1、20192020学年度第一学期期末调研考试高二数学试题注意事项:1.本试卷满分150分,考试时间120分钟.2.答卷前,考生务必将自己的姓名学号学校考试科目填写清楚.3.参考公式:最小二乘法求线性回归方程系数公式:,回归直线方程.一选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.设命题:,则为( )A. ,B. ,C. D. ,【答案】C【解析】【分析】根据含有一个量词的命题的否定，写出，从而得到答案.【详解】因为命题:，所以，故选：C.【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，属于简单题.2.若复数满足,则( )A. B. C. 1
2、D. 2【答案】D【解析】【分析】对复数进行计算化简，得到答案.【详解】所以故选：D.【点睛】本题考查复数的综合运算，属于简单题.3.已知抛物线的焦点为，是上一点，则（ ）A. 4B. 2C. 1D. 8【答案】C【解析】点A到抛物线的准线：的距离为：，利用抛物线的定义可得：，求解关于实数的方程可得：.本题选择C选项.【此处有视频，请去附件查看】4.一正方体的棱长为2,且每个顶点都在球的表面上,则球的半径为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据正方体的棱长，求出其外接球的直径再得到其半径.【详解】因为正方体的棱长为2，且每个顶点都在球的表面上，所以得到其外接球的直径为，所
3、以球的半径为.故选：A.【点睛】本题考查求正方体的外接球的半径，属于简单题.5.甲乙两人去某公司面试,二人各自等可能地从两个问题中选择1个回答,则他们都选择到题的概率为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意列出所有的情况，然后得到符合要求的情况，根据古典概型公式，得到答案.【详解】由题意，甲、乙选择的问题，共有，四种情况，其中都选到题的情况只有种，即，根据古典概型公式，得到概率为.故选：D.【点睛】本题考查求古典概型的概率，属于简单题.6.设双曲线的左右焦点分别为,若双曲线上存在一点,使,且,则双曲线的离心率为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根
4、据双曲线的定义，结合，得到和，然后根据勾股定理，得到的关系，从而得到双曲线的离心率.【详解】因为点在双曲线上，且，所以，所以，因为，所以即，整理得，所以离心率.故选：C.【点睛】本题考查双曲线的定义，根据几何关系求双曲线的离心率，属于简单题.7.设函数在点处的切线为,则在轴上的截距为( )A. 1B. 2C. D. 【答案】A【解析】【分析】求导得到，代入，得到切线斜率，结合切点，得到切线方程，从而得到其在轴上的截距.【详解】因为函数，所以，代入，得，而，所以在处的切线的方程为：，整理得，令，得所以与轴的截距为.故选：A.【点睛】本题考查根据导数几何意义求在一点的切线，属于简单题.8.已知:指
5、数函数在上单调递减,:,若是的必要不充分条件,则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意得到命题中的范围，根据是的必要不充分条件，得到关于的不等式组，得到的范围.【详解】因为命题:指数函数在上单调递减，所以，即，命题:，因为是的必要不充分条件所以，解得所以的范围为.故选：B.【点睛】本题考查根据指数函数的单调性求参数范围，根据必要不充分条件求参数的范围，属于简单题.9.如图,在正方体中,对于以下三个命题:直线与直线所成角的大小为;直线与平面所成角大小为;直线与平面所成角大小为.其中真命题的个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分
6、析】根据异面直线所成的角，线面角对三个命题进行判断，从而得到答案.【详解】在正方体中，且，所以为平行四边形，所以所以直线与直线所成角等于直线与直线所成角，即，而是正方体的面对角线，所以相等，所以为等边三角形，故，故正确.在正方体中，平面，所以直线与平面所成角为，故错误.连接交于，则，在正方体中，平面，所以，平面，所以平面，所以为直线与平面所成角，在直角三角形中，所以所以直线与平面所成角大小为.故正确.故选：C.【点睛】本题考查求异面直线所成的角，求直线与平面所成的角，属于中档题.10.已知函数在其定义域内的子区间上不单调,则实数的取值范围为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析
