x不存在,等号不成立,y的最小值不是2,不符合题意.5.答案2;94解析a0,b0,且a+2b-4=0,a+2b=4,ab=12a2b12a+2b22=2,当且仅当a=2b,即a=2,b=1时等号成立,ab的最大值为2.1a+2b=1a+2ba+2b4=145+2ba+2ab145+22ba2ab=94,当且仅当a=b=43时等号成立,1a+2b的最小值为94.易错警示利用基本不等式求最值时,在保证各项均为正数的情况下,必须考虑两项和或两项积为定值,本题易忽视两项和
8、为定值的条件.6.C当a=0时,原不等式化为-3x0,不恒成立,不符合题意;当a0时,由对应二次函数的性质可知,要使ax2-3x+a0恒成立,只需满足a0,=(-3)2-4a20,解得a32;当a0时,由对应二次函数的图象及性质可知,不符合题意.综上可得,a的取值范围是a32.7.B原不等式可化为(x-m)(x+n)0知m-n,所以原不等式的解集为x|-nx0得x2-x-20,即(x+1)(x-2)0,解得-1x0=0,1,它有22=4个子集.故选B.易错警示解一元二次不等式时首先要把二次项系数化为正数.9.答案-3;-3解析由题意知,a0,且1,m是关于x的方程ax2-6x+a2=0的两个根
9、,1+m=6a,1m=a,解得a=-3,m=-3或a=2,m=2.易知a0,a=-3,m=-3.10.B由x+2x-40,得(x+2)(x-4)0,x-40,解得-2x4,所以集合A=x|-2x4.又B=0,1,2,4,8,所以AB=0,1,2.故选B.11.D不等式2x+11,即2x+1-10,所以1-xx+10,所以(1-x)(x+1)0,x+10,解得x1或x-1,所以原不等式的解集为x|x0时,ax(x+1)0且x+10x(x+1)0且x+10-1x0,此时原不等式的解集为x|-1x0;当a=0时,原不等式的解集为x|x-1;当a0时,ax(x+1)0且x+10x(x+1)0且x+10
10、x-1或x0,此时原不等式的解集为x|x0时,原不等式的解集为x|-1x0;当a=0时,原不等式的解集为x|x-1;当a0时,原不等式的解集为x|x-1或x0.易错警示把含等号的分式不等式化为整式不等式后,切记不要忽略原分母不等于零这一条件.思想方法练1.答案m|2-23m0,根据函数图象列出相应关系式.解得m-2,又m-4,无解;当-2m24,即-4m8时,=(-m)2-4(m+2)0,根据函数图象特点,得到对应方程根的情况,列出相应关系式.解得2-23m2+23,又-4m8,2-23m0,根据函数图象列出相应关系式.解得m6,又m8,无解.综上所述,m的取值范围为m|2-23m2+23.2
11、.答案x|12x0,由不等式的解集得到相应方程的根,应用函数与方程思想.所以-2-12=-ba,-2-12=ca,解得b=52a,c=a,通过根与系数的关系求得参数之间的关系式.则不等式ax2-bx+c0可化为ax2-52ax+a0,即2ax2-5ax+2a0,所以不等式等价于2x2-5x+2=(x-2)(2x-1)0,解得12x2,即不等式ax2-bx+c0的解集为x|12xa(y是关于x的函数,a为参数)恒成立等价于ymina.3.解析原不等式等价于x+a3x-a70时,a7-a3,原不等式的解集为x-a3xa7;当a0时,a7-a3,原不等式的解集为xa7x0时,原不等式的解集为x-a3
12、xa7;当a0时,原不等式的解集为xa7x0,解得x0时,原不等式可化为x-1a(x-a)0,要得到原不等式的解集,需对对应方程两根1a和a的大小进行分类讨论.当0aa,原不等式的解集为x|x1a或x0,其解集为x|x1;当a1时,1aa或x1a.(3)当a0时,原不等式可化为x-1a(x-a)0,要得到原不等式的解集,需对对应方程两根1a和a的大小进行分类讨论.当-1a0时,1aa,原不等式的解集为x|1axa;当a=-1时,原不等式可化为(x+1)20,其解集为;当aa,原不等式的解集为x|ax1a.综上,当a=0时,解集为x|x0;当0a1a或x1时,解集为x|xa或x1a;当-1a0时
13、,解集为x|1axa;当a=-1时,解集为;当a-1时,解集为x|ax0,=0,-235解析由题知=a2+80,且-20在1x5范围内有解的充要条件是当x=5时,y0,即25+5a-20,解得a-235.6.解析(1)已知方程的一个根大于1,另一个根小于1,结合二次函数y=x2-2x+a的图象知,当x=1时,函数值小于0,即12-2+a0,所以a1.因此a的取值范围是a|a0,1-2+a0,4-4+a0,解得-3a0.因此a的取值范围是a|-3a0,a0,解得0a1.因此a的取值范围是a|0a1.作出二次函数的图象,结合根的分布情况得出参数满足的条件.7.解析(1)若m=0,则原不等式可化为-
14、10,显然恒成立;若m0,则不等式mx2-mx-10恒成立等价于m0,=m2+4m0,解得-4m0.综上可知,实数m的取值范围是m|-4m0.(2)当m=0时,mx2-mx-1=-10时,若对于xx|1x3,不等式恒成立,则由函数y=mx2-mx-1的图象开口向上知,只需在x=1,x=3时的函数值均为负即可,即m-m-1=-10,9m-3m-10,解得m16,此时0m16;当m0时,函数y=mx2-mx-1的图象开口向下,图象的对称轴为直线x=12,若当xx|1x3时不等式恒成立,结合函数图象知,只需在x=1时的函数值为负即可,此时mR,所以m0符合题意.综上所述,实数m的取值范围是m|m0时,不等式x2-mx+90恒成立当x0时,不等式mx+9x恒成立m0时,x+9x2x9x=6(当且仅当x=3时取“=”),因此x+9xmin=6,所以m0恒成立,即ax+4x-5对任意x0恒成立.将恒成立问题转化为函数的最值问题,体现了转化与化归思想.又因为x+4x2x4x=4(当且仅当x=2时,等号成立),所以x+4x-5-1,所以a-1.思想方法转化与化归思想在本章中主要表现在恒成立问题与最值之间的转化,一元二次不等式与二次方程、二次函数的转化.