1、习题课二求数列的和题型一分组分解求和【例1】已知正项等比数列an中，a1a26，a3a424.(1)求数列an的通项公式；(2)数列bn满足bnlog2an，求数列anbn的前n项和.解(1)设数列an的公比为q(q0)，则解得ana1qn122n12n.(2)bnlog22nn，设anbn的前n项和为Sn，则Sn(a1b1)(a2b2)(anbn)(a1a2an)(b1b2bn)(2222n)(12n)2n12n2n.规律方法1.若数列cn的通项公式为cnanbn，且an，bn为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列cn的前n项和.2.若数列cn的通项公式为cn其中数列an，bn是等比数列或
2、等差数列，可采用分组求和法求cn的前n项和.【训练1】已知等差数列an的前n项和为Sn，且a11，S3S4S5.(1)求数列an的通项公式；(2)令bn(1)n1an，求数列bn的前2n项和T2n.解(1)设等差数列an的公差为d，由S3S4S5可得a1a2a3a5，即3a2a5，3(1d)14d，解得d2，an1(n1)22n1.(2)由(1)可得bn(1)n1(2n1)，T2n(13)(57)(4n3)(4n1)(2)n2n.题型二裂项相消法求和【例2】已知数列an的前n项和为Sn，满足S22，S416，an1是等比数列.(1)求数列an的通项公式；(2)若an0，设bnlog2(3an3
3、)，求数列的前n项和.解(1)设等比数列an1的公比为q，其前n项和为Tn，因为S22，S416，所以T24，T420，易知q1，所以T24，T420，由得1q25，解得q2.当q2时，a1，所以an12n1；当q2时，a15，所以an1(4)(2)n1(2)n1.所以an1或an(2)n11.(2)因为an0，所以an1，所以bnlog2(3an3)n1，所以，所以数列的前n项和为.规律方法(1)把数列的每一项拆成两项之差，求和时有些部分可以相互抵消，从而达到求和的目的.常见的拆项公式：()；()；().(2)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止.(3)消项规律
4、：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.【训练2】设Sn为等差数列an的前n项和，已知S3a7，a82a33.(1)求an；(2)设bn，求数列bn的前n项和为Tn.解(1)设数列an的公差为d，由题意得解得a13，d2，ana1(n1)d2n1.(2)由(1)得Snna1dn(n2)，bn.Tnb1b2bn1bn.题型三错位相减法求和【例3】已知an是各项均为正数的等比数列，且a1a26，a1a2a3.(1)求数列an的通项公式；(2)bn为各项非零的等差数列，其前n项和为Sn，已知S2n1bnbn1，求数列的前n项和Tn.解(1)设an的公比为q，由题意知：a1
5、(1q)6，aqa1q2，又an0，解得：a12，q2，所以an2n.(2)由题意知：S2n1(2n1)bn1，又S2n1bnbn1，bn10，所以bn2n1.令cn，则cn，因此Tnc1c2cn，又Tn，两式相减得Tn，所以Tn5.规律方法1.一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法.2.用错位相减法求和时，应注意：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形.(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“SnqSn”的表达式.【训练3】已知数列an的通项公式为an3n1，在等差
6、数列bn中，bn0，且b1b2b315，又a1b1，a2b2，a3b3成等比数列.(1)求数列anbn的通项公式；(2)求数列anbn的前n项和Tn.解(1)an3n1，a11，a23，a39.在等差数列bn中，b1b2b315，3b215，则b25.设等差数列bn的公差为d，又a1b1，a2b2，a3b3成等比数列，(15d)(95d)64，解得d10或d2.bn0，d10应舍去，d2，b13，bn2n1.故anbn(2n1)3n1，nN*.(2)由(1)知Tn3153732(2n1)3n2(2n1)3n1，3Tn33532733(2n1)3n1(2n1)3n，得2Tn31232322332
