1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。专题能力提升练(五) (120分钟150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.直线x-y=0截圆(x-2)2+y2=4所得劣弧所对的圆心角是()A.B.C.D.【解析】选D.画出图形，如图，圆心(2，0)到直线的距离为d=1，所以sinAOC=，所以AOC=，所以CAO=，所以ACO=-=.2.(2015全国卷)已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2=8x的焦点重合，点A，
2、B是C的准线与E的两个交点，则=()A.3B.6C.9D.12【解析】选B.设椭圆E的方程为+=1(ab0)，右焦点为(c，0)，依题意得解得a=4，由b2=a2-c2=16-4=12，所以椭圆E的方程为+=1，因为抛物线C：y2=8x的准线为x=-2，将x=-2代入到+=1，解得A(-2，3)，B(-2，-3)，故=6.3.(2015济南模拟)已知椭圆C1：-=1与双曲线C2：+=1有相同的焦点，则椭圆C1的离心率e的取值范围为()A.B.C.(0，1)D.【解析】选A.因为椭圆C1：-=1与双曲线C2：+=1有相同的焦点，所以m0，n=，又e0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，
3、C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则抛物线的方程为()A.y2=xB.y2=3xC.y2=xD.y2=9x【解析】选B.如图，分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|=a，则由已知得：|BC|=2a，由定义得：|BD|=a，故BCD=30，在直角三角形ACE中，因为|AF|=3，|AC|=3+3a，所以2|AE|=|AC|，所以3+3a=6，从而得a=1，因为BDFG，所以=，求得p=，因此抛物线方程为y2=3x.5.已知双曲线C1：-=1(a0，b0)的离心率为，一条渐近线为，抛物线C2：y2=4x的焦点为F，点P为直线与抛物线C2异于原点的交点，则|PF|=(
4、)A.2B.3C.4D.5【解析】选D.由双曲线C1：-=1(a0，b0)的离心率为，可得a=b，所以设渐近线的方程为y=x，联立y2=4x可得x=4或x=0(舍去).所以|PF|=x+=4+1=5.6.(2015潍坊一模)已知椭圆E：+=1的长轴的两个端点分别为A1，A2，点P在椭圆E上，如果A1PA2的面积等于9，那么=()A.-B.C.-D.【解析】选A.设P(x1，y1)，则=(-5-x1，-y1)(5-x1，-y1)=+-25，又=|A1A2|y1|=5|y1|=9，解得|y1|=，代入椭圆方程+=1得，=16，代入式可得=+-25=16+-25=-.【加固训练】设A，P是椭圆+y2
5、=1上的两点，点A关于x轴的对称点为B(异于点P)，若直线AP，BP分别交x轴于点M，N，则=()A.0B.1C.D.2【解析】选D.依题意，将点P特殊化为点(，0)，于是点M，N均与点(，0)重合，于是有=2，故选D.7.已知F1，F2分别是双曲线-=1(a0，b0)的左、右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是()A.(1，)B.(，)C.(，2)D.(2，+)【解析】选D.-=1(a0，b0)的渐近线方程为y=x，设直线方程y=(x-c)，与y=-x联立求得M，因为M在圆外，所以满足0，可得-
6、c2+0，解得e=2.8.(2015青岛一模)过抛物线y2=2px(p0)的焦点F且倾斜角为60的直线与抛物线在第一、四象限分别交于A，B两点，则的值等于()A.5B.4C.3D.2【解析】选C.由题意知F，则直线的方程为y=，由得12x2-20px+3p2=0，解得x=p或x=，即点A，B的横坐标分别为p，则|AF|=+=2p，|BF|=+=p.从而=3.9.(2015全国卷)过三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，-7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|=()A.2B.8C.4D.10【解题指南】利用三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，-7)求出圆的方程，令x=0，求出y的值，从而求
