1、2.2基本不等式基础过关练题组一对基本不等式的理解1.若a,bR,且ab0,则下列不等式恒成立的是() A.a2+b22ab B.a+b2abC.1a+1b2ab D.ba+ab22.不等式(x-2y)+1x-2y2成立的前提条件为()A.x2yB.x2yC.x2yD.x2)中等号成立的条件是()A.x=5B.x=-3 C.x=3D.x=-54.(2020浙江杭州高一月考)下列不等式一定成立的是()A.3x+12x6B.3x2+12x26C.3(x2+1)+12(x2+1)6D.3(x2-1)+12(x2-1)6题组二利用基本不等式比较大小5.(多选)(2021辽宁葫芦岛高一质量检测)已知两个
2、不等正数a,b满足a+b=1,则下列说法正确的是()A.ab14 B.1a+1b4C.a+b126.若0aa+b2aab B.baba+b2aC.ba+b2aba D.baa+b2ab7.小W从A地到B地和从B地到A地的速度分别为m和n(mn),其全程的平均速度为v,则()A.m+n2vm B.nvmnC.mnvbc,则a-c2与(a-b)(b-c)的大小关系是.9.某商店出售的某种饮料需分两次提价,提价方案有两种,方案甲:第一次提价p%,第二次提价q%;方案乙:每次都提价p+q2%,若p,q0,且pq,则提价多的方案是.题组三利用基本不等式求最值10.已知实数x,y0,则x+y+4x+1y的
3、最小值为()A.42 B.6 C.210 D.3611.(2020浙江诸暨高二期末)已知函数y=x+4x-1(x1),则函数的最小值等于()A.42 B.42+1 C.5 D.912.(2021宁夏大学附属中学高二上期中)若-2xb0,则a2+16b(a-b)的最小值为()A.8 B.82 C.16D.16214.若正数x,y满足x+4y-xy=0,则当x+y取得最小值时,x的值为()A.9 B.8 C.6 D.315.(2021江苏溧阳高一期末检测)已知正实数x,y满足x+y=1,则1x+1y的最小值是.16.(2021黑龙江鹤岗第一中学高一上月考)(1)已知a0,b0,且4a+b=1,求a
4、b的最大值;(2)已知x3.19.设x0,求证:x+22x+132.题组五利用基本不等式解决实际问题20.某人要用铁管做一个形状为直角三角形且面积为1 m2的铁架框(铁管的粗细忽略不计),在下面四种长度的铁管中,最合理(够用,又浪费最少)的是()A.4.6 mB.4.8 mC.5 mD.5.2 m21.(2020广东广州荔湾高二期末)为满足人民日益增长的美好生活需要,实现群众对舒适的居住条件、更优美的环境、更丰富的精神文化生活的追求,某大型广场计划进行升级改造.改造的重点工程之一是新建一个矩形音乐喷泉综合体A1B1C1D1,该项目由矩形核心喷泉区ABCD(阴影部分)和四周的绿化带组成.规划核心
5、喷泉区ABCD的面积为1 000 m2,绿化带的宽分别为2 m和5 m(如图所示).当整个项目A1B1C1D1占地面积最小时,核心喷泉区的边BC的长度为()A.20 m B.50 m C.1010 m D.100 m22.某建筑公司用8 000万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少12层,每层建筑面积为4 000平方米的楼房.经初步估计得知,若将楼房建为x(x12,xN*)层,则每平方米的平均建筑费用s=3 000+50x(单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?每平方米的平均综合费用的最小值是多少?注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用
6、=购地总费用建筑总面积能力提升练题组一利用基本不等式求最值1.(2020广东惠州高二期末,)已知x0,y0,且2x+y=1,则xy的最大值是()A.14 B.4 C.18 D.82.(2021黑龙江大庆实验中学高一上开学考试,)已知a0,b0,a+b=1,则a2+4a+b2+4b的最小值为()A.6 B.8 C.15 D.173.(2021河北辛集中学高一上月考,)已知a0,b0,a+b=4ab,则a+b的最小值为()A.12 B.1 C.2 D.44.(2020河南三门峡外国语高级中学高一下期中,)设正数x,y满足x2+y22=1,则x1+y2的最大值为()A.32 B.322C.34 D.