7、3n1(2n1)3n32(332333n1)(2n1)3n32(2n1)3n3n(2n1)3n2n3n.Tnn3n，nN*.一、素养落地1.通过学习数列求和的方法，提升数学运算和逻辑推理素养.2.求数列的前n项和，一般有下列几种方法.(1)错位相减适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和.(2)分组求和把一个数列分成几个可以直接求和的数列.(3)裂项相消有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和.(4)奇偶并项当数列通项中出现(1)n或(1) n1时，常常需要对n取值的奇偶性进行分类讨论.(5)倒序相加例如，等差数列前n项和公式的推导方法.二
8、、素养训练1.数列2，4，6，的前n项和Sn为()A.n21 B.n22C.n(n1) D.n(n1)解析Sn(2462n)n(22n)n(n1).答案C2.等比数列an中，a52，a65，则数列lg an的前10项和等于()A.6 B.5 C.4 D.3解析数列an是等比数列，a52，a65，a1a10a2a9a3a8a4a7a5a610，lg a1lg a2lg a10lg(a1a2a10)lg(a5a6)55lg 105.故选B.答案B3.数列的前2 020项和为_.解析因为2，所以S2 02022.答案4.已知数列an则S100_.解析由题意得S100a1a2a99a100(a1a3a
9、5a99)(a2a4a100)(02498)(246100)5 000.答案5 0005.在数列an中，a11，an12an2n，nN*.(1)设bn，证明：数列bn是等差数列；(2)在(1)的条件下求数列an的前n项和Sn.(1)证明由已知an12an2n，得bn11bn1.bn1bn1，又b1a11.bn是首项为1，公差为1的等差数列.(2)解由(1)知，bnn，bnn.ann2n1.Sn1221322n2n1，两边同时乘以2得2Sn121222(n1)2n1n2n，两式相减得Sn121222n1n2n2n1n2n(1n)2n1，Sn(n1)2n1.三、审题答题示范(一)数列求和问题【典型
10、示例】 (12分)已知数列an的前n项和为Sn，且满足a24，2Snnann，nN*.(1)求数列an的通项公式；(2)若取出数列an中的部分项a2，a6，a22，依次组成一个等比数列cn，若数列bn满足anbncn，求证：数列bn的前n项和Tn.联想解题看到，想到anSnSn1(n2)，利用Sn与an的关系结合定义法或等差中项法证明数列an为等差数列并求通项公式.看到，想到利用错位相减法求数列bn的前n项和Tn，从而得到Tn的取值范围，即可证明Tn.满分示范(1)解数列an的前n项和为Sn，且2Snnann，nN*，当n1时，2a1a11，则a11.当n2时，anSnSn1，an1Sn1Sn
11、.2分由得，Sn12SnSn1an1an，所以n(an1)an1an，所以(n1)an，即an，所以数列an为等差数列.5分又a11，且a24，整理得an3n2.6分(2)证明由a24，a616，解得cn4n，所以bn(3n2).8分则Tn14(3n2)，Tn14(3n2)，9分由得，Tn3(3n2)，解得Tn.12分满分心得(1)利用数列的递推公式求通项公式主要应用构造法，即构造出等差、等比数列，或可应用累加、累乘求解的形式.(2)利用错位相减法求数列的和最容易出现运算错误，运算时要注意作差后所得各项的符号，所得等比数列的项数.(3)与数列的和有关的不等式证明问题，一般是先求和及其范围，再证
12、明不等式.基础达标一、选择题1.已知数列an的通项an2n1，nN*，由bn所确定的数列bn的前n项的和是()A.n(n2) B.n(n4)C.n(n5) D.n(n7)解析a1a2an(2n4)n22n.bnn2，bn的前n项和Sn.答案C2.数列，的前n项和为()A. B. C. D.解析由数列通项公式，得前n项和Sn().答案B3.1的值为()A.18 B.20C.22 D.18解析设an12，原式a1a2a11222222220.答案B4.已知函数f(x)(xR)，若等比数列an满足a1a2 0211，则f(a1)f(a2)f(a3)f(a2 021)()A.2 021 B. C.2
