1、双曲线的简单几何性质（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.设双曲线+=1的渐近线方程为3x2y=0,则a的值为()A.-4B.-3C.2D.12.(2013昆明高二检测)设P是双曲线-=1上一点,双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,若|PF1|=5,则|PF2|=()A.1或5B.1或9C.1D.93.(2012福建高考)已知双曲线-=1(a0)的右焦点为(3,0),则该双曲线的离心率等于()A.B.C.D.4. (2013新课标全国卷)已知双曲线C: -=1(a0,b0)的离心率为,则C的渐近线方程为()A.y=x B.y=xC.
2、y=x D.y=x5.双曲线x2-y2=1的右支上一点P(m,n)到直线y=x的距离为,则m+n的值是()A.-B.C.D.2二、填空题(每小题8分,共24分)6.(2012江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线-=1的离心率为 ,则m的值为.7.(2013洛阳高二检测)设双曲线-=1(a0,b0)的虚轴长为2,焦距为2,则双曲线的渐近线方程为.8.已知F1,F2是双曲线-=1(a0,b0)的两焦点,以线段F1F2为边作正三角形MF1F2,若边MF1的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.已知圆M:x2+(y-5)2=9,双曲线G与椭圆C:
3、+=1有相同的焦点,它的两条渐近线恰好与圆M相切,求双曲线G的方程.10.已知双曲线的渐近线方程为y=x,焦距为10,求双曲线的标准方程,并求双曲线的离心率.11.(能力挑战题)设F1,F2分别为双曲线-=1的左、右焦点,A1,A2分别为这个双曲线的左、右顶点,P为双曲线右支上的任意一点,求证:以A1A2为直径的圆既与以PF2为直径的圆外切,又与以PF1为直径的圆内切.答案解析1.【解析】选A.方程表示双曲线,a0)的离心率为2,a=()A.2 B.C. D.1【解析】选B.由条件知=2,解得a=.4.【解析】选C.因为e=,所以又因为c2=a2+b2,所以，得，所以渐近线方程为y=x.5.【
4、解题指南】分别利用点到直线的距离公式和点在双曲线上建立方程,通过解两方程求m+n的值.【解析】选B.由条件可知=即|m-n|=2.(m,n)在右支上,mn,m-n0,故m-n=2.又点P在双曲线上,m2-n2=1即(m+n)(m-n)=1,m+n=.【举一反三】本题中,若点P(m,n)在左支上,结果会怎样?【解析】选A.点P在左支上,mn即m-n0,b0),则G的渐近线方程为y=x,即bxay=0,且a2+b2=25.圆M的圆心为(0,5),半径为r=3.=3a=3,b=4.双曲线G的方程为-=1.10.【解题指南】由渐近线方程可得a与b的关系,再利用c2=a2+b2可求a,b的值,但由于焦点
5、的位置不明确,因此应分情况讨论.【解析】方法一:当焦点在x轴上时,设所求双曲线的方程为-=1(a0,b0).由渐近线方程为y=x得=.又2c=10,c2=a2+b2,得a2=20,b2=5,双曲线的标准方程为-=1,这时离心率e=;同理,当焦点在y轴上时,可得双曲线的标准方程为-=1,这时离心率e=.所求双曲线的标准方程为-=1或-=1,相应的离心率为,.方法二:由渐近线方程为y=x,可设双曲线方程为-y2=(0),即-=1.由a2+b2=c2得|4|+|=25,|=5,=5.所求双曲线的标准方程为-=1或-=1,相应的离心率为,.【拓展提升】求双曲线标准方程的几种设法与双曲线-=1(a0,b
6、0)有共同渐近线-=(0)双曲线的渐近线方程是y=x-=(0)与双曲线-=1(a0,b0)共焦点-=1(-b2ka2)过两个已知点mx2+ny2=1(mnb0)有相同焦点+=1(b2ka2)11.【解题指南】设N,M分别是PF1,PF2的中点,只要证明|OM|=a+|PF2|,并且|ON|=|PF1|-a即可.注意点P在双曲线的右支上,F1,F2是双曲线的两个焦点,满足了运用定义的条件特征,故应从双曲线的定义入手去探索证明的途径.【证明】如图,以A1A2为直径的圆的圆心为O,半径为a,令M,N分别是PF2,PF1的中点,由三角形中位线的性质,得|OM|=|PF1|.又根据双曲线的定义,得|PF1|=2a+|PF2|,从而有|OM|=(2a+|PF2|)=a+|PF2|.这表明,两圆的圆心距等于两圆半径之和,故以A1A2为直径的圆与以PF2为直径的圆外切.同理,得|ON|=|PF2|=(|PF1|-2a)=|PF1|-a.这表明两圆的圆心距等于两圆半径之差,故以A1A2为直径的圆与以PF1为直径的圆内切.