1、怀柔区20192020学年度第一学期期末考试高二数学2020.1第卷（选择题，共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1.抛物线y2=4x的焦点坐标是A. （0,2）B. （0,1）C. （2,0）D. （1,0）【答案】D【解析】试题分析：的焦点坐标为，故选D.【考点】抛物线的性质【名师点睛】本题考查抛物线的定义解析几何是中学数学的一个重要分支，圆锥曲线是解析几何的重要内容，它们的定义、标准方程、简单几何性质是我们要重点掌握的内容，一定要熟记掌握2.如果，那么下面一定成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分
2、析】根据及不等式的性质即可判断每个选项的正误，从而找出正确的选项【详解】，A错误；当时，且，成立；当时，且，成立，当时，且，.B错误；，正确，C正确；，D错误故选：C【点睛】本题考查了不等式的基本性质，考查了计算能力，属于基础题3.双曲线的渐近线方程为A. B. C. D. 【答案】B【解析】焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，由得，则双曲线的渐近线方程为，故选B.4.过点抛物线的标准方程为（ ）A. B. C. D. 或【答案】D【解析】【分析】由题意设出抛物线方程为或，结合抛物线过点（1，1）分类求得a的值即可【详解】由题意可设抛物线方程为或，抛物线过点（1，1），当抛物线方程为时，得a1；
3、当抛物线方程为时，得a1抛物线的标准方程是或.故选：D【点睛】本题考查抛物线标准方程的求法，考查了分类讨论的数学思想方法，属于基础题5.已知数列为等差数列，则下面不一定成立的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】【分析】利用等差数列的单调性即可判断【详解】利用等差数列的单调性可得：若，所以公差，所以等差数列是递增数列，所以，成立，A，B正确；则不一定成立，例如时不一定成立，D不一定成立；若，则，所以成立，C正确.故选：D【点睛】本题考查了等差数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题6.已知椭圆与双曲线的焦点相同，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为
4、，那么椭圆的离心率等于( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：因为双曲线的焦点在x轴上,所以设椭圆的方程为,因为椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为,所以根据椭圆的定义可得,则,选B考点：椭圆定义 离心率7.若是直线的方向向量，是平面的法向量，则直线与平面的位置关系是（ ）A. 直线在平面内B. 平行C. 相交但不垂直D. 垂直【答案】C【解析】【分析】先判断与是否共线或垂直，即可得出结论【详解】，假设存在实数，使得，则，即 无解.不存在实数，使得成立，因此l与不垂直由，可得直线l与平面不平行因此直线l与平面的位置关系是相交但不垂直故选：C【点睛】本题考查了向量共线定理、数量积
5、运算性质、线面位置关系，属于基础题8.已知，则、之间的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用基本不等式求出m的最小值，一次函数的性质判断n的最大值，进而比较大小即可【详解】，当且仅当时取等号.，在上递增，.故选：A【点睛】本题考查基本不等式的应用，函数的单调性的应用，考查基本知识的理解与应用，属于基础题第卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分把答案填在题中横线上9.不等式的解集是_.【答案】【解析】【分析】将不等式转化为不等式组或，利用一元一次不等式的解法求解即可.【详解】依题意，不等式可化为不等式组或，解得.故答案为：.【点睛
6、】本题主要考查不等式解法，关键是将不等式转化为特定的不等式去解，属于基础题10.双曲线的实轴长为_，离心率为_【答案】 (1). 4 (2). 【解析】【分析】利用双曲线方程求解实轴长，离心率即可【详解】双曲线的，可得实轴长，.故答案为：4，【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，实轴长和离心率，属于基础题11.若，均为正数，且1是，的等差中项，则的最大值为_【答案】1【解析】【分析】根据题意，利用基本不等式求出即可【详解】若，均为正数，且1是，的等差中项，则，故，当且仅当取等号.故答案为：1【点睛】本题考查等差中项的定义，也考查了基本不等式的应用，属于基础题12.在数列中，是它的第_项【答案】6
7、【解析】【分析】根据题意，可得数列的通项公式，进而解可得的值，即可得答案【详解】根据题意，数列中，其通项公式，令，解得，即是数列的第6项.故答案为：6【点睛】本题考查数列的表示方法，注意数列通项公式的定义，属于基础题13.已知平面的一个法向量是，且点在平面上，若是平面上任意一点，则向量_，点的坐标满足的方程是_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】由题意，利用向量坐标运算法则能求出向量，再由平面的一个法向量是，得到0，由此能求出点的坐标满足的方程【详解】平面的一个法向量是，且点在平面上，是平面上任意一点，向量，点的坐标满足的方程是故答案为：，【点睛】本题考查向量的求法，考查平面向量坐标
8、运算法则、法向量等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题14.在平面直角坐标系中，曲线是由到两个定点和点的距离之积等于的所有点组成的对于曲线，有下列四个结论：曲线是轴对称图形；曲线中心对称图形；曲线上所有的点都在单位圆内；其中，所有正确结论的序号是_【答案】【解析】【分析】由题意曲线是平面内与两个定点和的距离的积等于常数，设动点坐标为，得到动点的轨迹方程，然后由方程特点即可加以判断【详解】由题意，设动点坐标为，利用题意及两点间的距离公式的得：，对于，分别将方程中的被代换不变，被 代换不变，方程都不变，故关于轴对称和轴对称，故曲线是轴对称图形，故正确对于，把方程中的被代换且被代换，方程不变，故此
