1、 汪清四中2020-2021学年度高三数学模拟试卷 （考试时间120分，满分150）一、选择题（本大题包括12个小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）1若集合A=xN|5+4xx20，B=x|x3，则AB等于（）A B1，2 C0，3） D0，1，22已知复数（i 为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点在第三象限，则实数a的取值范围是（）A B C（，2） D3在梯形ABCD中， =3，则等于（）A+ B+ C+ D4等差数列an的前n项和为Sn，且S5=6，a2=1，则公差d等于（）A B C D25在中国,“女排精神”概
2、括的是顽强战斗、勇敢拼搏精神。在某年度排球超级杯决赛中,中国女排与俄罗斯女排相遇,已知前四局中,战成了2:2,且在决胜局中,中国队与俄罗斯队战成了13:13,根据中国队与俄罗斯队以往的较量,每个球中国队获胜的概率为,假定每个球中国队是否获胜相互独立,则再打不超过4球,中国队获得比赛胜利的概率为（ ）(注:排球的比赛规则为5局3胜制,即比赛双方中的一方先拿到3局胜利为获胜队,其中前四局为25分制,即在一方先得到25分,且与对方的分差大于或等于2分,则先拿到25分的一方胜;若一方拿到25分后,但双方分差小于2分,则比赛继续,直到一方领先2分为止;若前四局打成2:2,则决胜局采用15分制.)A.B.
3、 C.D.6.党的十九大报告中指出：从2020年到2035年,在全面建成小康社会的基础上,再奋斗15年,基本实现社会主义现代化若到2035年底我国人口数量增长至14.4亿,由2013年到2019年的统计数据可得国内生产总值(GDP)y(单位：万亿元）关于年份代号的回归方程为(),由回归方程预测我国在2035年底人均国内生产总值（单位：万元）约为( )A.14.04B.202.16C.13.58D.14.507某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则三棱锥的体积为（）A32 B C D）8已知x，y满足约束条件，则目标函数的最大值为（）A6 B5 C2 D19以下四个命题中是假命
4、题的是（）A“昆虫都是6条腿，竹节虫是昆虫，所以竹节虫有6条腿”此推理属于演绎推理B“在平面中，对于三条不同的直线a，b，c，若ab，bc则ac，将此结论放到空间中也成立”此推理属于合情推理C“a0”是“函数f（x）=ax+lnx存在极值”的必要不充分条件D若，则的最小值为10如图，南北方向的公路l，A地在公路正东2km处，B地在A东偏北300方向2 km处，河流沿岸曲线PQ上任意一点到公路l和到A地距离相等现要在曲线PQ上一处建一座码头，向A、B两地运货物，经测算，从M到A、到B修建费用都为a万元/km，那么，修建这条公路的总费用最低是（）万元A（2+）a B2（+1）a C5a D6a11
5、大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个小孩的现象普遍存在，某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个小孩共8人，准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名（乘同一辆车的4名小孩不考虑位置），其中A户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭的乘坐方式共有（）A18种 B24种 C36种 D48种12设函数f（x）的定义域为D，如果xD，yD，使得f（x）=f（y）成立，则称函数f（x）为“函数”给出下列四个函数：y=sinx； y=2x； y=； f（x）=lnx，则其中“函数”共有（）A1个 B2个 C3个 D4个二
6、、填空题（本大题包括4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）13函数y=sinx+cosx的单调递增区间为14（3b+2a）6的展开式中的第3项的系数为，二项式系数为15已知命题p：“对任意x1，2，x2a0”，命题q：“存在xR，x2+2ax+2a=0”若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围16已知数列an为等差数列，且，则a2016（a2014+a2018）的最小值为三、解答题（本大题包括6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（满分12分）在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且=（）求角B的大小；（）若b=，a+c=4，求
