1、天津市第一中学滨海学校2021届高三数学上学期开学考试试题（含解析）本测试时长120分钟，满分150分.一选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，集合，则（ ）A. B. C. D. C分析：分别解不等式，再求交集，即可得出结果.解答：，所以故选：C2. 函数的图象大致为（ ）A. B. C. D. A分析：由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.解答：由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；当时，选项B错误.故选：A.点拨：函数图象的识
2、辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象利用上述方法排除、筛选选项3. 设，则“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件B若取时，不成立，若，则，可得“”是“”的必要而不充分条件，故选B.4. 已知函数的值域是，则实数a的取值范围是（ ）A. B. C. D. B分析：由二次函数的性质可得当时，函数的值域刚好为8，1，故只需y=，的值域为8，1的子集，可得的不等式
3、，结合指数函数的单调性可得解答：当时，所以；当时，为增函数，所以，因为的值域为，所以，故，故选：B.点拨：易错点睛：分段函数的值域，应是函数在不同范围上的函数值的取值集合的并，解题中应该根据函数的值域决定函数在不同范围上的函数值的集合之间的关系.5. 已知函数，则的最小值等于（ ）A. B. C. D. D试题分析：因为函数，所以所以，即，当且仅当，即时等号成立所以的最下值为故答案选考点：基本不等式6. 已知，则（ ）.A. B. C. D. D分析：利用根式的运算性质、指数函数、幂函数单调性可得a，b的大小关系，利用对数函数的单调性即可得出c1解答：，且，故选：D7. 从5双不同的袜子中取4
4、只，使至少有2只袜子配成一双的可能取法种数为（ ）A. 20B. 30C. 130D. 140C分析：由对立事件A为“4只没有可配对的袜子”的取法种数，总取法，即可知至少有2只袜子配成一双的可能取法种数，即可知正确选项.解答：“4只至少有2只袜子配成一双”对立事件A为“4只没有可配对的袜子”，A的取法数为种，而总取法有种，“4只至少有2只袜子配成一双” 可能取法种数为种.故选：C8. 已知函数给出下列结论：的最小正周期为；是的最大值；把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象其中所有正确结论序号是（ ）A. B. C. D. B分析：对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可.解
5、答：因为，所以周期，故正确；，故不正确；将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，故正确.故选：B.【点晴】本题主要考查正弦型函数的性质及图象的平移，考查学生的数学运算能力，逻辑分析那能力，是一道容易题.9. 已知函数，方程有四个实数根，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. B分析：利用导数，判断函数的单调性及最值，从而画出该函数的图像；再用换元，将问题转化为一元二次方程根的分布问题，即可求解参数范围.解答：令，故，令，解得，故函数在区间单调递减，在单调递增，且在处，取得最小值.根据与图像之间的关系，即可绘制函数的图像如下：令，结合图像，根据题意若要满足有四个根， 只需方程的两
6、根与满足：其中一个根，另一个根或.当方程的一个根，另一个根，将代入，可得矛盾，故此种情况不可能发生；当方程一个根，另一个根，要满足题意，只需即可即，解得.故选：B.点拨：本题考查利用导数研究函数的单调性，以及二次方程根的分布问题，属重点题型.二填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.10. 某信号兵从红黄蓝绿紫五面不同颜色的旗中任取三面，从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，若同时取蓝绿时，则蓝旗必须挂在绿旗上面，这样可组成的信号个数有_.51分析：先求出任取三面，从上到下挂在竖直的旗杆上的种数，再排除同时取蓝绿时，蓝旗挂在绿旗下面的情况，即可求出.解答：从红黄蓝绿紫五面不同颜色的旗中任取三
7、面，从上到下挂在竖直的旗杆上，共种，其中，同时取蓝绿时，蓝旗挂在绿旗下面的情况有种，则可组成的信号个数有.故答案为：51.11. 在的展开式中的系数为_（用数字作答）240通项公式Tr+1=（1）r26rx62r，令62r=2，解得r=2的展开式中x2的系数=240故答案为24012. 已知函数，若，则实数a的取值范围是_.分析：由题设知或，根据分段函数解析式，列不等式组即可求a的取值范围.解答：由，即或，结合函数解析式知：或或，解得：或或.a的取值范围.点拨：关键点点睛：由题设有或，结合分段函数性质，解不等式求参数的范围.13. 设，则的定义域为_.分析：由原函数求出定义域为，由复合函数可得
