1、天津市滨海新区塘沽第一中学2020-2021学年高一数学下学期第一次月考试题（含解析）一选择题（共12小题）1. 下列说法中正确的是（ ）A. 若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B. 模相等的两个平行向量是相等向量C. 若和都是单位向量，则D. 零向量与其它向量都共线D分析：利用相等向量的定义可判断AC选项的正误；利用相等向量和相反向量的定义可判断B选项的正误；利用零向量与任意向量共线这一性质可判断D选项的正误.解答：对于A选项，因为向量是可以移动的，两个向量相等时，它们的起点和终点不一定重合，A选项错误；对于B选项，模相等的两个平行向量，可以是相等向量，也可以是相反向量，B选项错误；
2、对于C选项，和都是单位向量，但它们的方向不一定相同，故和不一定相等，C选项错误；对于D选项，零向量方向是任意的，零向量与其它向量都共线，D选项正确.故选：D.2. 中，则等于（ ）A. B. C. D. C分析：根据向量的线性运算可得选项解答：，故选：C.3. 若复数的实部与虚部之和为零，则的值为（ ）A. 2B. C. D. A分析：由复数的实部与虚部之和为零，得，求解即可得答案解答：由复数的实部与虚部之和为零，得，即故选：A点拨：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题4. 的内角，的对边分别为，若，则（ ）A. B. C. D. A分析：直接利用正弦定理求解即可.
3、解答：因为，所以由正弦定理可得，则，故选：A.5. 已知向量，.若，则（ ）A. B. 1C. D. 4B分析：由数量积公式计算可得结果.解答：因为所以，则解得故选：B6. 平面向量与的夹角为60，(2，0)，|1，则等于（ ）A. B. 2C. 4D. 12B分析：把平方后再开方即可.解答：因为所以所以故选：B.7. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则角B的大小是（ ）A. 45B. 60C. 90D. 135A分析：由利用余弦定理可得，结合范围，即可得的值解答：中，可得：，由余弦定理可得：，故选：A.8. 在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若，则=（）A. B. C. D
4、. A解答：因为矩形ABCD中，O是对角线的交点，若,即,故选A.9. 在中，是，所对的边，已知，则的形状是（ ）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形B分析：由正弦定理得，化简得,即得解.解答：由正弦定理得，所以，所以,因为,所以.所以三角形是等腰三角形.故选：B点拨：本题主要考查正弦定理的应用，考查差角的正弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10. 向量的模为10，它与向量的夹角为，则它在方向上的投影为（ ）A. 5B. C. D. B分析：根据投影的定义求解解答：由题意所求投影的模为故选：B11. 中，角、所对的边分别是、，若，则
5、（ ）A. B. C. D. 3D分析：用余弦定理列出关于的方程，解方程可得解答：由已知，即，解得故选：D12. 设为所在平面内一点，则（ ）A. B. C. D. B分析：由已知可得出，利用平面向量数量积运算性质可求得的值.解答：，则，因此，.故选：B.二填空题（共6小题）13. 若复数为纯虚数，则实数的值为_1分析：由纯虚数的概念得实部为0，且虚部非0，可解得.解答：因为复数为纯虚数，所以解得.故答案为：1.14. 已知中，角，的对边分别为，若，且，则_分析：直接由正弦定理以及已知条件即可求得结论解答：，所以；则又因为，所以，所以角一定是锐角，因此故答案为：15. 已知向量，且，那么_，实
6、数的值为_ (1). (2). 分析：由向量的模长公式可得，根据可得方程，可解得.解答：向量， 由，可得，解得故答案为：（1） （2）16. 已知甲、乙两船同时从处出发，甲沿北偏东的方向航行，乙沿正东方向航行至处，然后沿一新航向继续航行，与甲在处相遇，此时甲航行了60海里，乙由至航行了50海里，则的大小是_.（精确到小数点后一位）55.7海里分析：由题意，在中，利用余弦定理求解.解答：如图所示：中，由余弦定理得，所以故答案为：55.7海里17. 如图，在中，为上一点，且满足，_ ；若的面积为，则的最小值为_ (1). (2). 分析：设，可得出，可得出关于、的方程组，即可解得实数的值；利用三角
7、形的面积公式得出，利用平面向量数量积的运算性质结合基本不等式可求得的最小值.解答：设，则，所以，解得.，当且仅当时，即当时，等号成立.所以，的最小值为.故答案为：；.点拨：方法点睛：求向量的模的两种基本策略：（1）字母表示下的运算：利用，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题；（2）坐标表示下的运算：若，则，于是有.18. 在中，分别为内角，的对边，为的外心，且有，若，则_或分析：由边角互化可得,所以，即，联立解得，或.分两种情况将两边分别同乘以向量得方程组，解得结果.解答：由正弦定理得，所以，即，由条件得，联立解得，或.当时，由，得，即，所以. 同理，由，得，即，即，所以. 联立解得.
8、 故. 当时，同理可得，解得.故答案为：或.点拨：（1）三角形中的边角关系为条件时，常用正余弦定理统一化边或化角；（2）若为的外心，则有，；（3）此题的关键是找出三边关系和将向量转化为边长，得的关系式.三解答题（共2小题）19. 已知向量与的夹角为，且，.（1）若与共线，求k；（2）求，；（3）求与的夹角的余弦值（1）；（2），；（3）.分析：（1）利用向量共线定理即可求解.（2）利用向量数量积的定义：可得数量积，再将平方可求模.（3）利用向量数量积即可夹角余弦值.解答：（1）若与共线，则存在，使得 即，又因为向量与不共线，所以，解得，所以.（2）， ，（3）.20. 中，内角、所对的边分别为
9、、若，且点M满足（1）求角；（2）求的长（1）；（2）.分析：（1）利用正弦定理边角互化、诱导公式化简可求得的值，结合角的取值范围可得出角的值；（2）利用余弦定理计算出的值，由已知条件得出，利用平面向量数量积的运算性质可求得的长解答：（1），由正弦定理可得，可得，；（2），则，则，由余弦定理可得，整理得，解得，.点拨：方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.