1、三角函数 解三角形第四章第三节两角和与差的正弦、余弦和正切公式高考概览1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).吃透教材 夯双基 填一填 记一记 厚积薄发知识梳理1两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)cos()；(2)cos()；(3)sin()；(4)sin()；(5)tan()；(6)tan().coscossinsi
2、ncoscossinsinsincoscossinsincoscossintantan1tantantantan1tantan温馨提示 上述公式的结构特征和符号特点如下：C()同名相乘符号反，S()异名相乘符号同；T()分子同分母反如：sin75，cos75，tan165.6 246 24322倍角公式(1)sin2；(2)cos2；(3)tan2 2tan1tan2.2sincoscos2sin22cos2112sin23有关公式的逆用、变形(1)tantantan()；(2)cos2，sin2；(3)1sin2(sin)2,1sin2(cos)2.(1tantan)1cos 221cos
3、22cossin温馨提示 要熟悉三角公式的代数结构，更要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会公式间的联系，掌握常见的公式变形如：(1)12cos28,2sin2150112(2)函数 f(x)2 3sinxcosx 的值域为(3)已知 tantan 3 3tantan，则 tan().22 3，3 34辅助角公式asinbcos a2b2sin()，(其中 a，b 为常数，tanba)温馨提示 常利用辅助角公式将函数化成“一角一函数”的形式，从而研究函数的性质如：f(x)3sinxcosx，在0，2上的值域为1,2小题速练1(2017山东卷)已知 cosx34，则 cos2x()A14B.14
4、C18D.18解析 cosx34，cos2x2cos2x118.选 D.答案 D2(2015全国卷)sin20cos10cos160sin10()A 32B.32C12D.12解析 原式sin20cos10cos20sin10sin(2010)12.答案 D3已知 sin2 12，20，则 cos3 的值是()A.12B.23C12D1解析 由 sin2 12得 cos12，又20，3，cos3 cos23 12，选 C.答案 C4(2017江苏卷)若 tan4 16，则 tan_.解析 tantan4 4 tan4 tan41tan4 tan416111675.答案 755(2017全国卷)
5、函数 f(x)2cosxsinx 的最大值为_解析 依题意，得 f(x)5sin(x)(其中 sin 25，cos 15)因此函数 f(x)的最大值是 5.答案 5 考点突破 提能力 研一研 练一练 考点通关考点一 三角公式的基本应用基础考点(1)(2016全国卷)若 cos4 35，则 sin2()A.725B.15C15D 725(2)(2017广西桂林市、百色市、崇左市第一次联考)已知cos2x2 sin2x，x(0，)则 tanx4 等于()A.13B13C3D3解析(1)解法一：cos24 2cos24 123521 725，且 cos24 cos22 sin2，故选 D.解法二：由
6、 cos4 35，得 22 cos 22 sin35，即 22(cossin)35，两边平方得12(cos2sin22cossin)925，整理得 2sincos 725，即 sin2 725，故选 D.(2)由 cos2x2 sin2x 得 sin2xsin2x，x(0，)，sinx0，tanx2，tanx4 tanx11tanx13.答案(1)D(2)A使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征熟练运用跟踪演练1(2017新疆维吾尔自治区高考适应性检测)若1tan1tan2，则 cos2()A.45B45C.35D35解析 依题意得 1tan22tan，tan13，cos2co
7、s2sin21tan21tan21132113245，选 A.答案 A2(2017吉林大学附中检测)若 2，且 3cos2sin4，则 sin2 的值为()A 356B16C 3518D1718解析 3cos2sin4，3(cos2sin2)22(cossin)，易知 sincos，故 cossin 26，1sin2 118，sin21718，故选 D.答案 D考点二 三角函数公式的逆用与变形应用常考点(1)(2017河北名师俱乐部模拟)已知 0，4，且sin4 74，则2cos21cos4()A.23B.43C.34D.32(2)计算sin110sin20cos2155sin2155的值为(
8、)A12B.12C.32D 32思路引导(1)由 2cos21cos2 寻求 2 与4、4的关系(2)大化小，钝化锐，再寻求角之间的联系解析(1)由 sin4 74，0，4，044，cos4 34.2cos21cos4 cos2sin4sin22sin4sin24sin42cos4 32.(2)sin110sin20cos2155sin2155sin70sin20cos310cos20sin20cos5012sin40sin4012.答案(1)D(2)B(1)三角函数公式活用技巧逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式tantan，tantan(或 tantan)，tan()(
9、或 tan()三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用(2)三角函数公式逆用和变形用应注意的问题公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，32，3等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式跟踪演练1在ABC 中，若 tanAtanBtanAtanB1，则 cosC 的值为()A 22B.22C.12D12解析 由 tanAtanBtanAtanB1，可得 tanAtanB1tanAtanB1，即 tan(AB)1，又 AB(0，)，所以 AB34，则 C4，cosC 22.答案 B2(2017河南六市一联)已知 c
10、os6 sin4 35，则sin76 的值是()A2 35B.2 35C.45D45解析 由 cos6 sin4 35，可得 32 cos12sinsin4 35，即32sin 32 cos4 35，3sin6 4 35，sin645，sin76 sin6 45.答案 D 已知，均为锐角，且 sin35，tan()13.(1)求 sin()的值；(2)求 cos 的值思路引导(1)利用同角关系式 tan()求 sin()(2)利用()，寻求已知和未知的联系解(1)，0，2，从而22.又tan()130，20.sin()1010.(2)由(1)可得 cos()3 1010.为锐角，且 sin35
11、，cos45.coscos()coscos()sinsin()453 1010 35 1010 9 1050.拓展探究 本例中若把 sin35改为 tan34，其余条件不变，求 tan 的值解 tantan()tantan1tantan341313413139.利用角的变换求三角函数值的策略(1)当“已知角”有两个时：一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时：此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”跟踪演练1已知 tan()1，tan3 13，则 tan3 的值为()A.23B.12C.34D.45解析
12、tan3tan3tantan31tantan3113111312.答案 B2(2018福建师大附中检测)若 sin3 14，则 cos32()A78B14C.14D.78解析 cos32 cos23 2cos23 2 12sin23 78.答案 A名师引领 拓视野 思一思 悟一悟 素养达成三角函数求值忽视角的范围致误素养解读：在求三角函数值或利用三角函数值求角时，注意角隐含范围的挖掘，尽量使角的范围缩小，保证开方的唯一性以及三角函数的单调性 已知，为三角形的两个内角，cos17，sin()5 314，则 cos 的值为_切入点 利用()，求 cos.关键点 由 sin()求 cos()时符号的
13、选取规范解答 因为 0，cos17，所以 sin 1cos24 37，故32，又因为 0，sin()5 314 32，所以 03或23，由32知23，所以 cos()1sin21114，所以 coscos()cos()cossin()sin1114 175 314 4 37 12.答案 12在由 cos17，求 sin 时要缩小角的范围至3，2，同时根据 sin()5 314 的值缩小 的范围至23，否则 cos()的值就会出现两个，这样就扩大了角的范围两点说明：(1)在解决三角函数式的求值问题时，要注意题目中角的范围的限制，特别是进行开方运算时一定要注意所求三角函数值的符号(2)根据条件求角，一般要选择相对角的范围区分度比较大的三角函数，且确定角范围要尽量缩小感悟体验已知 cos1213，cos()17 226，且，32，32，2，则 的值为_解析 32，32 2，0.又 cos1213，cos()17 226，sin 513，sin()7 226.coscos()17 226 1213 7 226 513 22，且 0，所以 34.答案 34
