1、第一章检测(时间:90分钟满分:100分)一、选择题(每小题5分,共50分)1.若集合A=x|(2x+3)(x-2)0,B=x|2x1,则(UA)B等于()A.(-2,1)B.(-,-2(1,+)C.-2,1)D.(-,-2)(1,+)解析:A=(0,1,B=(-,-2)(0,+),UA=(-,0(1,+),(UA)B=(-,-2)(1,+).答案:D3.若直线ax+2by-2=0(a0,b0)始终平分圆x2+y2-4x-2y-8=0的周长,则1a+2b的最小值为()A.1B.3+22C.5D.42解析:已知圆的圆心坐标为(2,1),则有2a+2b-2=0,即a+b=1,故1a+2b=a+ba
2、+2(a+b)b=3+ba+2ab3+22,当且仅当b=2a时等号成立.答案:B4.若ab1b和1|a|1|b|均不能成立B.不等式1a-b1a和1|a|1|b|均不能成立C.不等式1a-b1a和a+1b2b+1a2均不能成立D.不等式1|a|1|b|和a+1a2b+1b2均不能成立解析:ab1b,|a|b|0.1|a|1|b|.又1a-b-1a=ba(a-b)0,1a-b1a.答案:B5.若11alogbaB.|logab+logba|2C.(logba)2|logab+logba|解析:方法一(特殊值法):由11a1b,知0ba1.令a=12,b=14,则logab=2,logba=12.
3、可判定选项A,B,C均正确,选项D不正确,故选D.方法二:由11a1b,得0balogaa=1,0logbalogbb=1.选项A,B,C正确.由绝对值不等式的性质,知|logab|+|logba|=|logab+logba|,故选项D不正确.答案:D6.不等式|2x-log2x|2x|+|log2x|的解集为()A.x|1x2B.x|0x1D.x|x2解析:由题意,知2x与log2x同号,故只有2x0,且log2x0,即x1.答案:C7.当0x2时,函数f(x)=1+cos2x+8sin2xsin2x的最小值为()A.2B.23C.4D.43解析:方法一:f(x)=2cos2x+8sin2x
4、2sinxcosx=1+4tan2xtanx=4tan x+1tanx4.当且仅当tan x=12时等号成立,故选C.方法二:f(x)=1+cos2x+8sin2xsin2x=5-3cos2xsin2x(02x0,故4,即f(x)4.故选C.答案:C8.不等式|sin x+tan x|a的解集为N,不等式|sin x|+|tan x|0,b0,a,b的等差中项为12,且=a+1a,=b+1b,则+的最小值是()A.3B.4C.5D.6答案:C10.设0x1,a,b都为大于零的常数,若a2x+b21-xm恒成立,则m的最大值是()A.(a-b)2B.(a+b)2C.a2b2D.a2解析:由a2x
5、+b21-x=a2x+b21-xx+(1-x)=a2+b2+a2(1-x)x+b2x1-xa2+b2+2ab=(a+b)2,当且仅当b2x2=a2(1-x)2时等号成立.故m(a+b)2.答案:B二、填空题(每小题5分,共25分)11.已知a,b,c,d(0,+),且S=aa+b+c+bb+c+d+cc+d+a+da+b+d,则S的取值范围是.解析:用放缩法,aa+b+c+daa+b+caa+c;ba+b+c+dbb+c+dbd+b;ca+b+c+dcc+d+acc+a;da+b+c+ddd+a+bdd+b.以上四个不等式相加,得1Sy,若|m-1|m=|m-1|,则m的取值范围是.解析:依题
6、意,有|m-1|m-mm-1mm12.答案:12,+13.已知f(x)是定义在(-,+)内的减函数,其图象经过A(-4,1),B(0,-1)两点,不等式|f(x-2)|1的解集是.解析:|f(x-2)|1-1f(x-2)1.因为f(x)在(-,+)上是减函数,所以-4x-20,解得-2x2.答案:x|-2x22,|22;|+|5.以其中的两个论断作为条件,其余两个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题.(写一个即可)解析:成立时,|+|=|+|425,成立.又由,知0,故|-|+|成立,即成立.答案:15.若a,b,c为RtABC的三边,其中c为斜边,则an+bn与cn(其中nN*,且n2)的
7、大小关系是.解析:ABC为直角三角形,且c为斜边,c2=a2+b2,ca0,cb0,0ac1,0bc2时,acn+bcnac2+bc2=a2+b2c2=1,an+bncn.答案:an+bn0,b=12a+3a,c=12b+3b,试比较a,b,c的大小.解:a0,b=12a+3a0,a+3a23,b+3b23,当且仅当a=b=3时等号成立.(1)当a=3时,a=b=c;(2)当a3时,b-a=12a+3a-a=3-a22a0,ba.同理c-b0,cbc;(3)当0a3,ba.c=12b+3b3,ca.又b-c=b-12b+3b=b2-32b0,bc.ac0,b0,c0,都有a2-ab+b2+b2
8、-bc+c2a2+ac+c2,其中等号成立的充要条件是1b=1a+1c.分析注意到a2-ab+b2=a2+b2-2abcos60.由余弦定理知,这是以a,b为边长且夹角为60的三角形的第三边的边长.同样b2-bc+c2是以b,c为边长且夹角为60的三角形的第三边的边长.而a2+ac+c2=a2+c2-2accos120是以a,c为边长且夹角为120的三角形的第三边的边长.于是可将a,b,c三者归结到三角形中,并从中证得不等式.证明构造平面图形如图所示,其中OA=a,OB=b,OC=c,AOB=BOC=60.由余弦定理,得a2-ab+b2=a2+b2-2abcos60=AB,b2-bc+c2=BC,a2+ac+c2=AC.因为AB+BCAC,所以有a2-ab+b2+b2-bc+c2a2+ac+c2,其中等号成立的充要条件是AB+BC=AC,即A,B,C在同一条直线上,此时SAOC=SAOB+SBOC,即12acsin 120=12absin 60+12bcsin 60,即ac=ab+bc.两边同除以abc,得1b=1a+1c,即等号成立的充要条件是1b=1a+1c.
