1、2020-2021学年北京二十中高二（下）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每题4分，共40分）.1已知集合M（3，5，N5，+），则MN（）A（3，+）B5C（3，5）D5，+）2命题“x（0，+），exx+1”的否定是（）Ax（0，+），exx+1Bx（0，+），exx+1Cx（0，+），exx+1Dx（，0，exx+13已知1a0，b0，则b，ab，a2b的大小关系是（）Ababa2bBa2babbCa2bbabDba2bab4函数yf（x）在x0处的切线l经过点（1，0），如图所示，则f（0）+f（1）（）A0B1C1D25已知数列an和bn满足bn|an|，则“数列an为等比数列”
2、是“数列bn为等比数列”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件6中国古典乐器一般按“八音”分类“八音”是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最先见于周礼春官大师，分为金、石、土、革、丝、木、匏（po）、竹”八音其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器现从“八音”中任取不同的“两音”，则含有打击乐器的概率为（）ABCD7已知an是等差数列，公差d0，前n项和为Sn，若a3，a4，a8成等比数列，则（）Aa10，S40Ba10，S40Ca10，S40Da10，S408函数f（x）x3+kx27x在区间1，+）上
3、单调递增，则实数k的取值范围是（）A（，2B（，2）C2，2D2，+）9无穷数列an由k个不同的数组成，前n项和为Sn，若对nN*，Sn2，3，则k的最大值是（）A3B4C5D610已知aR设函数f（x）若关于x的不等式f（x）0在R上恒成立，则a的取值范围为（）A0，1B0，2C0，eD1，e二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分11已知f（x）cosxex，则f（0） 12设（3x2x）n展开式的二项式系数和为32，则含x6的系数是 13已知数列an满足kN*，ak+1ak，kN*，|ak+1ak|2，请写出一个满足条件的数列的通项公式 （答案不唯一）14已知数列an满足a11，
4、a22，a33，an+3，下列说法正确的是 a49；nN*，an都是正整数；a2k1，a2k，a2k+1成等差数列；kN*，nN*，an+an+2kan+1三、解答题：本大题共6小题，共85分15设数列an是各项均为正数的等比数列，a38，a4+a548（1）求数列an的通项公式；（2）设数列bn的通项公式为bnan+n1，求数列bn的前n项和Sn162021年6月18时48分，我国航天员聂海胜、刘伯明、汤洪波先后进入天和核心舱，这标志着中国人首次进入自己的空间站，后续还会有更多航天员进入天和核心舱开展研究工作我国的航天员一般是从空军歼击机或强击机在飞的合格飞行员当中挑选的某校甲、乙、丙三位同
5、学立志投身祖国的航天事业，于是报考了空军飞行员，选空军飞行员可以说是“万里挑一”，要想通过需要五关：目测、初检、复检、文考（文化考试）、政审若某校甲、乙、丙三位同学都顺利通过了前两关，根据分析甲、乙、丙三位同学通过复检关的概率分别是0.5，0.6，0.75，能通过文考关的概率分别是0.6，0.5，0.4，由于他们平时表现较好，都能通过政审关，若后三关之间通过与否没有影响（1）求甲被录取成为空军飞行员的概率；（2）设只要通过后三关就可以被录取，求录取人数X的分布列及期望17已知函数f（x）xlnx（1）求曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）求证：f（x）x2+x18单板滑雪U型池
6、比赛是冬奥会比赛中的一个项目，进入决赛阶段的12名运动员按照预赛成绩由低到高的出场顺序轮流进行三次滑行，裁判员根据运动员的腾空高度、完成的动作难度和效果进行评分，最终取单次最高分作为比赛成绩现有运动员甲，乙二人在2021赛季单板滑雪U型池世界杯分站比赛成绩如表：分站运动员甲的三次滑行成绩运动员乙的三次滑行成绩第1次第2次第3次第1次第2次第3次第1站80.2086.2084.0380.1188.400第2站92.8082.1386.3179.3281.2288.60第3站79.10087.5089.1075.3687.10第4站84.0289.5086.7175.1388.2081.01第5站
7、80.0279.3686.0085.4087.0487.70假设甲、乙二人每次比赛成绩互独立（）从如表5站中随机选取1站，求在该站运动员甲的成绩高于运动员乙的成绩的概率；（）从如表5站中任意选取2站，用X表示这2站中甲的成绩高于乙的成绩的站数，求X的分布列和数学期望；（）假如从甲、乙2人中推荐1人参加2022年北京冬奥会单板滑雪U型池比赛，根据以上数据信息，你推荐谁参加，并说明理由（注：方差s2（x1）2+（x2）2+（xn）2，其中为x1，x2，xn的平均数）19设函数f（x）exax2（1）求f（x）的单调区间；（2）若a1，k为整数，且当x0时，（xk）f（x）+x+10，求k的最大值2
