1、3.2.2 函数模型的应用举例（1）项目内容课题函数模型的应用举例（共 2 课时）修改与创新教学目标1.培养学生由实际问题转化为数学问题的建模能力，即根据实际问题进行信息综合列出函数解析式.2.会利用函数图象性质对函数解析式进行处理得出数学结论，并根据数学结论解决实际问题.3.通过学习函数基本模型的应用，体会实践与理论的关系，初步向学生渗透理论与实践的辩证关系.教学重、难点根据实际问题分析建立数学模型和根据实际问题拟合判断数学模型，并根据数学模型解决实际问题.教学准备教学过程第1课时 函数模型的应用实例导入新课上一节我们学习了不同的函数模型的增长差异，这一节我们进一步讨论不同函数模型的应用.提
2、出问题我市有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同.甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元.小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时.设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f(x)元(15x40)，在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g(x)元(15x40)，试求f(x)和g(x).A、B两城相距100 km，在两地之间距A城x km处D地建一核电站给A、B两城供电，为保证城市安全.核电站距城市距离不得少于10 km.已知供电费用与
3、供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数=0.25.若A城供电量为20亿度/月，B城为10亿度/月.把月供电总费用y表示成x的函数，并求定义域.分析以上实例属于那种函数模型.讨论结果：f(x)=5x(15x40).g(x)=y=5x2+(100x)2(10x90)；分别属于一次函数模型、二次函数模型、分段函数模型.例1一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示.(1)求图3-2-2-1中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；(2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km,试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间t h的函数解析式，并作出相应的图象.图3
4、-2-2-1活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导：图中横轴表示时间，纵轴表示速度，面积为路程；由于每个时间段速度不断变化，汽车里程表读数s km与时间t h的函数为分段函数.解：(1)阴影部分的面积为501+801+901+751+651=360.阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360 km.(2)根据图，有s=这个函数的图象如图3-2-2-2所示.图3-2-2-2变式训练2007深圳高三模拟，理19电信局为了满足客户不同需要，设有A、B两种优惠方案，这两种方案应付话费(元)与通话时间(分钟)之间关系如下图(图3-2-2-3)所示(其中MNCD).(1)分别
5、求出方案A、B应付话费(元)与通话时间x(分钟)的函数表达式f(x)和g(x)；(2)假如你是一位电信局推销人员，你是如何帮助客户选择A、B两种优惠方案？并说明理由.图3-2-2-3解：(1)先列出两种优惠方案所对应的函数解析式：f(x)=g(x)=(2)当f(x)=g(x)时,x-10=50,x=200.当客户通话时间为200分钟时，两种方案均可;当客户通话时间为0x200分钟，g(x)f(x),故选择方案A；当客户通话时间为x200分钟时，g(x)f(x),故选方案B.点评：在解决实际问题过程中，函数图象能够发挥很好的作用，因此，我们应当注意提高读图的能力.另外，本例题用到了分段函数，分段
6、函数是刻画现实问题的重要模型.例2人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯(T.R.Malthus,17661834)就提出了自然状态下的人口增长模型：y=y0ert,其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率.下表是19501959年我国的人口数据资料：年份1950195119521953195419551956195719581959人数万人55196563005748258796602666145662828645636599467207(1)如果以各年人口增长率的平均
7、值作为我国这一时期的人口增长率(精确到0.000 1),用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；(2)如果按表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？解：(1)设19511959年的人口增长率分别为r1,r2,r3,r9.由55196(1+r1)=56300，可得1951年的人口增长率为r10.020 0.同理,可得r20.0210，r30.0229，r40.0250，r50.0197，r60.0223，r70.0276，r80.0222，r90.0184.于是，19501959年期间，我国人口的年平均增长率为r=(r1+r2+r
8、9)90.0221.令y0=55 196，则我国在19511959年期间的人口增长模型为y=55 196e0.0221t,tN.根据表中的数据作出散点图，并作出函数y=55 196e0.0221t(tN)的图象(图3-2-2-4).图3-2-2-4由图可以看出，所得模型与19501959年的实际人口数据基本吻合.(2)将y=130000代入y=55 196e0.0221t,由计算器可得t38.76.所以，如果按表的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年(即1989年)我国的人口就已达到13亿.由此可以看到，如果不实行计划生育，而是让人口自然增长，今天我国将面临难以承受的人口压力.变式训练一
9、种放射性元素,最初的质量为500 g,按每年10%衰减.(1)求t年后,这种放射性元素质量的表达式;(2)由求出的函数表达式,求这种放射性元素的半衰期(剩留量为原来的一半所需的时间叫做半衰期).(精确到0.1.已知lg2=0.301 0,lg3=0.477 1)解：(1)最初的质量为500 g.经过1年后,=500(110%)=5000.91;经过2年后,=5000.9(110%)=5000.92;由此推知,t年后,=5000.9t.(2)解方程5000.9t=250,则0.9t=0.5,所以t=6.6(年),即这种放射性元素的半衰期约为6.6年.知能训练某电器公司生产A型电脑.1993年这种
10、电脑每台平均生产成本为5 000元,并以纯利润20%确定出厂价.从1994年开始,公司通过更新设备和加强管理,使生产成本逐年降低.到1997年,尽管A型电脑出厂价仅是1993年出厂价的80%,但却实现了50%纯利润的高效益.(1)求1997年每台A型电脑的生产成本;(2)以1993年的生产成本为基数,求1993年至1997年生产成本平均每年降低的百分数.(精确到0.01,以下数据可供参考:=2.236,=2.449)活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导.出厂价=单位商品的成本+单位商品的利润.解：(1)设1997年每台电脑的生产成本为x元,依题意,得x(1+50%)=50
11、00(1+20%)80%,解得x=3200(元).(2)设1993年至1997年间每年平均生产成本降低的百分率为y,则依题意,得5000(1y)4=3200,解得y1=1,y2=1+(舍去).所以y=10.11=11%,即1997年每台电脑的生产成本为3 200元,1993年至1997年生产成本平均每年降低11%.课堂小结本节重点学习了函数模型的实例应用，包括一次函数模型、二次函数模型、分段函数模型等；另外还应关注函数方程不等式之间的相互关系.活动：学生先思考或讨论，再回答.教师提示、点拨，及时评价.引导方法：从基本知识和基本技能两方面来总结.作业课本P107习题3.2A组5、6.板书设计教学反思
