1、坐标系与参数方程选修4-4高考概览1.理解坐标系的作用，了解平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况；2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置；3.理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化；4.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程；5.了解参数方程，了解参数的意义能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.吃透教材 夯双基 填一填 记一记 厚积薄发知识梳理1极坐标与直角坐标(1)极坐标系：在平面内取一个定点 O，叫做，自极点 O 引一条射线 Ox，叫做；再选定一个长度单位、一个角
2、度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，就建立了极坐标系(2)点的极坐标：对于极坐标系所在平面内的任一点 M，若设|OM|(0)，以极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的角为，则点 M 可用有序数对表示极点极轴(，)(3)极坐标与直角坐标的互化公式：在平面直角坐标系 xOy中，以 O 为极点，射线 Ox 的正方向为极轴，取相同的长度单位，建立极坐标系设点 P 的直角坐标为(x，y)，它的极坐标为(，)，则相互转化公式为xcos，ysin，2x2y2，tanyxx0.2常用简单曲线的极坐标方程3.参数方程的概念在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x、y 都是某个变数 t
3、的函数xftygt(*)，如果对于 t 的每一个允许值，由方程组(*)所确定的点 M(x，y)都在这条曲线上，那么方程组(*)就叫做这条曲线的，变数 t 叫做参数参数方程4直线、圆、椭圆的参数方程小题速练1在极坐标系中，圆 2sin 的圆心的极坐标是()A.1，2B.1，2C(1,0)D(1，)解析 2sin 化成直角坐标方程为 x2y22y，即 x2(y1)21，圆心(0，1)的极坐标为1，2.故选 B.答案 B2若直线 l 的参数方程为x13t，y24t，(t 为参数)，则直线 l的倾斜角的余弦值为()A.45 B45 C.35 D35解析 由x13t，y24t(t 为参数)得直线方程为
4、4x3y100，且斜率为 k43，令直线 l 的倾斜角为，则 tan43，所以 cos35.答案 D3在极坐标系中，过点(1,0)且与极轴垂直的直线方程是()AcosBsinCcos1 Dsin1解析 由过点(1,0)与 x 轴垂直的直线方程为 x1 可知，过点(1,0)且与极轴垂直的直线方程为 cos1，选 C.答案 C4设平面上的伸缩变换的坐标表达式为x12x，y3y，则在这一坐标变换下正弦曲线 ysinx 的方程变为_解析 由x12x，y3y，得x2xy13y，代入 ysinx，得13ysin2x，故变换后的方程为 y3sin2x.答案 y3sin2x5(2015北京卷)在极坐标系中，点
5、2，3 到直线(cos 3sin)6 的距离为_解析 点2，3 的直角坐标为(1，3)，直线(cos 3sin)6 的直角坐标方程为 x 3y60，所以点(1，3)到直线的距离 d|1 3 36|131.答案 1考点突破 提能力 研一研 练一练 考点通关考点一 极坐标方程与直角坐标方程的互化热考点(2017全国卷)在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1 的极坐标方程为 cos4.(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|OP|16，求点 P 的轨迹 C2 的直角坐标方程；(2)设点 A 的极坐标为2，3，点 B 在曲线 C2 上
6、，求OAB面积的最大值解(1)设 P 的极坐标为(，)(0)，M 的极坐标为(1，)(10)由题设知|OP|，|OM|1 4cos.由|OM|OP|16 得 C2 的极坐标方程 4cos(0)因此 C2 的直角坐标方程为(x2)2y24(x0)(2)设点 B 的极坐标为(B，)(B0)，由题设知|OA|2，B4cos，于是OAB 面积S12|OA|BsinAOB4cossin34cossin32|cossin 3cos2|212sin2 3cos22 322sin23 32 2 3.当 12时，S 取得最大值 2 3.所以OAB 面积的最大值为 2 3.极坐标方程与直角坐标方程互化技巧(1)巧