9、曲线关于原点对称，曲线是中心对称图形，故正确；对于，令0可得，即2=1+，此时对应的点不在单位圆2+2=1内，故错误故答案为：【点睛】本题考查了利用直接法求出动点的轨迹方程，考查了运算能力和转化能力，属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15.已知等差数列满足，（1）求的通项公式；（2）设等比数列满足，问：与数列的第几项相等？【答案】（1）；（2）第31项【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，由已知条件列出关于，的方程组，解出即可；（2）设等比数列的公比为，由已知条件列出关于，的方程组，解出即可【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，且，所以
10、 ，解得，所以（2）由（1）题意可得，设数列的公比为，因为，且，所以，解得，所以由，得.与数列的第31项相等【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题16.在四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，为中点（1）求证：；（2）求异面直线与所成角的余弦值【答案】（1）详见解析；（2）【解析】【分析】（1）以为原点，分别以，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，计算得，即可证明结论；（2）先求出，再利用向量夹角公式即可得出.【详解】（1）由题意在四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，以为原点，分别以，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则，因为为中点，所以，
11、所以，所以，所以（2）由（1）得，所以与所成角的余弦值为【点睛】本题考查了异面直线所成的角、向量夹角公式、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题17.已知椭圆的右焦点，且点在椭圆上（1）求椭圆的标准方程；（2）过点且斜率为1的直线与椭圆相交于、两点，求的面积【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由题意可得a，c的值，由a，b，c的关系可得b，进而得到椭圆方程；（2）过点F且斜率为1的直线方程设为yx，联立椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得|MN|，再由点到直线的距离公式可得O到MN的距离d，运用三角形的面积公式，计算可得所求值【详解】（1）由题意，椭圆焦点且过点，得，又
12、，所以椭圆方程为（2）由题意得，直线的方程为，设，联立直线与椭圆方程，得，得，则，又，所以设原点到直线的距离为，所以的面积【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，也考查点到直线的距离公式和三角形的面积求法，属于中档题18.已知数列满足，数列的前项和为，且（1）求数列，的通项公式；（2）设，求数列的前项和【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）由已知条件得an+1an2，利用等差数列的通项公式即可得出an；且，当时，bnSnSn1，当n1时，利用等比数列的通项公式即可得出bn；（2）由（1）得，利用分组求和求和即可.【详解】（1）因为，所以为首项是
13、1，公差为2的等差数列，所以又当时，所以，当时， 由得，即（），所以是首项为1，公比为的等比数列，故（2）由（1）得，所以【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、分组求和方法，属于基础题19.如图，在直三棱柱中，点，分别为棱，的中点（1）求证：平面；（2）求二面角的大小；（3）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成的角为？如果存在，求出线段的长；如果不存在，说明理由【答案】（1）详见解析；（2）；（3）点存在，即的中点，【解析】【分析】（1）以为原点，分别以，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，求出和平面的法向量为，得，进而证出结论；（2）求出平面的法向量为，平面法向量，得，
14、进而得出结论；（3）设，利用直线与平面所成的角为，结合向量夹角公式列出关于的方程解出即可.【详解】（1）在直三棱柱中，平面，又因为，以为原点，分别以，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系由题意得，所以，设平面的法向量为，则，即，令，得，于是又因为，所以又因为平面，所以平面（2）设平面的法向量为，即，令，得，于是，平面法向量，所以二面角的大小为（3）设直线与平面所成角为，则，设，则，所以，解得或（舍），所以点存在，即的中点，【点睛】本题考查了空间位置关系、空间角、法向量的应用、向量夹角公式、数量积运算性质，属于中档题20.已知椭圆（1）求椭圆标准方程和离心率；（2）是否存在过点的直线与椭圆相交于，两
15、点，且满足若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由【答案】（1），；（2）存在，7x+30或7x+30【解析】【分析】（1）将椭圆方程化为标准方程，可得a，b，c，由离心率公式可得所求值；（2）假设存在过点P（0，3）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且满足，可设直线l的方程为xm（y3），联立椭圆方程，消去x可得y的二次方程，运用韦达定理和判别式大于0，再由向量共线的坐标表示，化简整理解方程，即可判断是否存在这样的直线详解】（1）由，得，进而，；（2）假设存在过点P（0，3）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且满足，可设直线l的方程为xm（y3），联立椭圆方程x2+2y24，可得（2+m2）y26m2y+9m240，36m44（2+m2）（9m24）0，即m2，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得y1+y2，y1y2，由，可得（x2，y23）2（x1，y13），即y232（y13），即y22y13，将代入可得3y13，y1（2y13），消去y1，可得，解得m2，所以，故存在这样的直线l，且方程为7xy+30或7x+y30【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，同时考查向量共线的坐标表示，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题