7、出|MN|的值.【解析】选C.由已知得kAB=-，kCB=3，所以kABkCB=-1，所以ABCB，即ABC为直角三角形，其外接圆圆心为(1，-2)，半径r=5，所以外接圆方程为(x-1)2+(y+2)2=25，令x=0得y=2-2，所以|MN|=4.10.(2015威海二模)已知椭圆C1:+=1的左右焦点为F1,F2,直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴,动直线l2垂直于直线l1于点P,线段PF2的垂直平分线与l2的交点的轨迹为曲线C2,若A(1,2),B(x1,y1),C(x2,y2)是C2上不同的点,且ABBC,则y2的取值范围是()A.(-,-6)10,+)B.(-,-610,+)C.(
8、-,-6)(10,+)D.(-,-6(10,+)【解题提示】由已知条件推导出曲线C2:y2=4x.=(x1-1,y1-2),=(x2-x1,y2-y1),由ABBC,推导出+(2+y2)y1+(2y2+16)=0,由此能求出y2的取值范围.【解析】选A.因为椭圆C1:+=1的左右焦点为F1,F2,所以F1(-1,0),F2(1,0),直线l1:x=-1,设l2:y=t,则P(-1,t)(tR),设线段PF2的垂直平分线与l2的交点为M(x,y),则y=t,且由|MP|=|MF2|,所以(x+1)2=(x-1)2+y2,所以曲线C2:y2=4x.因为A(1,2),B(x1,y1),C(x2,y2
9、)是C2上不同的点,所以=(x1-1,y1-2),=(x2-x1,y2-y1),因为ABBC,所以=(x1-1)(x2-x1)+(y1-2)(y2-y1)=0,因为x1=,x2=,所以(-4)(-)+16(y1-2)(y2-y1)=0,因为y12,y1y2,所以(y1+2)(y2+y1)+16=0,整理,得+(2+y2)y1+(2y2+16)=0,关于y1的方程有不为2的解,所以=(2+y2)2-4(2y2+16)0,且y2-6,所以-4y2-600,且y2-6,解得y20，b0)的两条渐近线与抛物线y2=4x的准线相交于A，B两点.若AOB的面积为2，则双曲线的离心率为.【解析】抛物线y2=
10、4x的准线方程是x=-1，双曲线的渐近线y=x与x=-1的交点坐标分别是A，B.又AOB的面积为2，所以1=2，即b=2a，b2=c2-a2=4a2，c=a，所以离心率e=.答案：13.已知椭圆+=1的左顶点为A，左焦点为F，点P为该椭圆上任意一点；若该椭圆的上顶点到焦点的距离为2，离心率e=，则的取值范围是.【解析】因为椭圆的上顶点到焦点的距离为2，所以a=2，因为离心率e=，所以c=1，b=，则椭圆为+=1，所以A点的坐标为(-2，0)，F点的坐标为(-1，0)，设P(x，y)，则=(x+2，y)(x+1，y)=x2+3x+2+y2，由椭圆方程得y2=3-x2，所以=x2+3x-x2+5=
11、(x+6)2-4，因为x-2，2，所以0，12.答案：0，1214.(2015日照二模)设抛物线C:y2=2px(p0),A为抛物线上一点(A不同于原点O),过焦点F作直线平行于OA,交抛物线C于P, Q两点.若过焦点F且垂直于x轴的直线交直线OA于点B,则|FP|FQ|-|OA|OB|=_.【解析】A取特殊位置上的点,则A与B重合,所以|OA|OB|=|OA|2=+p2=p2.又kPQ=kOA=2,所以直线PQ的方程为y=2,代入y2=2px,得4x2-6px+p2=0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则由抛物线的定义得|FP|FQ|=x1x2+(x1+x2)+=+=,所以|FP|FQ
12、|-|OA|OB|=0.答案:015.已知抛物线y2=2px(p0)的焦点F到双曲线-=1的渐近线的距离为，A，B为抛物线上的两动点，线段AB的中点M在定直线y=2上，则直线AB的斜率为.【解析】双曲线-=1的渐近线的方程为y=x，因为抛物线y2=2px(p0)的焦点到双曲线-=1的渐近线的距离为，所以=，所以p=2，所以抛物线方程为y2=4x，设AB的方程为x=my+b，代入y2=4x，可得y2-4my-4b=0，因为线段AB的中点M在定直线y=2上，所以4m=4，所以m=1，所以直线AB的斜率为1.答案：1三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