7、ABC的面积18（满分12分）在四边形ABCD中，对角线AC，BD垂直相交于点O，且OA=OB=OD=4，OC=3将BCD沿BD折到BED的位置，使得二面角EBDA的大小为90（如图）已知Q为EO的中点，点P在线段AB上，且（）证明：直线PQ平面ADE；（）求直线BD与平面ADE所成角的正弦值19（满分12分）班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25位女同学，15位男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析（）如果按性别比例分层抽样，求样本中男生、女生人数分别是多少；（）随机抽取8位同学，数学成绩由低到高依次为：60，65，70，75，80，85，90，95；物理成绩由低到高依次
8、为：72，77，80，84，88，90，93，95，若规定90分（含90分）以上为优秀，记为这8位同学中数学和物理分数均为优秀的人数，求的分布列和数学期望20（满分12分）已知F1、F2是椭圆+=1的左、右焦点，O为坐标原点，点P（1，）在椭圆上，线段PF2与y轴的交点M满足+=；（1）求椭圆的标准方程；（2）O是以F1F2为直径的圆，一直线l：y=kx+m与O相切，并与椭圆交于不同的两点A、B当=且满足时，求AOB面积S的取值范围21（满分12分）设f（x）=，曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与直线x+y+1=0垂直（）求a的值；（）若对于任意的x1，+），f（x）m（x1）恒成立
9、，求m的取值范围；（）求证：ln（4n+1）16（nN*）选修4-4：坐标系与参数方程22（满分10分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的方程为x2=4y+4（1）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（2）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交于A，B两点，|AB|=8，求l的斜率选修4-5：不等式选讲23（满分10分）设函数f（x）=|2x1|+|2x3|，xR（1）解不等式f（x）5；（2）若的定义域为R，求实数m的取值范围汪清四中2020-2021高三数学模拟试卷答案一、选择题（本大题包括12个小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项
10、是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）1若集合A=xN|5+4xx20，B=x|x3，则AB等于（）AB1，2C0，3）D0，1，2【考点】交集及其运算【分析】求出A中不等式解集的自然数解确定出A，找出A与B的交集即可【解答】解：由A中不等式变形得：（x5）（x+1）0，xN，解得：1x5，xN，即A=0，1，2，3，4，B=x|x3，AB=0，1，2，故选：D2已知复数（i 为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点在第三象限，则实数a的取值范围是（）ABC（，2）D【考点】复数的代数表示法及其几何意义【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出【解答】解：复数=+i的
11、共轭复数i的共在复平面内对应的点在第三象限，0，0，解得a，且a2，则实数a的取值范围是故选：A3在梯形ABCD中， =3，则等于（）A+B+C+D【考点】向量数乘的运算及其几何意义【分析】根据几何图形得出=+=，注意向量的化简运用算【解答】解：在梯形ABCD中， =3，=+=故选：A4等差数列an的前n项和为Sn，且S5=6，a2=1，则公差d等于（）ABCD2【考点】等差数列的前n项和【分析】利用等差数列前n项和公式和通项公式，列出方程组，由此能求出公差d【解答】解：等差数列an的前n项和为Sn，且S5=6，a2=1，解得，d=故选：A5.答案：D解析：再打2个球中国队胜的概率为，再打4个
12、球中国队胜的概率为,所以，再打不超过4球，中国队获得比赛胜利的概率为，选D.6.答案：A解析：到2035年底对应的年份代号为23,由回归方程得,我国国内生产总值约为 (万亿元),又所以到2035年底我国人均国内生产总值约为14.04万元,故选A.7某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则三棱锥的体积为（）A32BCD）【考点】由三视图求面积、体积【分析】根据三视图复原的几何体是三棱锥，画出图形，求出正视图中两直角边长，即可计算三棱锥的体积【解答】解：三视图复原的几何体是三棱锥，底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面，底面直角三角形一直角边长为2，如图所示，设正视图中两直角边长分别为
13、a，b，则a2+b2=102， +b2=82，解得b=6，a=8，所以三棱锥的体积为：V=826=16故选：C8已知x，y满足约束条件，则目标函数的最大值为（）A6B5C2D1【考点】简单线性规划【分析】画出约束条件的可行域，化简目标函数，利用目标函数的几何意义转化求解即可【解答】解：x，y满足约束条件，表示的可行域如图：目标函数=，目标函数的几何意义是可行域的点与（2，1）斜率的4倍，由题意可知：DA的斜率最大由，可得A（2，4），则目标函数的最大值为： =5故选：B9以下四个命题中是假命题的是（）A“昆虫都是6条腿，竹节虫是昆虫，所以竹节虫有6条腿”此推理属于演绎推理B“在平面中，对于三条
