1、三角函数 解三角形第四章第八节解三角形应用举例高考概览能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.吃透教材 夯双基 填一填 记一记 厚积薄发知识梳理1实际问题中的常用角(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线的角叫仰角，在水平线的角叫俯角(如图)上方下方(2)方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为(如图)(3)方向角相对于某一正方向的水平角北偏东，即由指北方向顺时针旋转 到达目标方向(如图)；南偏西等同上方向角类似(4)坡角与坡度坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图，角 为坡角)；坡度：坡面的铅直高度与水平长度之
2、比(如图，i 为坡度)坡度又称为坡比2求三角形中实际问题的 4 步(1)审题：分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等(2)画图：根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出(3)建模求解：将所求题的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识建立函数模型(或三角函数模型)(4)检验：检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案若求最值需注意自变量的范围小题速练1下列说法正确的是()A方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系B从 A 处望 B 处的仰角为，从 B 处望
3、 A 处的俯角为，则，的关系为 180C若点 P 在 Q 的北偏东 44，则 Q 在 P 的东偏北 46D如果在测量中，某渠道斜坡坡比为34，设 为坡角，那么cos34.答案 A2.在某次测量中，在 A 处测得同一半平面方向的 B 点的仰角是 60，C 点的俯角是 70，则BAC 等于()A10B50C120D130解析 由已知BAD60，CAD70，BAC6070130.答案 D3一船自西向东匀速航行，上午 10 时到达一座灯塔 P 的南偏西 75距塔 68 海里的 M 处，下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处，则这只船的航行速度为()A.17 62海里/小时B34 6 海里/小时C
4、.17 22海里/小时D34 2 海里/小时解析 如图所示，在PMN 中，PMsin45 MNsin120，MN68 3234 6，vMN4 1726(海里/小时)故选 A.答案 A4.如图，某城市的电视发射塔 CD 建在市郊的小山上，小山的高 BC 为 35 米，在地面上有一点 A，测得 A，C 间的距离为 91米，从 A 观测电视发射塔 CD 的视角(CAD)为 45，则这座电视发射塔的高度 CD 为_米解析 AB 91235284，tanCABBCAB3584 512.由CD3584tan(45CAB)1 5121 512177，得 CD169.答案 169考点突破 提能力 研一研 练一
5、练 考点通关考点一 测量距离问题偶考点(2016四川绵阳南山中学月考)如图，为对某失事客轮 AB 进行有效援助，现分别在河岸 MN 选择两处 C、D 用强光柱进行辅助照明，其中 A、B、C、D 在同一平面内现测得 CD长为 100 米，ADN105，BDM30，ACN45，BCM60.(1)求BCD 的面积；(2)求船 AB 的长思路引导(1)求角CBD 求边BC，BD 利用面积公式求解(2)解ACD，求AD 解BCD，求BD 解ABD，求AB解(1)由题意，BDM30，BCM60，得CBD30，所以 BCCD100，所以 SBCD12CBCDsinBCD12100100sin1202500
6、3平方米(2)由题意，ADC75，ACD45，BDA45，在ACD 中，CDsinCADADsinACD，即 100sin60 ADsin45，所以 AD10036，在BCD 中，BD BC2CD22BCCDcosBCD 100210022100100cos120100 3，在ABD 中，AB AD2BD22ADBDcosBDA10036 2100 32210036100 3cos45100315.即船长为100315米解三角形应用题的常见情况及方法这类问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解如果经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，
7、这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解跟踪演练(2017山西三区八校二模)为了竖一块广告牌，要制造一个三角形支架，如图，要求ACB60，BC 的长度大于 1 米，且 AC比 AB 长 0.5 米为了稳固广告牌，要求 AC 越短越好，则 AC 最短为()A.1 32 米B2 米C(1 3)米D(2 3)米解析 由题意设 BCx(x1)米，ACt(t0)米，依题意得 ABAC0.5(t0.5)(米)在 ABC 中，由 余 弦 定 理 得，AB2 AC2 BC2 2ACBCcos60，即(t0.5)
