1、全册综合验收评价(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1已知平面向量a(1,1)，b(1，1)，则向量ab等于()A(2，1)B(2,1)C(1,0) D(1,2)解析：选Da，b，故ab(1,2)2某学校有老师200人，男学生1 200人，女学生1 000人，现用分层随机抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为n的样本，已知女学生一共抽取了80人，则n的值是()A193 B192C191 D190解析：选B，解得n192.3已知复数z满足(z1)i1i，则z等于()A2i B2iC2i D2i解析：选C由(z1)i1i，两边同乘以i，则有z11i
2、，所以z2i.4已知向量a与b的夹角为30，且|a|1，|2ab|1，则|b| 等于 ()A.B.C.D.解析：选C由题意可得ab|b|cos 30|b|，4a24abb21，即42|b|b21，由此求得|b|，故选C.5.某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为20,40)，40,60)，60,80)，80,100若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是()A45 B50C55 D60解析：选B由频率分布直方图，知低于60分的频率为(0.010.005)200.3.该班学生人数n50.6已知圆锥的表面积等于12 cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径
3、为()A1 cm B2 cmC3 cm D. cm解析：选BS表r2rlr2r2r3r212，r24，r2(cm)7已知向量a(cos 2，sin )，其中R，则|a|的最小值为()A1 B2C.D3解析：选A因为a(cos 2，sin )，所以|a|，因为R，所以1cos 1，故|a|的最小值为1.故选A.8在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若A60，b1，其面积为，则()A3B.C.D.解析：选C设ABC的面积为S，由题意知Sbcsin A，即csin 60，解得c4.由余弦定理得a2b2c22bccos A116813，即a.由正弦定理可得.二、多项选择题(本大题共4小题
4、，每小题5分，共20分)9在某次高中学科竞赛中，4 000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中的数据用该组区间中点值为代表，则下列说法中正确的是()A成绩在70,80)分的考生人数最多B不及格的考生人数为1 000C考生竞赛成绩的平均分约为70.5分D考生竞赛成绩的中位数为75分解析：选ABC由频率分布直方图可得，成绩在70,80)内的频率最高，因此考生人数最多，故A正确；由频率分布直方图可得，成绩在40,60)的频率为0.25，因此，不及格的人数为4 0000.251 000，故B正确；由频率分布直方图可得，平均分为450.1550.15650.2750.3850.
5、15950.170.5，故C正确；因为成绩在40,70)内的频率为0.45，70,80)的频率为0.3，所以中位数为701071.67，故D错误故选A、B、C.10.如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，动点E在线段A1C1上，F，M分别是AD，CD的中点，则下列结论中正确的是()AFMA1C1BBM平面CC1FC存在点E，使得平面BEF平面CC1D1DD三棱锥BCEF的体积为定值解析：选ABD在A中，因为F，M分别是AD，CD的中点，所以FMACA1C1，故A正确；在B中，因为tanBMC2，tanCFD2，所以BMCCFD，所以BMCDCFCFDDCF，故BMCF，又BMC1C，
6、CFC1CC，所以BM平面CC1F，故B正确；在C中，BF与平面CC1D1D有交点，所以不存在点E，使得平面BEF平面CC1D1D，故C错误；在D中，若三棱锥BCEF以面BCF为底，则高是定值，所以三棱锥BCEF的体积为定值，故D正确故选A、B、D.11空气质量指数AQI是反映空气质量状况的指数，AQI指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表：AQI指数值05110115120130050100150200300空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染如图是某市12月1日20日AQI指数变化趋势：下列叙述正确的是()A这20天中AQI指数值的中位数略高于100B这20天中的中度污染及以
7、上的天数占C该市12月的前半个月的空气质量越来越好D总体来说，该市12月上旬的空气质量比中旬的空气质量好解析：选ABD对A：将这20天的数据从小到大排序后，第10个数据略小于100，第11个数据约为120，因为中位数是这两个数据的平均数，故中位数略高于100是正确的，故A正确；对B：这20天中，AQI指数大于150的有5天，故中度污染及以上的天数占是正确的，故B正确；对C：由折线图可知，前5天空气质量越来越好，从6日开始至15日越来越差，故C错误；对D：由折线图可知，上旬AQI指数大部分在100以下，中旬AQI指数大部分在100以上，故上旬空气质量比中旬的要好，故D正确故选A、B、D.12.如
8、图，在四边形ABCD中，ABCD，ABAD，AB2AD2DC，E为BC边上一点，且3，F为AE的中点，则()ABCD解析：选ABCABCD，ABAD，AB2AD2DC，由向量加法的三角形法则得，A对；3，又F为AE的中点，B对；，C对；，D错故选A、B、C.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13设0，向量a(sin 2，cos )，b(cos ，1)，若ab，则tan _.解析：ab，sin 21cos20，2sin cos cos20，0，cos 0，2sin cos ，tan .答案：14在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2c2b2)tan Bac，则
9、角B的值为_解析：由余弦定理，得cos B，结合已知等式得cos Btan B，sin B，B或.答案：或15.如图所示，已知在长方体ABCDEFGH中，AB2，AD2，AE2，则BC和EG所成角的大小是_，AE和BG所成角的大小是_解析：BC与EG所成的角等于EG与FG所成的角，即EGF，tanEGF1，EGF45.AE与BG所成的角等于BF与BG所成的角，即GBF，tanGBF，GBF60.答案：456016在四面体SABC中，SASB2，且SASB，BC，AC，则该四面体体积的最大值为_，该四面体外接球的表面积为_解析：因为SASB2，且SASB，BC，AC，所以ABSA2，因此BC2A