7、】对求导得到，然后利用导数得到的单调区间，根据在上不单调，从而得到关于的不等式，得到答案.【详解】因为所以令，即，解得或（舍）所以时，单调递减，时，单调递增，而在区间上不单调，所以解得，因为是函数定义域内的子区间，所以，即，所以的范围为.故选：D.【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，根据函数的单调性求参数的范围，属于中档题.11.若关于的方程有且只有两个不同的实数根,则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】方程转化为由且只有两个不同的实数根，看成与有且只有两个不同的交点，即过的直线与以为圆心，为半径的半圆有且只有两个交点，从而得到斜率的范围.【详解】方程
8、有且只有两个不同的实数根，得有且只有两个不同的实数根，即与有且只有两个不同的交点，即过的直线与以为圆心，为半径的半圆有且只有两个交点，当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离为即，解得，当直线过时，斜率为，所以的取值范围为.故选：D.【点睛】本题考查根据直线与圆相切求斜率的值，函数与方程，属于中档题.12.已知中心在原点,焦点在轴上的椭圆与双曲线有公共焦点,左右焦点分别为,且两条曲线在第一象限的交点为,是以为底边的等腰三角形,若,椭圆与双曲线的离心率分别为,则的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设椭圆和双曲线的半焦距为，由条件可得，再由椭圆和双曲线的定义可得，运用三
9、角形三边关系，求得的范围，再由离心率公式，计算即可得到所求范围.【详解】设椭圆和双曲线的半焦距为，是以为底边的等腰三角形，若，则，由椭圆的定义可得，由双曲线的定义可得，即有，根据三角形三边关系可得，即，所以，根据离心率公式可得，因为，所以，则有，所以的取值范围为.故选：B.【点睛】本题考查椭圆和双曲线的定义，考查离心率的求法，三角形的三边关系，属于中档题.二填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把最简答案填在答题卡的横线上)13.已知是函数的极值点,则实数的值为_.【答案】2【解析】【分析】对求导，得到，根据是函数极值点，从而得到，得到值.【详解】函数，所以，因为是的极值点，所以，即
10、所以.故答案为：2.【点睛】本题考查根据函数的极值点求参数的值，属于简单题.14.已知正方体的棱长为2,则点到平面的距离为_.【答案】【解析】【分析】连接交于，通过线面垂直的判定，得到平面，根据正方体的棱长，得到点到平面的距离.【详解】连接交于，因为正方体，所以面为正方形，所以，在正方体中，平面，而平面，所以平面，所以平面，所以为点到平面的距离，又因为正方体的棱长为，所以到平面的距离为.故答案为：.【点睛】本题考查线面垂直的判定，求点到平面的距离，属于简单题.15.已知椭圆:,点是椭圆上的一个动点,满足(为坐标原点,为椭圆的右焦点),则点的横坐标的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】设点，根
11、据，得到的关系，代入椭圆方程，得到关于的不等式，解得的范围，结合椭圆上点的横坐标范围，得到答案.【详解】椭圆:，为椭圆的右焦点，所以设点，所以，由，得又因在椭圆:上，所以，所以，解得，因为因在椭圆:上，所以，所以点的横坐标的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示，椭圆上点的范围，属于中档题.16.已知函数,若对任意都存在使成立,则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】根据题意，得到，从而转化为存在，使，判断出，从而分离出，利用导数得到在的范围，再得到关于的不等式，解得的范围.【详解】对任意都存在使成立，所以得到，而，所以，即存在，使，此时，所以，因此将问题转化为存在
12、，使成立，设，则，当，单调递增，所以，即，所以，所以实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查根据不等式的恒成立和存在性问题，利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题.三解答题(解答应写出文字说明证明过程或演算步骤)17.有人收集了七月份的日平均气温(摄氏度)与某冷饮店日销售额(百元)的有关数据,为分析其关系,该店做了五次统计,所得数据如下:日平均气温(摄氏度)3132333435日销售额(百元)567810由资料可知,与成线性相关关系.(1)求出关于的线性回归方程;(2)根据所求回归直线方程预测日平均气温为38摄氏度时该冷饮店的日销售情况.【答案】（1）.（2）1320元.【解析】【分
13、析】（1）根据表中数据得到和，再计算出和，从而得到线性回归方程；（2）代入到回归方程，得到该冷饮店的日销售额.【详解】解:(1)由表中数据得:， ，所以.，.(2)将代入回归方程，得，故预测日平均气温为38摄氏度时该冷饮店的销售额为1320元.【点睛】本题考查求线性回归方程，根据线性回归方程进行估计，属于简单题.18.已知圆的圆心在轴上,在轴上截得的弦长为6,且过点.(1)求圆的方程;(2)过做两条与圆相切的直线,切点分别为,求直线的方程.【答案】（1）.（2）.【解析】【分析】（1）设圆心，根据几何关系得到的方程，从而得到圆心坐标，再求出，得到半径，从而得到圆方程；（2）过点的直线为圆的切线