13、D.解析函数f(x)(xR)，f(x)f2.数列an为等比数列，且a1a2 0211，a1a2 021a2a2 020a3a2 019a2 021a11.f(a1)f(a2 021)f(a2)f(a2 020)f(a3)f(a2 019)f(a2 021)f(a1)2，f(a1)f(a2)f(a3)f(a2 021)2 021.故选A.答案A5.定义为n个正数p1，p2，pn的“均倒数”.若已知数列an的前n项的“均倒数”为，又bn，则()A. B. C. D.解析由题意得，所以a1a2ann(3n1)3n2n，记数列an的前n项和为Sn，则Sn3n2n.当n1时，a1S14；当n2时，anS
14、nSn13n2n3(n1)2(n1)6n2.经检验a14也符合此式，所以an6n2，nN*，则bnn，所以1.故选C.答案C二、填空题6.设an，数列an的前n项和Sn9，则n_.解析an，故Sn119.解得n99.答案997.在数列an中，已知Sn159131721(1)n1(4n3)，nN*，则S15S22S31的值是_.解析S1547a15285729，S2241144，S31415a316012161，S15S22S3129446176.答案768.已知数列an的前n项和为Sn，且满足Sn2an1(nN*)，则数列nan的前n项和Tn为_.解析Sn2an1(nN*)，n1时，a12a1
15、1，解得a11，n2时，anSnSn12an1(2an11)，化为an2an1，数列an是首项为1，公比为2的等比数列，an2n1.nann2n1.则数列nan的前n项和Tn122322n2n1.2Tn2222(n1)2n1n2n，Tn12222n1n2nn2n(1n)2n1，Tn(n1)2n1.答案(n1)2n1三、解答题9.已知函数f(x)2x3x1，点(n，an)在f(x)的图象上，数列an的前n项和为Sn，求Sn.解由题意得an2n3n1，Sna1a2an(2222n)3(123n)n3n2n12.10.已知等差数列an中，2a2a3a520，且前10项和S10100.(1)求数列an
16、的通项公式；(2)若bn，求数列bn的前n项和.解(1)由已知得解得所以数列an的通项公式为an12(n1)2n1.(2)bn，所以Tn.能力提升11.已知等差数列an中，a3a5a47，a1019，则数列ancos n的前2 020项和为()A.1 009 B.1 010 C.2 019 D.2 020解析设数列an的公差为d，由解得an2n1.设bnancos n，b1b2a1cos a2cos 22，b3b4a3cos 3a4cos 42，数列ancos n的前2 020项和S2 020(b1b2)(b3b4)(b2 019b2 020)22 020.故选D.答案D12.已知数列an满足
17、a11，an12an(为常数).(1)试探究数列an是不是等比数列，并求an；(2)当1时，求数列n(an)的前n项和Tn.解(1)因为an12an，所以an12(an).又a11，所以当1时，a10，数列an不是等比数列，此时anan10，即an1；当1时，a10，所以an0，所以数列an是以1为首项，2为公比的等比数列，此时an(1)2n1，即an(1)2n1.(2)由(1)知an2n1，所以n(an1)n2n，Tn2222323n2n，2Tn22223324n2n1，得：Tn222232nn2n1n2n12n12n2n1(1n)2n12.所以Tn(n1)2n12.创新猜想13.(多空题)
18、设等差数列an满足a25，a6a830，则an_，数列的前n项和为_.解析设等差数列an的公差为d.an是等差数列，a6a8302a7，解得a715，a7a25d.又a25，则d2.ana2(n2)d2n1.，的前n项和为.答案2n114.(多空题)设数列an的前n项和为Sn，已知a11，2Snan1，bn(1)n(log3an)2，则an_，数列bn的前2n项和为_.解析根据题意，数列an满足2Snan1，则当n2时，有2Sn1an，由可得(an13an)0，所以an13an0，即an13an(n2).由2Snan1，可求得a23，a23a1，则数列an是首项为1，公比为3的等比数列，所以an3n1，bn(1)n(log3an)2(1)n(log33n1)2(1)n(n1)2，则b2n1b2n(2n2)2(2n1)24n3.所以数列bn的前2n项和T2n159(4n3)2n2n.答案3n12n2n