8、2t2x2tx，化简并整理得 tx20.25x1 x10.75x12(x1)因为 x1，所以 tx10.75x122 3(当且仅当 x132 时取等号)，故 AC 最短为(2 3)米，应选 D.答案 D考点二 测量高度问题常考点(2015湖北卷)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30的方向上，行驶 600 m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北 75的方向上，仰角为 30，则此山的高度 CD_m.思路引导由已知条件求ACB 在ABC中，利用余弦定理求BC 在RtBCD中求CD解析 由题意，在ABC 中，BAC30，ABC18075105，
9、故ACB45.又 AB600 m，故由正弦定理得 600sin45 BCsin30，解得 BC300 2 m在 RtBCD 中，CDBCtan30300 2 33 100 6(m)答案 100 6处理高度问题的注意点(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(视线在水平线上方、下方的角分别称为仰角、俯角)是一个关键(2)高度问题一般是把它转化成三角形的问题，要注意三角形中的边角关系的应用，本题涉及空间问题，要注意空间图形和平面图形的结合跟踪演练如图，为测量山高 MN，选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点，从 A 点测得 M 点的仰角MAN60，C 点的仰角CAB45以及MAC75；从
10、 C 点测得MCA60.已知山高 BC100 m，则山高 MN_m.解析 在 RtABC 中，CAB45，BC100 m，所以 AC100 2(m)在AMC 中，MAC75，MCA60，从而AMC45，由正弦定理，得 ACsin45 AMsin60，因此 AM100 3(m)在 RtMNA 中，AM100 3 m，MAN60，由MNAMsin60，得 MN100 3 32 150(m)答案 150考点三 测量角度问题冷考点 如图，在海岸 A 处发现北偏东 45方向，距 A 处(31)海里的 B 处有一艘走私船在 A 处北偏西 75方向，距 A 处2 海里的 C 处的我方缉私船奉命以 10 3
11、海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以 10 海里/小时的速度，从 B 处向北偏东 30方向逃窜问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间思路引导 设行驶时间为t 在ABC中，余弦定理求出BC 求出CBD 在BCD中，正弦定理求BCD 利用BCD中BDBC，求出t解 设缉私船应沿 CD 方向行驶 t 小时，才能最快截获(在 D点)走私船，则 CD10 3t 海里，BD10t 海里，在ABC 中，由余弦定理，有 BC2AB2AC22ABACcos A(31)2222(31)2cos 1206.BC 6 海里又 BCsin AACsinABC，sinABCACsin ABC2s
12、in 1206 22，ABC45，B 点在 C 点的正东方向上，CBD9030120，在BCD 中，由正弦定理，得BDsinBCDCDsinCBD，sinBCDBDsinCBDCD10tsin 12010 3t12.BCD30，缉私船沿北偏东 60的方向行驶又在BCD 中，CBD120，BCD30，D30，BDBC，即 10t 6.t 610小时15 分钟缉私船应沿北偏东 60的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要 15 分钟解决测量角度问题的注意点(1)首先应明确方位角或方向角的含义(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步(3)将实际问题转化为可
13、用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用跟踪演练(2017广东佛山二模)某沿海四个城市 A，B，C，D 的位置如图所示，其中ABC60，BCD135，AB80 n mile，BC(4030 3)n mile，CD250 6 n mile，D 位于 A 的北偏东 75方向现在有一艘轮船从城市 A 出发以 50 n mile/h 的速度向城市D 直线航行，60 min 后，轮船由于天气原因收到指令改向城市 C直线航行，收到指令时城市 C 对于轮船的方位角是南偏西，则sin_.解析 设轮船行驶至 F 时收到指令，则 AF50 n mile.连接AC，CF，过 A 作 AEBC 于 E，则 AEABsin6040 3(n mile)，BEABcos6040(n mile)，CEBCBE30 3(n mile)，ACAE2CE250 3(n mile)，所以 cosACE35，sinACE45，所以 cosACDcos(135ACE)22 35 22 45 210ACCD，所以CAD90.因为 AF50 n mile，AC50 3 n mile，可得AFC60，所以 75AFC15，故 sin 6 24.答案 6 24