7、3245.(2020浙江丽水高一期末,)设正数a,b满足a2+4b2+1ab=4,则a=,b=.6.(2020河北唐山第一中学高一下月考,)已知x0,则x2+3x+6x+1的最小值是.7.(2020湖北麻城一中高一月考,)已知a,bR,且ab0,a+b=1,则a2+2b2的最小值为,4a-b+12b的最小值为.8.(2021江苏苏州高一期末,)已知a,b均为正实数且ab+a+3b=9,则a+3b的最小值为.9.(2021吉林长春东北师范大学附属中学高一上段考,)已知x0,y0,4x2+y2+xy=1,求:(1)4x2+y2的最小值;(2)2x+y的最大值.题组二利用基本不等式证明不等式10.(
8、)已知a,b为正数,求证:1a+4b2(2+1)22a+b.11.()若ab,且ab=2,求证:a2+b2a-b4.12.(2021湖南长沙长郡中学高一上检测,)已知a0,b0,a+b=1,求证:(1)1a+1b+1ab8;(2)1+1a1+1b9.13.()(1)已知a,b,cR,求证:a2+b2+b2+c2+c2+a22(a+b+c);(2)若0x0,b0,求证:a2x+b21-x(a+b)2.题组三基本不等式在实际问题中的应用14.(2021山东日照五莲高一上期中,)某工厂过去的年产量为a,技术革新后,第一年的年产量增长率为p(p0),第二年的年产量增长率为q(q0,pq),这两年的年产
9、量平均增长率为x,则()A.x=p+q2 B.x=pqC.xp+q2 D.x0,其中y1与x+1成反比,每月库存货物费y2(单位:万元)与x成正比,若在距离车站9千米处建仓库,则y1和y2分别为2万元和7.2万元.这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处,才能使两项费用之和最少?最少费用是多少?答案全解全析基础过关练1.Da2+b2-2ab=(a-b)20,A不符合题意;当a0,b0,ba0,ab0,ba+ab2baab=2,当且仅当a=b时等号成立,D符合题意.2.B因为不等式成立的前提条件是x-2y和1x-2y均为正数,所以x-2y0,即x2y,故选B.3.A当x2时,9x-2+(x-2)
10、29x-2(x-2)=6,等号成立的条件是9x-2=x-2,即(x-2)2=9,解得x=5(x=-1舍去).故选A.4.B对于A,x可能是负数,不成立;对于B,由基本不等式可知,3x2+12x26,当且仅当3x2=12x2,即x4=16时取等号,故成立;对于C,当3(x2+1)=12(x2+1)时,(x2+1)2=16,x无解,不成立;对于D,x2-1可能是负数,不成立.故选B.5.ACDA.因为a,b为两个不等正数,所以aba+b2=12,可得ab4,故选项B不正确;C.因为(a+b)2=a+b+2ab=1+2ab,所以由选项A可知选项C正确;D.因为a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2
11、ab,所以由选项A可知,a2+b2=1-2ab12,故选项D正确.6.C0aa+b,ba+b2ab.ba0,aba2,aba.故ba+b2aba.7.B设从A地到B地的路程为s,小W从A地到B地和从B地到A地所用的时间分别为t1,t2,则t1=sm,t2=sn,其全程的平均速度为v=2st1+t2=2ssm+sn=2mnm+n.mn0,v=2mnm+n0,nvbc,所以a-c2=(a-b)+(b-c)2(a-b)(b-c),当且仅当a-b=b-c,即2b=a+c时,等号成立.9.答案乙解析不妨设原价为1,则按方案甲提价后的价格为(1+p%)(1+q%),按方案乙提价后的价格为1+p+q2%2,
12、易知(1+p%)(1+q%)1+p%+1+q%2=1+p%+q%2,当且仅当1+p%=1+q%,即p=q时等号成立,又pq,故(1+p%)(1+q%)0,x+y+4x+1y2x4x+2y1y=4+2=6,当且仅当x=4x且y=1y,即x=2,y=1时等号成立.故选B.11.C因为x1,所以y=x+4x-1=(x-1)+4x-1+12(x-1)4x-1+1=5,当且仅当x-1=4x-1,即x=3时,等号成立.故选C.12.A-2x0,x+20,y=-x(x+2)-x+x+222=1,当且仅当-x=x+2,即x=-1时等号成立.故选A.规律总结1.利用基本不等式求最值,必须按照“一正,二定,三相等