8、0设n是正整数，对每一个满足0ain（i1，2，n）的整数数列A：0，a1，an，定义变换T：T将数列A变换成数列T（A）：0，T（a1），T（a2），T（an），其中T（ai）为数列A位于ai之前的与ai不相等的项的个数（i1，2，n），令Ak+1T（Ak）（k0，1，2，）（1）已知数列A0分别为0，1，2，3和0，0，2，0，1，3，请写出对应的数列A1，A2，A3；（2）数列B：0，b1，b2，bn，满足bi1bi，且bii或bi1（i1，2，n），求证：T（B）B；（3）求证：对任意满足已知条件的数列A0，当上kn时，AkT（Ak）参考答案一、选择题（共10小题，每题4分，共40分）
9、.1已知集合M（3，5，N5，+），则MN（）A（3，+）B5C（3，5）D5，+）解：M（3，5，N5，+），MN（3，+）故选：A2命题“x（0，+），exx+1”的否定是（）Ax（0，+），exx+1Bx（0，+），exx+1Cx（0，+），exx+1Dx（，0，exx+1解：命题为全称命题，则命题“x（0，+），exx+1”的否定是x（0，+），exx+1，故选：C3已知1a0，b0，则b，ab，a2b的大小关系是（）Ababa2bBa2babbCa2bbabDba2bab解：取特殊值：a，b1，则ab，a2b，故ba2bab，故选：D4函数yf（x）在x0处的切线l经过点（1，0），
10、如图所示，则f（0）+f（1）（）A0B1C1D2解：由图可知，x1是函数的极大值点，则f（1）0，又函数yf（x）在x0处的切线l经过点（1，0），直线l的斜率k1，即f（0）1f（0）+f（1）1+01故选：B5已知数列an和bn满足bn|an|，则“数列an为等比数列”是“数列bn为等比数列”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解：数列an和bn满足bn|an|，则“数列an为等比数列”“数列bn为等比数列”，反之不成立：例如：bn1，an为：1，1，1，1，数列an为等比数列”是“数列bn为等比数列”的充分不必要条件故选：A6中国古典乐器一般按
11、“八音”分类“八音”是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最先见于周礼春官大师，分为金、石、土、革、丝、木、匏（po）、竹”八音其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器现从“八音”中任取不同的“两音”，则含有打击乐器的概率为（）ABCD解：八音”是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，分为金、石、土、革、丝、木、匏（po）、竹”八音其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器现从“八音”中任取不同的“两音”，基本事件总数n，含有打击乐器包含的基本事件个数m22，含有打击乐器的概率为p故选：B7已知an是等
12、差数列，公差d0，前n项和为Sn，若a3，a4，a8成等比数列，则（）Aa10，S40Ba10，S40Ca10，S40Da10，S40【解答】因为a3，a4，a8成等比数列，所以，即，即，因为d0，所以a10；而，故选：A8函数f（x）x3+kx27x在区间1，+）上单调递增，则实数k的取值范围是（）A（，2B（，2）C2，2D2，+）解：f（x）x3+kx27x，f（x）3x2+2kx7，函数f（x）在区间1，+）上单调递增，f（x）3x2+2kx70在1，+）上恒成立，即，设g（x），则2kg（x）max，由复合函数的单调性，可得g（x）在区间1，+）上单调递减，g（x）g（1）3+74，
13、2k4，即k2，实数k的取值范围为2，+）故选：D9无穷数列an由k个不同的数组成，前n项和为Sn，若对nN*，Sn2，3，则k的最大值是（）A3B4C5D6解：由nN*，Sn2，3，得a1S12，3，当n2时，anSnSn1，所以an0，1，所以数列an最多有2，0，1，1或3，0，1，1，共有4个元素，故选：B10已知aR设函数f（x）若关于x的不等式f（x）0在R上恒成立，则a的取值范围为（）A0，1B0，2C0，eD1，e解：当x1时，f（1）12a+2a10恒成立；当x1时，f（x）x22ax+2a02a恒成立，令g（x）（1x+2）（22）0，2ag（x）max0，a0当x1时，f