13、)16.(12分)已知椭圆C：+=1(ab0)左右焦点、上下顶点依次为F1，F2，B2，B1，若四边形F1B1F2B2的面积为8，且椭圆的离心率为.(1)求椭圆C的方程.(2)已知点M，N在椭圆C上，若M，F2，N三点共线，且=+，求直线MN的方程.【解析】(1)因为四边形F1B1F2B2为菱形，所以S菱形=2b2c=8，即bc=4.又=，所以a=c，又a2-b2=c2，则b=c，所以b2=4，a2=8，故椭圆C的方程为+=1.(2)依题意知F2(2，0).因为M，N，F2三点共线，且=+，所以=且=2.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则=(2-x1，-y1)，=(x2-2，y2)，所以
14、又M，N在椭圆C上，则代入求得x2=，y2=，故N，kMN=，故直线MN的方程为y=(x-2)，即xy-2=0.【加固训练】已知点P在椭圆C：+=1(ab0)上，过椭圆C的右焦点F2(1，0)的直线与椭圆C交于M，N两点.(1)求椭圆C的方程.(2)若AB是椭圆C经过原点O的弦，且MNAB，W=，试判断W是否为定值？若W为定值，请求出这个定值；若W不是定值，请说明理由.【解析】(1)椭圆C的右焦点为(1，0)，所以c=1，椭圆C的左焦点为(-1，0)，可得2a=+=+=4，解得a=2，所以b2=a2-c2=4-1=3，所以椭圆C的标准方程为+=1.(2)当直线斜率不存在时，|AB|2=(2b)
15、2=4b2，|MN|=，所以W=2a=4.当直线斜率存在时，设直线的方程为y=k(x-1)(k0)，且M(x1，y1)，N(x2，y2).由得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0，所以x1+x2=，x1x2=，则|MN|=|x1-x2|=.由消去y，并整理得：x2=，设A(x3，y3)，B(x4，y4)，则|AB|=|x3-x4|=4，所以W=4.综上所述，W为定值4.17.(12分)(2015东营一模)已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点.(1)若=2，求直线AB的斜率.(2)设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小
16、值.【解析】(1)依题意F(1，0)，设直线AB的方程为x=my+1.将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得y2-4my-4=0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1+y2=4m，y1y2=-4.因为=2，所以y1=-2y2.联立和，消去y1，y2，得m=.所以直线AB的斜率是2.(2)由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2SAOB.因为2SAOB=2|OF|y1-y2|=4，所以当m=0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4.18.(12分)已知椭圆C：+=1(ab0)的焦点分别为F1(-，0)，
17、F2(，0)，点P在椭圆C上，满足|PF1|=7|PF2|，tanF1PF2=4.(1)求椭圆C的方程.(2)已知点A(1，0)，试探究是否存在直线：y=kx+m与椭圆C交于D，E两点，且使得|AD|=|AE|？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由.【解析】(1)由tanF1PF2=4得cosF1PF2=，由余弦定理得cosF1PF2=，得|PF2|=，|PF1|=，所以a=2，又由c=得b=1.所以所求C的方程为+y2=1.(2)假设存在直线满足题设，设D(x1，y1)，E(x2，y2)，将y=kx+m代入+y2=1并整理得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0，由=64k2