14、不同的直线a，b，c，若ab，bc则ac，将此结论放到空间中也成立”此推理属于合情推理C“a0”是“函数f（x）=ax+lnx存在极值”的必要不充分条件D若，则的最小值为【考点】命题的真假判断与应用【分析】对4个命题，分别进行判断，即可得出结论【解答】解：A是演绎推理，符合三段论；B是类比推理，是合情推理；C中，函数f（x）=ax+lnx存在极值，则f（x）=a+=0有解，a0，反之不成立，故“a0”是“函数f（x）=ax+lnx存在极值”的必要不充分条件，正确D中，若，则0sinx1，的最小值为3，故不正确故选D10如图，南北方向的公路l，A地在公路正东2km处，B地在A东偏北300方向2
15、km处，河流沿岸曲线PQ上任意一点到公路l和到A地距离相等现要在曲线PQ上一处建一座码头，向A、B两地运货物，经测算，从M到A、到B修建费用都为a万元/km，那么，修建这条公路的总费用最低是（）万元A（2+）aB2（+1）aC5aD6a【考点】抛物线的应用【分析】依题意知曲线PQ是以A为焦点、l为准线的抛物线，欲求从M到A，B修建公路的费用最低，只须求出B到直线l距离即可【解答】解：依题意知曲线PQ是以A为焦点、l为准线的抛物线，根据抛物线的定义知：欲求从M到A，B修建公路的费用最低，只须求出B到直线l距离即可因B地在A地东偏北300方向km处，B到点A的水平距离为3（km），B到直线l距离为
16、：3+2=5（km），那么修建这两条公路的总费用最低为：5a（万元）故选C11大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个小孩的现象普遍存在，某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个小孩共8人，准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名（乘同一辆车的4名小孩不考虑位置），其中A户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭的乘坐方式共有（）A18种B24种C36种D48种【考点】排列、组合的实际应用【分析】根据题意，分2种情况讨论：、A户家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的家庭，、A户家庭的孪生姐妹不在甲车上，
17、每种情况下分析乘坐人员的情况，由排列、组合数公式计算可得其乘坐方式的数目，由分类计数原理计算可得答案【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：、A户家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的家庭，可以在剩下的三个家庭中任选2个，再从每个家庭的2个小孩中任选一个，来乘坐甲车，有C32C21C21=12种乘坐方式；、A户家庭的孪生姐妹不在甲车上，需要在剩下的三个家庭中任选1个，让其2个小孩都在甲车上，对于剩余的2个家庭，从每个家庭的2个小孩中任选一个，来乘坐甲车，有C31C21C21=12种乘坐方式；则共有12+12=24种乘坐方式；故选：B12设函数f（x）的定义域为D，如果xD，yD，使得
18、f（x）=f（y）成立，则称函数f（x）为“函数”给出下列四个函数：y=sinx；y=2x；y=；f（x）=lnx，则其中“函数”共有（）A1个B2个C3个D4个【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的值【分析】根据函数的定义，将条件转化为f（x）+f（y）=0，判断函数是否满足条件即可【解答】解：若xD，yD，使得f（x）=f（y）成立，即等价为xD，yD，使得f（x）+f（y）=0成立A函数的定义域为R，y=sinx是奇函数，f（x）=f（x），即f（x）+f（x）=0，当y=x时，等式（x）+f（y）=0成立，A为“函数”Bf（x）=2x0，2x+2y0，则等式（x）+f（y）=0不成立
19、，B不是“函数”C函数的定义域为x|x1，由（x）+f（y）=0得，即，x+y2=0，即y=2x，当x1时，y1，当y=2x时，等式（x）+f（y）=0成立，C为“函数”D函数的定义域为（0，+），由（x）+f（y）=0得lnx+lny=ln（xy）=0，即xy=1，即当y=时，等式（x）+f（y）=0成立，D为“函数”综上满足条件的函数是A，C，D，共3个，故选：C二、填空题（本大题包括4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）13函数y=sinx+cosx的单调递增区间为2k，2k+（kZ）【考点】三角函数中的恒等变换应用【分析】先根据两角和公式对函数解析式进行化简，