14、（x）xalnx0a恒成立，令h（x），则h（x），当xe时，h（x）0，h（x）递增，当1xe时，h（x）0，h（x）递减，xe时，h（x）取得最小值h（e）e，ah（x）e，综上a的取值范围是0，e故选：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分11已知f（x）cosxex，则f（0）1解：f（x）（cosx）ex+cosx（ex）（sinx）ex+（cosx）exex（cosxsinx），f（0）e0（cos0sin0）1故答案为：112设（3x2x）n展开式的二项式系数和为32，则含x6的系数是 15解：（3x2x）n展开式的二项式系数和为32，+2n32，解得n5（3x2x）
15、5展开式的第r+1项为Tr+1（3x2）5r（x）r（1）r35rx10r，由10r6，得r4，含x6的系数是（1）4315故答案为：1513已知数列an满足kN*，ak+1ak，kN*，|ak+1ak|2，请写出一个满足条件的数列的通项公式 ann（答案不唯一）解：由数列an满足kN*，ak+1ak，可知数列为递增数列，满足kN*，|ak+1ak|2，可知后一项与前一项差的绝对值小于等于2，则可求数列an的一个通项公式为ann故答案为：ann14已知数列an满足a11，a22，a33，an+3，下列说法正确的是 a49；nN*，an都是正整数；a2k1，a2k，a2k+1成等差数列；kN*，
16、nN*，an+an+2kan+1解：，故错误；因为an+3，所以an+3anan+1an+27，an+4an+1an+2an+37，两式相减得：an+3（an+an+2）an+1（an+2+an+4），即于是令，则有bnbn+2，又因为，所以，所以an+2bnan+1an又因为a11，a22，a33均为整数，所以nN*，an都是整数，故正确；当n为奇数时，则n+1为偶数，n+2为奇数，即an+an+22an+1，即a2k1+a2k+12a2k，所以a2k1，a2k，a2k+1成等差数列，故正确；因为，所以当n为奇数时，an+an+22an+1；当n为偶数时，an+an+25an+1，故错误故答
17、案为：三、解答题：本大题共6小题，共85分15设数列an是各项均为正数的等比数列，a38，a4+a548（1）求数列an的通项公式；（2）设数列bn的通项公式为bnan+n1，求数列bn的前n项和Sn解：（1）数列an是各项均为正数的等比数列，设数列的首项为a1，公比为q，由于a38，a4+a548，所以 ，解得q2或3（负值舍去），所以a12故（2）由（1）得：数列bn的通项公式为bnan+n12n+n1，所以162021年6月18时48分，我国航天员聂海胜、刘伯明、汤洪波先后进入天和核心舱，这标志着中国人首次进入自己的空间站，后续还会有更多航天员进入天和核心舱开展研究工作我国的航天员一般是
18、从空军歼击机或强击机在飞的合格飞行员当中挑选的某校甲、乙、丙三位同学立志投身祖国的航天事业，于是报考了空军飞行员，选空军飞行员可以说是“万里挑一”，要想通过需要五关：目测、初检、复检、文考（文化考试）、政审若某校甲、乙、丙三位同学都顺利通过了前两关，根据分析甲、乙、丙三位同学通过复检关的概率分别是0.5，0.6，0.75，能通过文考关的概率分别是0.6，0.5，0.4，由于他们平时表现较好，都能通过政审关，若后三关之间通过与否没有影响（1）求甲被录取成为空军飞行员的概率；（2）设只要通过后三关就可以被录取，求录取人数X的分布列及期望解：（1）设甲，乙，丙三位同学分别通过复检为事件A，B，C，通
19、过文考为A1，B1，C1，由题意可得，P（A）0.5，P（B）0.6，P（C）0.75，P（A1）0.6，P（B1）0.5，P（C1）0.4，甲被录取成为空军飞行员的概率P1110.50.610.3（2）由题意可得，甲同学被录取的概率P10.50.610.3，乙同学被录取的概率P10.60.510.3，丙同学被录取的概率P10.750.410.3，该事件可看作3次的独立重复试验，其中随机变量X可能值为0，1，2，3，0.027，故随机变量X的分布列为：X 0 1 2 3 P 0.343 0.441 0.1890.027EXnp30.30.917已知函数f（x）xlnx（1）求曲线yf（x）在点
20、（1，f（1）处的切线方程；（2）求证：f（x）x2+x解：（1）f（x）lnx+1f（1）1，又f（1）0，所以曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程为yx1（2）证明：f（x）x2+xxlnxx2+xlnxx+1lnxx10，构造函数，当0x1时，g（x）0，g（x）在（0，1）上单调递增，当x1时，g（x）0，g（x）在（1，+）上单调递减，所以g（x）maxg（1）20，所以lnxx1018单板滑雪U型池比赛是冬奥会比赛中的一个项目，进入决赛阶段的12名运动员按照预赛成绩由低到高的出场顺序轮流进行三次滑行，裁判员根据运动员的腾空高度、完成的动作难度和效果进行评分，最终取单次最高分