8、且，解出不等式，求交集即可.解答：由得，故且，, 或解得：.故答案为：点拨：本题考查了求复合函数的定义域，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于基础题目.14. 已知，则的值为_分析：利用两角和差正切公式可求得，利用二倍角公式将所求式子构造为关于正余弦的齐次式，则配凑分母，分子分母同时除以可构造出关于的式子，代入求得结果.解答：，解得：本题正确结果：点拨：本题考查关于正余弦的齐次式的求解问题，涉及到两角和差正切公式的应用、同角三角函数关系的应用，属于常考题型.15. 已知函数若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为_.分析：画出 的图像,再分析与的交点个数即可.解答：画出函数的图像,如图所示：先
9、求与相切时的情况,由图可得此时,设切点为,则,解得, .此时.斜率.又当时与平行也为临界条件.故.故答案为：点拨：本题主要考查了数形结合求解函数零点个数的问题,需要根据题意画出图像,再分析临界条件分析.属于中档题.三解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. 已知函数.（1）求的最小正周期和最大值；（2）讨论在上的单调性.（1）最小正周期为，最大值为；（2）在单调递增，在单调递减.分析：（1）由条件利用三角恒等变换化简函数，再利用正弦函数的周期性和最值求得的最小正周期和最大值；（2）根据，利用正弦函数的单调性，分类讨论求得的单调性.解答：（1），则的最小正
10、周期为，当，即时，取得最大值为；（2）当时，则当，即时，为增函数；当时，即时，为减函数，在单调递增，在单调递减.点拨：本题考查正弦函数的性质，解题的关键是利用三角恒等变换化简函数.17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.（1）求角C的大小；（2）求的值；（3）求的值.（1）；（2）；（3）分析：（1）由余弦定理求出，即可得出角C大小；（2）由正弦定理即可求出；（3）求出，由二倍角公式求出，再由和的正弦公式即可求出.解答：（1）由余弦定理可得，；（2）由余弦定理可得，则；（3），则，.18. 在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试
11、验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.（I）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含的频率（II）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX.（1） （2）见解析（I）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件为M，计算即得(II)由题意知X可取的值为：.利用超几何分布概率计算公式得X的分布列为X01234P进一步计算X的
12、数学期望.试题解析：（I）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件为M，则(II)由题意知X可取的值为：.则因此X的分布列为X01234PX的数学期望是=【名师点睛】本题主要考查古典概型的概率公式和超几何分布概率计算公式、随机变量的分布列和数学期望.解答本题，首先要准确确定所研究对象的基本事件空间、基本事件个数，利用超几何分布的概率公式.本题属中等难度的题目，计算量不是很大，能很好的考查考生数学应用意识、基本运算求解能力等.19. 设是定义在实数集R上的奇函数，且对任意实数x恒满足，当时，.（1）求证：是周期函数；（2）当时，求的解析式；（3）计算：.（1）证明见解析；（2）；（3）0分
13、析：（1）由已知，将换为可得；（2）根据函数为奇函数可得时的解析式，再由周期性可求；（3）求出，利用周期性可求出.解答：（1）证明：，是周期为4的周期函数；（2）当时，则，又是奇函数，又当时，又是周期为4的周期函数，即当，；（3），又是周期为4的周期函数，.点拨：本题考查了函数解析式的求解和函数周期性的应用，解题的关键是正确求出函数的周期.20. 已知函数，其中.（1）曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式；（2）讨论函数的单调性；（3）若对于任意的，不等式在上恒成立，求b的取值范围.（1）；（2）答案见解析；（3）分析：（1）有导数的几何意义，列方程求解，即可得出结果.（2）对函数求导，分类讨论和，即可求出函数的单调区间.（3）不等式在上恒成立，而对于任意的，无论与的关系如何，最大值都在端点处取得.经过计算即可得出结果.解答：（1），解得由切点在直线上可得，函数解析式为（2）当时，函数在上单调递增，当时，解得当变化时，的变化情况如下：+0-0+极大值极小值所以在和单调递增，和单调递减（3）由（2）知，在上的最大值为和中较大者，对于任意的，不等式在上恒成立，当且仅当，对任意的成立，可得点拨：关键点点睛：不等式在上恒成立，而对于任意的，无论与的关系如何，最大值都在端点处取得.本题考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于中档题目.