20、再根据正弦函数的性质得出答案【解答】解：y=sinx+cosx=（sinx+cosx）=（sinxcos+cosxsin）=sin（x+），对于函数y=sin（x+），由2kx+2k+，（kZ）可得：函数y=sinx+cosx，xR的单调递增区间是2k，2k+（kZ），故答案为2k，2k+（kZ）14（3b+2a）6的展开式中的第3项的系数为4860，二项式系数为15【考点】二项式定理的应用【分析】由条件利用二项展开式的通项公式求出第三项，可得结论【解答】解：由（3b+2a）6的展开式中的第3项为T3=（3b）4（2a）2，可得第3项的系数为3422=4860，该项的二项式系数为=15，故答案
21、为：4860；1515已知命题p：“对任意x1，2，x2a0”，命题q：“存在xR，x2+2ax+2a=0”若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围【考点】复合命题的真假【分析】求出命题p，q为真命题的等价条件，利用“p且q”是真命题，即可求a的取值范围【解答】解：“对任意x1，2，x2a0”则ax2，1x24，a1，即命题p为真时：a1若“存在xR，x2+2ax+2a=0”，则=4a24（2a）0，即a2+a20，解得a1或a2，即命题q为真时：a1或a2若“pq”是真命题，则p，q同时为真命题，即解得a=1或a2实数a取值范围是a=1或a216已知数列an为等差数列，且，则a2016（
22、a2014+a2018）的最小值为【考点】等比数列的通项公式；定积分【分析】先求出2a2016=，进而a2016=，由此能求出a2016（a2014+a2018）的值【解答】解：数列an为等差数列，且，2a2016=22=，a2016=，a2016（a2014+a2018）=2a2016a2016=2=故答案为：三、解答题（本大题包括6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且=（）求角B的大小；（）若b=，a+c=4，求ABC的面积【考点】解三角形【分析】（1）根据正弦定理表示出a，b及c，代入已知的等式，利用两角和的正弦
23、函数公式及诱导公式变形后，根据sinA不为0，得到cosB的值，由B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出角B的度数；（2）由（1）中得到角B的度数求出sinB和cosB的值，根据余弦定理表示出b2，利用完全平方公式变形后，将b，a+c及cosB的值代入求出ac的值，然后利用三角形的面积公式表示出ABC的面积，把ac与sinB的值代入即可求出值【解答】解：（1）由正弦定理得：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，将上式代入已知，即2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0，即2sinAcosB+sin（B+C）=0，A+B+C=，sin（B+C）=sinA，2s
24、inAcosB+sinA=0，即sinA（2cosB+1）=0，sinA0，B为三角形的内角，；（II）将代入余弦定理b2=a2+c22accosB得：b2=（a+c）22ac2accosB，即，ac=3，18在四边形ABCD中，对角线AC，BD垂直相交于点O，且OA=OB=OD=4，OC=3将BCD沿BD折到BED的位置，使得二面角EBDA的大小为90（如图）已知Q为EO的中点，点P在线段AB上，且（）证明：直线PQ平面ADE；（）求直线BD与平面ADE所成角的正弦值【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定【分析】（）证明PR平面ADE，RQ平面ADE，可得平面PQR平面ADE，即可
25、证明：直线PQ平面ADE；（）由等体积法可得点O到平面ADE的距离，即可求直线BD与平面ADE所成角的正弦值【解答】（）证明：如图，取OD的中点R，连接PR，QR，则DERQ，由题知，又，故AB：AP=4：1=DB：DR，因此ADPR，因为PR，RQ平面ADE，且AD，DE平面ADE，故PR平面ADE，RQ平面ADE，又PRRQ=R，故平面PQR平面ADE，从而PQ平面ADE6分（）解：由题EA=ED=5，设点O到平面ADE的距离为d，则由等体积法可得，故，因此12分19班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25位女同学，15位男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析（）如果按性
26、别比例分层抽样，求样本中男生、女生人数分别是多少；（）随机抽取8位同学，数学成绩由低到高依次为：60，65，70，75，80，85，90，95；物理成绩由低到高依次为：72，77，80，84，88，90，93，95，若规定90分（含90分）以上为优秀，记为这8位同学中数学和物理分数均为优秀的人数，求的分布列和数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；分层抽样方法；离散型随机变量及其分布列【分析】（I）利用分层抽样的性质能求出按性别比例分层抽样抽取女生数和男生数（II）的所有可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望【解答】解：（I）从全班25位女同学，15位男同学