21、作为比赛成绩现有运动员甲，乙二人在2021赛季单板滑雪U型池世界杯分站比赛成绩如表：分站运动员甲的三次滑行成绩运动员乙的三次滑行成绩第1次第2次第3次第1次第2次第3次第1站80.2086.2084.0380.1188.400第2站92.8082.1386.3179.3281.2288.60第3站79.10087.5089.1075.3687.10第4站84.0289.5086.7175.1388.2081.01第5站80.0279.3686.0085.4087.0487.70假设甲、乙二人每次比赛成绩互独立（）从如表5站中随机选取1站，求在该站运动员甲的成绩高于运动员乙的成绩的概率；（）从如
22、表5站中任意选取2站，用X表示这2站中甲的成绩高于乙的成绩的站数，求X的分布列和数学期望；（）假如从甲、乙2人中推荐1人参加2022年北京冬奥会单板滑雪U型池比赛，根据以上数据信息，你推荐谁参加，并说明理由（注：方差s2（x1）2+（x2）2+（xn）2，其中为x1，x2，xn的平均数）解：（）由题意可知，甲乙两人在五站中最好的成绩依次为：甲：86.20，92.80，87.50，89.50.86.00；乙：88.40，88.60，89.10，88.20，87.70，所以5站中随机选取1站，在该站运动员甲的成绩高于运动员乙的成绩的概率为；（）由题意可得，X的可能取值为0，1，2，所以P（X0），
23、P（X1），P（X2），所以X的分布列为：X 0 1 2 P 期望为E（X）；（）由可知（），甲：86.20，92.80，87.50，89.50.86.00；乙：88.40，88.60，89.10，88.20，87.70，所以甲的平均成绩为88.4，乙的平均成绩也为88.4，又甲的方差为（86.2088.40）2+（92.8088.40）2+（87.5088.40）2+（89.5088.40）2+（86.0088.40）26.3960，乙的方差为（88.4088.40）2+（88.6088.40）2+（89.1088.40）2+（88.2088.40）2+（87.7088.40）20.2120
24、，所以乙的成绩更为稳定，故推荐乙参加19设函数f（x）exax2（1）求f（x）的单调区间；（2）若a1，k为整数，且当x0时，（xk）f（x）+x+10，求k的最大值解：（1）f（x）的定义域为R，f（x）exa，若a0，则f（x）0，f（x）在R上单调递增；若a0，则f（x）0解得xlna当x变化时，f（x），f（x）变化如下表：x（，lna）lna（lna，+）f（x）0+f（x）减极小值增所以，f（x）的单调减区间是：（，lna），增区间是：（lna，+）（2）由于a1，所以（xk）f（x）+x+1（xk）（ex1）+x+1故当x0时，（xk）f（x）+x+10等价于k+x（x0），令
25、g（x）+x，则g（x），而函数f（x）exx2在（0，+）上单调递增，f（1）0，f（2）0，所以f（x）在（0，+）存在唯一的零点故g（x）在（0，+）存在唯一的零点设此零点为a，则a（1，2）当x（0，a）时，g（x）0；当x（a，+）时，g（x）0所以g（x）在（0，+）的最小值为g（a）又由g（a）0，可得eaa+2，所以g（a）a+1（2，3）由于式等价于kg（a），故整数k的最大值为220设n是正整数，对每一个满足0ain（i1，2，n）的整数数列A：0，a1，an，定义变换T：T将数列A变换成数列T（A）：0，T（a1），T（a2），T（an），其中T（ai）为数列A位于ai之
26、前的与ai不相等的项的个数（i1，2，n），令Ak+1T（Ak）（k0，1，2，）（1）已知数列A0分别为0，1，2，3和0，0，2，0，1，3，请写出对应的数列A1，A2，A3；（2）数列B：0，b1，b2，bn，满足bi1bi，且bii或bi1（i1，2，n），求证：T（B）B；（3）求证：对任意满足已知条件的数列A0，当上kn时，AkT（Ak）【解答】（1）当A00，1，2，3时，有A1A2A30，1，2，3；当A00，0，2，0，1，3时，有A10，0，2，1，4，5，A2A30，0，2，3，4，5（2）证明：当b10时，显然T（b1）0；当b11时，显然T（b1）1若bk+1bk（k
27、1），由T（bk）bk，前k项中与bk不相等的项有bk个，故前k+1项中与bk+1不相等的项有bk个，所以T（bk+1）bk，即T（bk+1）bk+1；若bk+1k+1，由条件知b0b1bkkbk+1，故T（bk+1）k+1bk+1因为k1，2，n1，且具有任意性，所以T（B）B（3）证明：设A0a0，a1，a2，an，则A10，T（a1），T（a2），T（an）假设数列A1中第一个不为0的项为第m+1项T（am）（m1），显然T（am）m，即A10，0，m，T（am+1），an，下面考察此A1若T（am+1）m，则A1中第m+2项满足（2）中的条件；若T（am+1）m，则A2T（A1）0，0，m，m+1，TT（am+2），TT（an），即A2中第m+2项满足（2）中的条件；因为数列A0a0，a1，a2，an一共有n+1项，所以在至多n次后，An中每一项均满足（2）中的条件，即kn时，AkT（Ak）
