1、三角函数 解三角形第四章第四节三角恒等变换高考概览1.巧变角：三角函数式中往往出现较多的差异角，注意观察角与角之间的和、差、倍、互补、互余等关系，运用角的变换，化多角为单角或减少未知角的数目，连接条件角与待求角，使问题顺利获解对角变换时：(1)可以通过诱导公式、两角和与差的三角公式等；(2)注意倍角的相对性；(3)注意拆角、拼角技巧，例如，2()()，()()，2 2(2)()，()()，154530，424 等；2.将三角变换与代数变换密切结合：三角变换主要是灵活应用相应的三角公式，对于代数变换主要有因式分解、通分、提取公因式、利用相应的代数公式等，例如，sin4xcos4x(sin2xco
2、s2x)22sin2xcos2x112sin22x.考点突破 提能力 研一研 练一练 考点通关考点一 三角函数式的化简冷考点 已知(0，)，化简：1sincoscos2sin222cos_.思路引导 逆用二倍角公式向2角转化解析 原式2cos222sin2cos2 cos2sin24cos22cos2cos2 2sin2 2cos2cos2coscos2.因为 0，所以 020，所以原式cos.答案 cos(1)化简三角函数式的策略：三看原则(2)化简方法：弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升
3、次，如本例中分母的化简跟踪演练 化简：2cos212tan4 sin24.解 解法一：原式cos2sin221tan1tansin4coscos4sin 2cos2sin21tan1tancossin2 cos2sin21sincos1sincos cossin2 1.解法二：原式cos22tan4 cos24cos22sin4 cos4cos2sin22cos2cos21.考点二 三角函数式的求值常考点角度解读：三角函数的化简求值是三角函数的基本考点之一，各种题型都有，有时也与解三角形联合起来综合考查角度 1：给角求值(1)化简：sin50(1 3tan10)_.(2)4cos50tan40
4、_.思路引导 切化弦 式的运算 化成“一角一函数”形式解析(1)sin50(1 3tan10)sin501 3sin10cos10sin50cos10 3sin10cos10sin50212cos10 32 sin10cos102sin50cos50cos10sin100cos10 cos10cos101.(2)4cos50tan404sin40tan404sin40cos40sin40cos402sin80sin3010cos402cos1012cos10 32 sin10cos4032cos10 32 sin10cos40 3 cos3010cos40 3.答案(1)1(2)3角度 2：给
5、值求值 已知sinx3 13，则cosxcos3x 的值为()A 33B.33C13D.13思路引导 将所求式子展开 化成“一角一函数”形式，与已知靠拢解析 cosxcos3x cosx12cosx 32 sinx32cosx 32sinx 3sinx3 33.故选 B.答案 B角度 3：给值求角(2018福建福州外国语学校适考)已知 A，B 均为钝角，sin2A2cosA3 5 1510，且 sinB 1010，则 AB()A.34B.54C.74D.76思路引导 确定AB的取值范围 求出AB的一个三角函数值解析 因为 sin2A2cosA3 5 1510，所以1cosA212cosA 32
6、 sinA5 1510，即12 32 sinA5 1510，解得 sinA 55.因为 A 为钝角，所以cosA 1sin2A15522 55.由 sinB 1010，且 B 为钝角，可得cosB 1sin2B1101023 1010.所以 cos(AB)cosAcosBsinAsinB2 553 1010 55 1010 22.又 A，B 都为钝角，即 A，B2，所以 AB(，2)，故 AB74，选 C.答案 C(1)本例 23 中根据 A，B 都为钝角可知 AB(，2)，显然若求出 sin(AB)的值，则 AB 有两个值满足条件，此时易产生增解，而余弦函数在区间(，2)上是单调递增 的，所
7、以利用 AB 的余弦值求角就不会出现增解(2)三角函数求值的方法策略类型要点给角求值关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数类型要点给值求值给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系给值求角(选单调)实质是转化为给值求值，关键是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围跟踪演练1.2sin2351cos10 3sin10的值为()A1B1 C.12D12解析 原式2sin2351212cos10 32 sin10cos702sin20 12.
8、答案 D2已知 2tansin3，20，则 cos6 的值是()A0B.22C1D.12解析 由 2tansin3，得2sin2cos 3，即 2cos23cos20，cos12或 cos2(舍去)20，sin 32，cos6 coscos6sinsin60.故选 A.答案 A3若 sin2 55，sin()1010，且 4，32，则 的值是_解析 因为 4，故 22，2，又 sin2 55，故22，4，2，cos22 55，32，故 2，54，于是 cos()3 1010，cos()cos2()cos2cos()sin2sin()2 55 3 101055 1010 22，且 54，2，故
9、74.答案 74 考点三 三角恒等变换偶考点(2017河北唐山二模)已知，均为锐角，且 sin22sin2，则()Atan()3tan()Btan()2tan()C3tan()tan()D3tan()2tan()思路引导 根据选项，可确定化简的方向 用已知角与来表示2，2 化简得到正确的结论或直接把与的正切值作商 进行化简，找到两者的比例系数解析 解法一：因为 2()()，2()()，已知 sin22sin2，所以 sin()()2sin()()，利用和角、差角公式展开，可得sin()cos()cos()sin()2sin()cos()cos()sin()，整理得 sin()cos()3cos
10、()sin()，两边同时除以 cos()cos()，得 tan()3tan()，故选 A.解法二：因为 sin22sin2，所以tantansincoscossin12sin2sin212sin2sin23sin2sin23，即 tan()3tan()，故选 A.答案 A(1)本例在寻找选项中的正确命题时，从两个角度进行了证明，一是根据角之间的关系，与 2，2 之间的关系，利用所证角表示已知角，代入已知等式进行化简；二是利用选项的共性两个角的正切值之间的比例关系，直接作商，然后根据已知等式进行化简解决此类问题要抓住两个方面：一是角，二是三角函数值(2)证明关系式抓两个统一、两个关系统一角：根据已知和所证，统一角的表示，从角的关系找准思路统一函数：统一函数名称，一般是“切化弦”，从而找到所证抓关系：准确把握已知和所求的关系及已知之间的关系，明确化简的依据与方向跟踪演练已知 sincos2sin，sin22sin2，则()Acos2cosBcos22cos2Ccos22cos2Dcos22cos2解析 由同角三角函数的基本关系可得 sin2cos21，所以(sincos)212sincos1sin2.由已知可得(2sin)212sin2，即 4sin212sin2.由二倍角公式可得 41cos22121cos22，整理得 cos22cos2.故选 C.答案 C