1、广东省清远市清城区三中高三第一学期第三次周考数学（理）试题(本卷满分150分，时间120分钟)一、 选择题（60分，每题5分）1已知全集且则等于（ ）ABCD 2设复数满足，则（ ）A1BCD23已知平面向量的夹角为且，在中，为边的中点，则=（ ） A2B4C6D84某年级有1000名学生，随机编号为0001，0002，1000，现用系统抽样方法，从中抽出200人，若0122号被抽到了，则下列编号也被抽到的是（ ）A0116B0927C0834D07265若某几何体的三视图(单位：)如图所示，则该几何体的体积等于（ ）ABCD 6. 若，则的值为（ ）ABCD7. 若 ，则的展开式中常数项为（
2、 ）ABC D8阅读如图所示的程序框图，输出的结果的值为（ ）A0B C D9有4名优秀大学毕业生被某公司录用，该公司共有5个科室，由公司人事部门安排他们到其中任意3个科室上班，每个科室至少安排一人，则不同的安排方案种数为（ ）A120 B240 C360 D48010. 已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，设则的大小关系是（ ）A BCD11过点（，0）引直线l与曲线相交于A、B两点，O为坐标原点，当AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于（ ）A B C D12如图，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于点，两点.若为等边三角形，则的面积为（ ）A8 B C D1
3、6二、 填空题（20分，每题5分）13.已知向量，向量的夹角是，则= _.14若，则= _ 15.在中，为BC边上的一点，若则BD=_16.设函数的最大值为M,最小值m,则M+m=_三、 解答题（70分）17. （本小题满分12分）等差数列的前项和为，已知，为整数，且.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和的最大值.18. （本小题满分12分）四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，.（1）证明：；（2）设与平面所成的角为，求二面角的余弦值的大小.19. （本小题满分12分）调查表明，高三学生的幸福感与成绩，作业量，人际关系的满意度的指标有极强的相关性，现将这三项的满意度指标分别记为，并对它们进
4、行量化：0表示不满意，1表示基本满意，2表示满意再用综合指标的值评定高三学生的幸福感等级：若，则幸福感为一级；若，则幸福感为二级；若，则幸福感为三级. 为了了解目前某高三学生群体的幸福感情况，研究人员随机采访了该群体的10名高三学生，得到如下结果：（1）在这10名被采访者中任取两人，求这两人的成绩满意度指标相同的概率；（2）从幸福感等级是一级的被采访者中任取一人，其综合指标为，从幸福感等级不是一级的被采访者中任取一人，其综合指标为，记随机变量，求的分布列及其数学期望.20. （本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，以为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知
5、点，和面内一点，过点任作直线与椭圆相交于两点，设直线的斜率分别为，若，试求满足的关系式.21. （本小题满分12分）已知函数.（1）当时，求函数的最大值；（2）函数与轴交于两点且，证明：.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线.（1）求曲线的普通方程，并将的方程化为极坐标方程；（2）直线的极坐标方程为，其中满足，若曲线与的公共点都在上，求.23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若的图象与轴围成的三角形面积大于6，求的取值范围
6、.数学（理）答案一、 BAABB ACACB BC二、13 2 14. _15 _2+_16. 4三、17.解：（1）由，为整数知，的通项公式为.（2），于是.结合的图象，以及定义域只能取正整数，所以的时候取最大值.18.解：（1）取中点，连接交于点.，又平面平面，平面，.（2）在面内过点作的垂线，垂直为.，面，则即为所求二面角的平面角.，则.19.解：（1）设事件这10名被采访者中任取两人，这两人的成绩满意度指标相同成绩满意度指标为0的有：1人成绩满意度指标为1的有：7人成绩满意度指标为2的有：2人则.（2）统计结果，幸福感等级是一级的被采访者共6人，幸福感等级不是一级的被采访者共4名，随机
7、变量的所有可能取值为1,2,3,4,5，过程略.20.解：（1）（2）当直线斜率不存在时，由，解得，不妨设，因为，所以，所以的关系式为.当直线的斜率存在时，设点，设直线，联立椭圆整理得：，根系关系略，所以所以，所以的关系式为.21.解：（1）当时，求导得，很据定义域，容易得到在处取得最大值，得到函数的最大值为-1.（2）根据条件得到，两式相减得，得因为得因为，所以，要证即证即证，即证设，原式即证，即证构造求导很容易发现为负，单调减，所以得证22.解：（1）消去参数得到的普通方程，将，代入的普通方程，得到的极坐标方程.（2）曲线的公共点的极坐标满足方程组，若，由方程组得，由已知，可解得，根据，得到，当时，极点也为的公共点，在上，所以.23.（1）当时，不等式化为当，不等式化为，无解；当，不等式化为，解得；当，不等式化为，解得；综上，不等式的解集为.（2）由题设把写成分段函数，所以函数图象与轴围成的三角形的三个顶点分别为解得，由题设得，得到，所以的范围是.