13、”的原则,缺一不可.2.若是求和式的最小值,通常化(或利用)积为定值;若是求积的最大值,通常化(或利用)和为定值,其解答技巧是恰当变形,合理拆分,消元或配凑因式.13.Cab0,由基本不等式的变形可得b(a-b)b+a-b22=a24,a2+16b(a-b)a2+16a24=a2+64a22a264a2=16,当且仅当a-b=b,a2=64a2,即a=22,b=2时,等号成立.误区警示利用基本不等式求最值,若需多次应用基本不等式,则要注意等号成立的条件必须一致,如本题中第一次利用基本不等式取等号的条件为b=a-b,第二次利用基本不等式取等号的条件为a2=64a2,故最终的最值应该是在这两个条件
14、下共同取得的.14.Cx0,y0,x+4y=xy,4x+1y=1,x+y=(x+y)4x+1y=5+xy+4yx5+2xy4yx=9,当且仅当x=2y时,等号成立,此时x=2y,x+4y=xy,解得x=6,y=3.故选C.15.答案4解析由题意可得,1x+1y=x+yx+x+yy=2+yx+xy2+2yxxy=4,当且仅当x=y=12时等号成立.16.解析(1)1=4a+b24ab=4ab,ab14,ab116,当且仅当4a=b,即a=18,b=12时取等号,故ab的最大值为116.(2)x0,4x-2+14x-5=-5-4x+15-4x+3-2(5-4x)15-4x+3=1,当且仅当5-4x
15、=15-4x,即x=1时,等号成立,故4x-2+14x-5的最大值为1.17.证明由基本不等式得a2b2+a22a2b,a2b2+b22ab2,b2+a22ab,三式相加得2a2b2+2a2+2b22a2b+2ab2+2ab=2ab(a+b+1).所以a2b2+a2+b2ab(a+b+1).18.证明a,b,c是三个不全相等的正数,三个不等式ba+ab2,ca+ac2,cb+bc2的等号不能同时成立,则ba+ab+ca+ac+cb+bc6,ba+ca-1+cb+ab-1+ac+bc-13,即b+c-aa+a+c-bb+a+b-cc3.19.证明因为x0,所以x+120,所以x+22x+1=x+
16、1x+12=x+12+1x+12-122x+121x+12-12=32,当且仅当x+12=1x+12,即x=12时,等号成立.故x0时,x+22x+132.20.C设直角三角形两直角边长分别为x m,y m,则12xy=1,即xy=2.周长l=x+y+x2+y22xy+2xy=22+24.83(m),当且仅当x=y时等号成立.结合实际问题,可知选C.21.B设BC=x m,则CD=1 000x m,所以S矩形A1B1C1D1=(x+10)1 000x+4=1 040+4x+10 000x1 040+24x10 000x=1 440,当且仅当4x=10 000x,即x=50时,等号成立,所以当B
17、C的长度为50 m时,整个项目占地面积最小.故选B.22.解析设楼房每平方米的平均综合费用为y元.依题意得y=s+8 00010 0004 000x=50x+20 000x+3 000(x12,xN*).因为50x+20 000x+3 000250x20 000x+3 000=5 000,当且仅当50x=20 000x,即x=20时,等号成立,所以当x=20时,y取得最小值5 000.所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为20层,每平方米的平均综合费用的最小值为5 000元.能力提升练1.C由题意得,xy=122xy122x+y22=12122=18,当且仅当2x=y,即x=1
18、4,y=12时等号成立,所以xy的最大值是18.故选C.2.D易得a2+4a+b2+4b=a+b+4a+4b=1+4(a+b)ab=1+4ab.又aba+b22=14,1ab4,1+4ab17,a2+4a+b2+4b17,当且仅当a=b=12时取等号.故选D.3.Ba+b=4ab,a0,b0,等式两边同除以ab,得1a+1b=4,a+b=(a+b)141a+1b=12+14ba+ab12+142baab=12+12=1,当且仅当ba=ab,即a=b=12时取等号.故选B.4.D正数x,y满足x2+y22=1,2x2+y2=2,x1+y2=222x1+y222(2x)2+(1+y2)22=222