14、，得到点坐标，根据几何关系，得到的斜率，从而得到直线的方程.【详解】解:(1)设圆心，因为圆心到轴的距离为，圆在轴上截得弦长为6，由几何关系得，解得，圆心，半径，所以圆的方程为.(2)由已知得过点的直线为圆的切线，易得切点，因为，所以，由几何关系知，即所以得，由点斜式得直线方程为，即.【点睛】本题考查根据圆的弦长求圆的方程，过圆外一点求切线方程，属于简单题.19.河北省高考改革后高中学生实施选课走班制,若某校学生选择物理学科的人数为800人,高二期中测试后,由学生的物理成绩,调研选课走班制学生的学习情况及效果,为此决定从这800人中抽取人,其频率分布情况如下:分数频数频率80.08180.18
15、200.20.2415100.1050.05合计1(1)计算表格中,的值;(2)为了了解成绩在,分数段学生的情况,先决定利用分层抽样的方法从这两个分数段中抽取6人,再从这6人中随机抽取2人进行面谈,求2人来自不同分数段的概率.【答案】（1）,.（2）.【解析】【分析】（1）根据频率的定义，求出，再根据分数段的频率得到，根据分数段的频数得到；（2）根据，分数段学生的人数，利用分层抽样，得到所抽取的人数，列出从其中抽取人的情况，根据古典概型的概率公式，得到答案.【详解】解:(1)因为分数段的频数为，频率为，所以，分数段的频率为所以，分数段的频数为，所以.(2)，分数段学生的分别为20人，10人，用
16、分层抽样的方法抽取6人，则分数段抽取学生为4人，记为，；分数段抽取学生为2人，记为，.从这6人中随机抽取2人，所有可能的结果共有15种，它们是，.又因为所抽取2人来自不同分数段的结果有8种，即，故所求的概率为.【点睛】本题考查补全频率分布表，分层抽样的特点，古典概型求概率，属于简单题.20.如图在四棱锥中,底面为矩形,平面平面,为等腰直角三角形,且,为底面的中心.(1)求异面直线与所成角的余弦值;(2)若为中点,在棱上,若,且二面角的正弦值为,求实数的值.【答案】（1）.（2）.【解析】【分析】（1）根据面面，得到面，以为原点建立空间直角坐标系，得到，的坐标，根据向量夹角公式，得到异面直线与所
17、成角的余弦值；（2）设，从而得到点坐标，结合（1）取平面的法向量，求出平面的法向量为，通过法向量表示出二面角的余弦值，根据其正弦值为，列出关于的方程，求出的值.【详解】（1）为等腰直角三角形，面面， 面面，面面，底面为矩形， 所以，三条线两两垂直.以为原点，分别为，轴建立空间直角坐标系，知，所以异面直线与所成角的余弦值为.（2）结合（1）知，面，取平面的法向量.，设平面的法向量为，又，即，令，得，又因为二面角的正弦值为，所以，而，即，解得.【点睛】本题考查空间向量求异面直线所成的夹角，根据二面角求参数的值，属于中档题.21.已知函数,.(1)讨论函数的单调性;(2)若不等式在上恒成立,求实数的
18、取值范围.【答案】（1）时，函数在单调递增，无减区间；时，函数在单调递增，在单调递减.（2）【解析】【分析】（1）对求导得到，分和进行讨论，判断出的正负，从而得到的单调性；（2）设函数，分和进行讨论，根据的单调性和零点，得到答案.【详解】解:（1）函数定义域是，当时，函数在单调递增，无减区间；当时，令，得到，即，所以，单调递增，单调递减，综上所述，时，函数在单调递增，无减区间；时，函数在单调递增，在单调递减.（2）由已知在恒成立，令，可得，则，所以在递增，所以，当时，在递增，所以成立，符合题意.当时，当时，使，即时，在递减，不符合题意.综上得.【点睛】本题考查利用导数讨论函数的单调性，根据导数
19、解决不等式恒成立问题，属于中档题.22.设,分别为椭圆:的左右焦点,已知椭圆上的点到焦点,的距离之和为4.(1)求椭圆的方程;(2)过点作直线交椭圆于,两点,线段的中点为,连结并延长交椭圆于点(为坐标原点),若,等比数列,求线段的方程.【答案】（1）.（2）.【解析】【分析】（1）根据椭圆定义，代入点，得到和，从而得到椭圆方程；（2）根据（1）得到，根据题意得到，当直线斜率不存在时，说明不成立，当直线斜率存在，设为，与椭圆联立得到，再得到点坐标，求出方程，得到，利用弦长公式，得到，从而得到关于的方程，解得值，得到的方程.【详解】解:（1）因为椭圆上的点到焦点，的距离之和为4所以，即，将点代入椭圆方程得，得，故椭圆方程为.（2）因为，所以焦点的坐标分别为和，因为，成等比数列，所以.当直线斜率不存在时，则所求方程为，.显然不符合题意.当直线斜率存在，并设直线方程为，代入得，设，则，所以，即点坐标为，所以可得直线方程为:，代入椭圆方程解得，故，又因为，代入，得，解得，故直线的方程为.【点睛】本题考查求椭圆方程，直线与椭圆的交点，弦长公式，属于中档题.