18、m2-4(1+4k2)(4m2-4)=-16(m2-4k2-1)0，得4k2+1m2又x1+x2=-，设D，E中点为M(x0，y0)，M，由kAMk=-1，得m=-，将代入得4k2+1，化简得20k4+k2-10(4k2+1)(5k2-1)0，解得k或kb0)的上顶点为(0,1),且离心率为.(1)求椭圆C的方程.(2)证明:过椭圆C1:+=1(mn0)上一点Q(x0,y0)的切线方程为+=1.(3)过圆x2+y2=16上一点P向椭圆C引两条切线,切点分别为A,B,当直线AB分别与x轴、y轴交于M,N两点时,求|MN|的最小值.【解析】(1)由题意可得b=1,e=,又a2-b2=c2,解得a=
19、2,b=1,即椭圆C方程为+y2=1.(2)当斜率存在时,设切线方程为y=kx+t,联立椭圆方程+=1,可得n2x2+m2(kx+t)2=m2n2,化简可得:(n2+m2k2)x2+2m2ktx+m2(t2-n2)=0,由题可得:=4m4k2t2-4m2(n2+m2k2)(t2-n2)=0,化简可得:t2=m2k2+n2,式只有一个根,记作x0,x0=-=-,x0为切点的横坐标,切点的纵坐标y0=kx0+t=,所以=-,所以k=-,所以切线方程为:y-y0=k(x-x0)=-(x-x0),化简得:+=1.当切线斜率不存在时,切线为x=m,也符合方程+=1,综上+=1(mn0)上一点Q(x0,y
20、0)的切线方程为+=1.(3)设点P(xP,yP)为圆x2+y2=16上一点,PA,PB是椭圆+y2=1的切线,切点A(x1,y1),B(x2,y2),过点A的椭圆的切线为+y1y=1,过点B的椭圆的切线为+y2y=1.由两切线都过P点,+y1yP=1,+y2yP=1,即有切点弦AB所在直线方程为+yyP=1.N,M,|MN|2=+=(17+2)=,当且仅当=,即=,=时取等号,则|MN|,即|MN|的最小值为.20.(13分)(2015福建高考)已知椭圆E：+=1(ab0)过点(0，)，且离心率e=.(1)求椭圆E的方程.(2)设直线：x=my-1(mR)交椭圆E于A，B两点，判断点G与以线
21、段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由.【解析】方法一：(1)由已知得，所以椭圆的方程为+=1.(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点为H(x0，y0).由得(m2+2)y2-2my-3=0，所以y1+y2=，y1y2=-，从而y0=.所以|GH|2=+=+=(m2+1) +my0+.=(m2+1)(-y1y2)，故|GH|2-=my0+(m2+1)y1y2+=-+=0，所以|GH|，故G在以AB为直径的圆外.方法二：(1)同方法一.(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则=，=.由得(m2+2)y2-2my-3=0，所以y1+y2=，y1y2=-，从而=+y1y2=(
22、m2+1)y1y2+m(y1+y2)+=-+=0，所以cos0，又，不共线，所以AGB为锐角.故点G在以AB为直径的圆外.21.(14分)(2015济宁一模)平面内动点M(x,y)与两定点A(-,0),B(,0)的连线的斜率之积为-,记动点M的轨迹为C.(1)求动点M的轨迹C的方程.(2)定点F(-2,0),T为直线x=-3上任意一点,过F作TF的垂线交曲线C于点P,Q.证明:OT平分线段PQ(其中O为坐标原点);当最小时,求点T的坐标.【解析】(1)由已知可得kMAkMB=-,化为+=1(y0),所以动点M的轨迹C的方程为+=1(y0).(2)设T(-3,m),则直线TF的斜率kTF=-m.当m0时,直线PQ的斜率kPQ=,直线PQ的方程为:x=my-2,当m=0时,PQ的方程为:x=-2,也满足上述方程.设P(x1,y1),Q(x2,y2),联立化为(3+m2)y2-4my-2=0,=16m2+8(m2+3)0,所以y1+y2=,y1y2=,所以x1+x2=m(y1+y2)-4=.所以PQ的中点N.所以直线ON的斜率kON=-.又直线OT的斜率kOT=-.所以点N在直线OT上,所以OT平分线段PQ.由可得|TF|=.|PQ|=.所以=,当且仅当m=1时取等号.所以当最小时,点T的坐标为(-3,1).关闭Word文档返回原板块