7、用极坐标方程两边同乘以 或同时平方技巧，将极坐标方程构造成含有 cos，sin，2 的形式，然后利用公式代入化简得到直角坐标方程(2)巧借两角和差公式，转化 sin()或 cos()的结构形式，进而利用互化公式得到直角坐标方程(3)将直角坐标方程中的 x 转化为 cos，将 y 换成 sin，即可得到其极坐标方程跟踪演练1(2017北京卷)在极坐标系中，点 A 在圆 22cos4sin40 上，设 P 的坐标为(1,0)，则|AP|的最小值为_解析 将圆的极坐标方程化为直角坐标方程为 x2y22x4y40，即(x1)2(y2)21，圆心为(1,2)，半径 r1.因为点 P(1,0)到圆心的距离
8、 d 11202221，所以点 P在圆外，所以|AP|的最小值为 dr211.答案 12(2017天津卷)在极坐标系中，直线 4cos6 10 与圆 2sin 的公共点的个数为_解析 依题意，得 432 cos12sin 10，即 2 3cos2sin10，所以直线的直角坐标方程为 2 3x2y10.由 2sin，得 22sin，所以圆的直角坐标方程为 x2y22y，即 x2(y1)21，其圆心(0,1)到直线 2 3x2y10 的距离 d341，则直线与圆的公共点的个数是 2.答案 2考点二 参数方程与普通方程的互化热考点(2017全国卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数 方 程
9、为x3cos，ysin，(为 参 数)，直 线 l 的 参 数 方 程 为xa4t，y1t，(t 为参数)(1)若 a1，求 C 与 l 的交点坐标；(2)若 C 上的点到 l 距离的最大值为 17，求 a.解(1)曲线 C 的普通方程为x29y21.当 a1 时，直线 l 的普通方程为 x4y30，由x4y30，x29y21解得x3，y0或x2125，y2425.从而 C 与 l 的交点坐标为(3,0)，2125，2425.(2)直线 l 的普通方程为 x4ya40，故 C 上的点(3cos，sin)到 l 的距离为 d|3cos4sina4|17.当 a4 时，d 的最大值为a917 .由
10、题设知a917 17，所以 a8；当 a4 时，d 的最大值为a117.由题设得a117 17，所以 a16.综上，a8 或 a16.参数方程与普通方程互化技巧(1)将参数方程中的参数消去便可得到曲线的普通方程，消去参数时常用的方法是代入法，有时也可根据参数的特征，通过对参数方程的加、减、乘、除、乘方等运算消去参数，消参时要注意参数的取值范围对普通方程中点的坐标的影响(2)普通方程转化为参数方程时，选取不同含义的参数时可能得到不同的参数方程跟踪演练(2017江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为 x8t，yt2(t 为参数)，曲线 C 的参数方程为x2s2，y2 2s
11、(s 为参数)设 P 为曲线 C 上的动点，求点 P 到直线 l 的距离的最小值解 直线 l 的普通方程为 x2y80.因为点 P 在曲线 C 上，设 P(2s2,2 2s)，从而点 P 到直线 l 的距离d|2s24 2s8|1222 2s 2245.当 s 2时，dmin4 55.因此当点 P 的坐标为(4,4)，曲线 C 上点 P 到直线 l 的距离取到最小值4 55.考点三 极坐标、参数方程的综合应用热考点(2017全国卷)在直角坐标系 xOy 中，直线 l1 的参数 方 程 为x2t，ykt，(t 为 参 数)，直 线 l2 的 参 数 方 程 为x2m，ymk，(m 为参数)设 l
12、1 与 l2 的交点为 P，当 k 变化时，P 的轨迹为曲线 C.(1)写出 C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：(cossin)20，M 为 l3 与 C 的交点，求 M 的极径解(1)消去参数 t 得 l1 的普通方程 l1：yk(x2)；消去参数 m 得 l2 的普通方程 l2：y1k(x2)设 P(x，y)，由题设得ykx2，y1kx2.消去 k 得 x2y24(y0)所以 C 的普通方程为 x2y24(y0)(2)C 的极坐标方程为 2(cos2sin2)4(00，故可设 t1，t2 是上述方程的两实数根，所以 t1t23 2，t1t24.
13、又直线 l 过点 P(3，5)，A，B 两点对应的参数分别为 t1，t2，所以|PA|PB|t1|t2|t1t23 2.(1)直线的参数方程中，参数 t 的系数的平方和为 1 时，t 才有几何意义，其几何意义为：|t|是直线上任一点 M(x，y)到 M0(x0，y0)的距离，即|M0M|t|.(2)对于非标准形式的直线参数方程，应先化为标准形式后才能利用参数的几何意义解题感悟体验过点 P(1,0)的直线 l 的参数方程为xt1，y2t(t 为参数)，l与曲线 C：x2y29 交于 A，B 两点，求|PA|PB|.解 设 t 5t，把xt1，y2t(t 为参数)，化为标准形式 x1t5，y2t5(t 为参数)，代入 x2y29，得 t22t5 80，所以|PA|PB|t1t2|8.