19、x2+y2+12=324,当且仅当2x2+y2=2,2x=1+y2,即x=32,y=22时取等号,x1+y2的最大值为324.5.答案1;12解析a2+4b2+1ab=(a-2b)2+4ab+1ab(a-2b)2+24ab1ab=(a-2b)2+4,当且仅当a-2b=0且4ab=1ab,即a=1,b=12时,等号成立,所以a=1,b=12.6.答案5解析x0,x+11,x2+3x+6x+1=(x+1)2+(x+1)+4x+1=x+1+1+4x+12(x+1)4x+1+1=5,当且仅当x+1=4x+1,即x=1时,等号成立,x2+3x+6x+1的最小值是5.7.答案23;9解析因为a+b=1,所
20、以a=1-b,因为ab0,所以0b0,故0b0,b0,所以(2a+b)1a+4b=6+ba+8ab6+2ba8ab=6+42=2(2+1)2(当且仅当b=22a时,等号成立).因为2a+b0,所以1a+4b2(2+1)22a+b.11.证明a2+b2a-b=(a-b)2+2aba-b=(a-b)2+4a-b=(a-b)+4a-b2(a-b)4a-b=4,当且仅当a=1+3,b=-1+3或a=1-3,b=-1-3时等号成立.所以a2+b2a-b4.12.证明(1)a+b=1,a0,b0,1a+1b+1ab=1a+1b+a+bab=21a+1b,1a+1b=a+ba+a+bb=2+ab+ba2+2
21、=4,当且仅当a=b=12时等号成立,1a+1b+1ab8.(2)证法一:a0,b0,a+b=1,1+1a=1+a+ba=2+ba,同理,1+1b=2+ab,1+1a1+1b=2+ba2+ab=5+2ba+ab5+4=9,当且仅当a=b=12时等号成立,1+1a1+1b9.证法二:1+1a1+1b=1+1a+1b+1ab.由(1)知,1a+1b+1ab8,故1+1a1+1b=1+1a+1b+1ab9,当且仅当a=b=12时,等号成立.13.证明(1)a+b2a2+b22,a2+b2a+b2=22(a+b)(当且仅当a=b时,等号成立).同理,b2+c222(b+c)(当且仅当b=c时,等号成立
22、),a2+c222(a+c)(当且仅当a=c时,等号成立).三式相加得a2+b2+b2+c2+a2+c222(a+b)+22(b+c)+22(a+c)=2(a+b+c)(当且仅当a=b=c时,等号成立).(2)0x0.又a0,b0,不等式左边=(x+1-x)a2x+b21-x=a2+b2+x1-xb2+1-xxa2a2+b2+2x1-xb21-xxa2=a2+b2+2ab=(a+b)2=右边当且仅当x1-xb2=1-xxa2,即x=aa+b时,等号成立.故a2x+b21-x(a+b)2.14.D由题意可得a(1+p)(1+q)=a(1+x)2,即(1+p)(1+q)=(1+x)2.易得(1+p
23、)(1+q)1+p+1+q22,当且仅当p=q时取等号,pq,(1+p)(1+q)1+p+1+q22,则1+x2+p+q2=1+p+q2,即x0) m,邻边长为y(y0) m,则矩形花园的面积为xy m2,花园是矩形,ADE与ABC相似,AFAG=DEBC,又AG=BC=40,AF=DE=x,FG=y,x+y=40.由基本不等式可得x+y2xy,则xy400,当且仅当x=y=20时,等号成立,故矩形花园的面积的最大值为400 m2.17.答案37.5解析由题意,产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足x=3-2t+1,即t=23-x-1(1x0.当x=9时,y1=k9+1=2,y2=9m=7.2,解得k=20,m=0.8,所以y1=20x+1,y2=0.8x,设两项费用之和为z(单位:万元),则z=y1+y2=20x+1+0.8x=20x+1+0.8(x+1)-0.8220x+10.8(x+1)-0.8=7.2.当且仅当20x+1=0.8(x+1),即x=4时,等号成立,所以这家公司应该把仓库建在距离车站4千米处才能使两项费用之和最少,最少费用是7.2万元.解题模板已知函数类型的应用问题,可以用待定系数法求出解析式;含分式的函数求最大(小)值,往往利用基本不等式求解,解题时要注意验证基本不等式成立的三个条件.