10、C2AB2，则ACBC.如图，取AB中点为O，连接OS，OC，则OAOBOCOS，所以该四面体的外接球的球心为O，半径为OC，所以该四面体外接球的表面积为S4()28.又因为SASB，所以SOAB.因为底面三角形ABC的面积为定值ACBC，SO的长也为确定的值，因此，当SO平面ABC时，四面体的体积最大，为VSABCSO.答案：8四、解答题(本大题共6小题，共70分)17(10分)在平面直角坐标系xOy中，已知向量m，n(sin x，cos x)，x.(1)若mn，求tan x的值；(2)若m与n的夹角为，求x的值解：(1)因为m，n(sin x，cos x)，mn，所以mn0，即sin xc
11、os x0，所以sin xcos x，所以tan x1.(2)因为|m|n|1，所以mncos，即sin xcos x，所以sin.因为0x，所以x，所以x，即x.18(12分)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知cos B，sin(AB)，ac2，求sin A和c的值解：在ABC中，由cos B，得sin B，因为ABC，所以sin Csin(AB).因为sin Csin B，所以CB，可知C为锐角所以cos C.因此sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C.由，可得a2c，又ac2，所以c1.19(12分)2019年全国移动互联创新大赛在3月到10
12、月期间举行，为了选出优秀选手，某高校先在计算机科学系选出一名种子选手甲，再从全校征集出3位志愿者分别与甲进行一场技术对抗赛，根据以往经验，甲与这三位志愿者进行比赛一场获胜的概率分别为，且各场输赢互不影响求甲恰好获胜两场的概率解：设甲与三位志愿者比赛一场获胜的事件分别为A，B，C，则P(A)，P(B)，P(C)，则甲恰好获胜两场的概率为：PP(BC)P(AC)P(AB)P()P(B)P(C)P(A)P()P(C)P(A)P(B)P().20.(12分)如图，三棱台DEFABC中，AB2DE，G，H分别为AC，BC的中点(1)求证：BD平面FGH；(2)若CFBC，ABBC，求证：平面BCD平面E
13、GH.证明：(1)如图，连接DG，CD，设CDGFM，连接MH.在三棱台DEFABC中，AB2DE，G为AC的中点，可得DFGC，DFGC，所以四边形DFCG为平行四边形，则M为CD的中点又H为BC的中点，所以HMBD.又HM平面FGH，BD平面FGH，所以BD平面FGH.(2)连接HE，GE.因为G，H分别为AC，BC的中点，所以GHAB.由ABBC，得GHBC.又H为BC的中点，所以EFHC，EFHC，因此四边形EFCH是平行四边形，所以CFHE.因为CFBC，所以HEBC.又HE平面EGH，GH平面EGH，HEGHH，所以BC平面EGH.又BC平面BCD，所以平面BCD平面EGH.21(
14、12分)交通指数是指交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值，记交通指数为T，其范围为0,10，分别有五个级别：T0,2)，畅通；T2,4)，基本畅通；T4,6)，轻度拥堵；T6,8)，中度拥堵；T8,10，严重拥堵在晚高峰时段(T2)，从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示(1)求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段的个数；(2)用分层抽样的方法从轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段中共抽取6个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数；(3)从(2)中抽取的6个路段中任取2个，求至少有1个路段为轻度拥堵的概率解：(1)由频率分
15、布直方图得，这20个交通路段中，轻度拥堵的路段有(0.10.2)1206(个)，中度拥堵的路段有(0.250.2)1209(个)，严重拥堵的路段有(0.10.05)1203(个)(2)由(1)知，拥堵路段共有69318(个)，按分层抽样，从18个路段中抽取6个，则抽取的三个级别路段的个数分别为62，93，31，即从交通指数在4,6)，6,8)，8,10的路段中分别抽取的个数为2,3,1.(3)记抽取的2个轻度拥堵路段为A1，A2，抽取的3个中度拥堵路段为B1，B2，B3，抽取的1个严重拥堵路段为C1，从这6个路段中抽取2个路段，试验的样本空间为(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(
16、A1，B3)，(A1，C1)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C1)，(B2，B3)，(B2，C1)，(B3，C1)，共15个样本点，其中至少有1个路段为轻度拥堵包含的样本点有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，共9个所以所抽取的2个路段中至少有1个路段为轻度拥堵的概率为.22(12分)如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB2，AA12，由顶点B沿棱柱侧面经过棱AA1到顶点C1的最短路线与棱AA1的交点记为M，
17、求：(1)三棱柱的侧面展开图的对角线长；(2)该最短路线的长及的值；(3)平面C1MB与平面ABC所成二面角(锐角)的大小解：(1)正三棱柱ABCA1B1C1的侧面展开图是长为6，宽为2的矩形，其对角线长为2.(2)如图，将侧面AA1B1B绕棱AA1旋转120使其与侧面AA1C1C在同一平面上，点B运动到点D的位置连接DC1交AA1于M，则DC1是由顶点B沿棱柱侧面经过棱AA1到顶点C1的最短路线，DC12.DMAA1MC1，MADMA1C1，DAA1C1，DMAC1MA1，AMA1M，故1.即最短路线的长为2，此时1.(3)如图，连接DB，则DB是平面C1MB与平面ABC的交线在DCB中，DBCCBAABD603090，CBDB.又平面CBB1C1平面ABC，平面CBB1C1平面ABCBC，DB平面ABC，DB平面CBB1C1，C1BDB，C1BC是平面C1MB与平面ABC所成二面角的平面角(锐角)侧面CBB1C1是正方形，C1BC45，故平面C1MB与平面ABC所成的二面角(锐角)为45.