27、中随机抽取一个容量为8的样本进行分析，按性别比例分层抽样抽取女生数为： =5人，男生数为：人4分（II）的所有可能取值为0，1，25分，8分的分布列为012p12分20已知F1、F2是椭圆+=1的左、右焦点，O为坐标原点，点P（1，）在椭圆上，线段PF2与y轴的交点M满足+=；（1）求椭圆的标准方程；（2）O是以F1F2为直径的圆，一直线l：y=kx+m与O相切，并与椭圆交于不同的两点A、B当=且满足时，求AOB面积S的取值范围【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（）由已知条件推导出，由此能求出椭圆的标准方程（）由圆O与直线l相切，和m2=k2+1，由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m
28、22=0，由此能求出AOB面积S的取值范围【解答】解：（）+=，点M是线段PF2的中点，OM是PF1F2的中位线，又OMF1F2PF1F1F2，解得a2=2，b2=1，c2=1，椭圆的标准方程为=1（）圆O与直线l相切，即m2=k2+1，由，消去y：（1+2k2）x2+4kmx+2m22=0，直线l与椭圆交于两个不同点，0，k20，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=，=x1x2+y1y2=，解得：，S=SAOB=，设=k4+k2，则，S=，S关于在上单调递增，S（）=，S（2）=21设f（x）=，曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的
29、切线与直线x+y+1=0垂直（）求a的值；（）若对于任意的x1，+），f（x）m（x1）恒成立，求m的取值范围；（）求证：ln（4n+1）16（nN*）【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（）求出原函数的导函数，结合f（1）=1列式求得a值；（）把（）中求得的a值代入函数解析式，由f（x）m（x1）得到，构造函数，即x1，+），g（x）0然后对m分类讨论求导求得m的取值范围；（）由（）知，当x1时，m=1时，成立令，然后分别取i=1，2，n，利用累加法即可证明结论【解答】（）解：由题设f（1）=1，即a=0；（）解：，x1，+），f（x）m（x1），即，
30、设，即x1，+），g（x）0，g（1）=44m若m0，g（x）0，g（x）g（1）=0，这与题设g（x）0矛盾；若m（0，1），当，g（x）单调递增，g（x）g（1）=0，与题设矛盾；若m1，当x（1，+），g（x）0，g（x）单调递减，g（x）g（1）=0，即不等式成立；综上所述，m1（）证明：由（）知，当x1时，m=1时，成立不妨令，即，累加可得：ln（4n+1）16（nN*）选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的方程为x2=4y+4（1）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（2）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交于A，B两
31、点，|AB|=8，求l的斜率【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程【分析】（1）由x=cos，y=sin可得抛物线C的极坐标方程；（2）设A，B所对应的极径分别为1，2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得cos224sin4=0，利用极径的几何意义，即可求解【解答】解：（1）由x=cos，y=sin可得抛物线C的极坐标方程2cos24sin4=0；（2）在（1）中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为=（R），设A，B所对应的极径分别为1，2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得cos224sin4=0，cos20（否则，直线l与抛物线C没有两个公共点）于是，由|AB|=8得，所
32、以l的斜率为1或1选修4-5：不等式选讲23设函数f（x）=|2x1|+|2x3|，xR（1）解不等式f（x）5；（2）若的定义域为R，求实数m的取值范围【考点】绝对值不等式的解法；函数的值域【分析】（1）对不等式）|2x1|+|2x3|5，分x，x和x三种情况进行讨论，转化为一元一次不等式求解，把求的结果求并集，就是原不等式的解集（2）的定义域为R，转化为则f（x）+m0恒成立，即f（x）+m=0在R上无解，求函数f（x）的最小值【解答】解：（1）或或不等式的解集为（2）若的定义域为R，则f（x）+m0恒成立，即f（x）+m=0在R上无解又f（x）=|2x1|+|2x3|2x12x+3|=2，f（x）的最小值为2，所以m2