1、习题课（一） 空间向量与立体几何一、选择题1若直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，能使l的是()Aa(1,0,1)，n(2,0,0)Ba(1,3,5)，n(1,0,1)Ca(0,2,1)，n(1,0，1)Da(1，1,3)，n(0,3,1)解析：选D若l，则an0，只有选项D中an0.2已知空间三点O(0,0,0)，A(1,1,0)，B(0,1,1)，在直线OA上有一点H满足BHOA，则点H的坐标为()A(2,2,0)B(2，2,0)C. D.解析：选C由(1,1,0)，且点H在直线OA上，可设H(，0)，则(，1，1)又BHOA，0，即(，1，1)(1,1,0)0，即10，解得，H.3已
2、知A(1,0,0)，B(0，1,1)，与的夹角为120，则的值为()A BC D解析：选C(1，)，cos 120，得.经检验不合题意，舍去，所以.4(2018全国卷)在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA1，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A BC D解析：选C法一：如图，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系由题意，得A(1,0,0)，D(0,0,0)，D1(0,0，)，B1(1,1，)，(1,0，)，(1,1，)，1101()22，|2，|，cos，.法二：如图，在长方体ABCDA1B1C1D1的一侧补上一个相同的长方体EFBAE1
3、F1B1A1.连接B1F，由长方体性质可知，B1FAD1，所以DB1F为异面直线AD1与DB1所成的角或其补角连接DF，由题意，得DF，FB12，DB1.在DFB1中，由余弦定理，得DF2FBDB2FB1DB1cosDB1F，即54522cos DB1F，cos DB1F.5.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，底面ABC是等腰直角三角形，ACB90，侧棱AA12，D，E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G.则A1B与平面ABD所成角的正弦值为()A BC D解析：选A以C为坐标原点，CA所在的直线为x轴，CB所在的直线为y轴，CC1所在的
4、直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示设CACBa，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，A1(a,0,2)，D(0,0,1)，E，G，(0，a,1)点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G，平面ABD，0，解得a2.，(2，2,2)，平面ABD，为平面ABD的一个法向量又cos，A1B与平面ABD所成角的正弦值为.6.如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MPMC.则点M在正方形ABCD内的轨迹为()解析：选A如图，以D为原点，DA，DC所在的直线分别为x，y轴建立如图所示的空间直角坐标系设正方形A
5、BCD的边长为a，M(x，y,0)，则0xa,0ya，P，C(0，a,0)，则|，|.由|，得x2y，所以点M在正方形ABCD内的轨迹为一条线段yx(0xa)，故选A.二、填空题7若向量a(1,1，x)，b(1,2,1)，c(1,1,1)满足条件(ca)2b2，则x_.解析：a(1,1，x)，b(1,2,1)，c(1,1,1)，ca(0,0,1x)，2b(2,4,2)(ca)2b2(1x)2，x2.答案：28正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值等于_解析：如图，连接BD交AC于O，连接D1O，由于BB1DD1，DD1与平面ACD1所成的角就是BB1与平面ACD1
6、所成的角易知DD1O即为所求设正方体的棱长为1，则DD11，DO，D1O，cosDD1O.BB1与平面ACD1所成角的余弦值为.答案： 9在三棱柱ABCA1B1C1中，底面是棱长为1的正三角形，侧棱AA1底面ABC，点D在棱BB1上，且BD1，若AD与平面AA1C1C所成的角为，则sin 的值等于_解析：如图所示，建立空间直角坐标系，易求得点D，平面AA1C1C的一个法向量是n(1,0,0)，所以cosn，即sin .答案：三、解答题10如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，ABAA1，点D是A1B1的中点求直线AD和平面ABC1夹角的正弦值解：如图所示，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直
7、角坐标系不妨设AA1，则AB2，相关各点的坐标分别是A(0，1,0)，B(，0,0)，C1(0,1，)，D.易知(，1,0)，(0,2，)，.设平面ABC1的一个法向量为n(x，y，z)，则有解得xy，zy.故可取n(1，)所以cosn，.即直线AD和平面ABC1夹角的正弦值为.11.如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABCD，ADCD1，BAD120，ACB90.(1)求证：BC平面PAC；(2)若二面角DPCA的余弦值为，求点A到平面PBC的距离解：(1)证明：PA底面ABCD，BC平面ABCD，PABC，ACB90，BCAC，又PAACA，BC平面PAC.(2)设APh，取CD
8、的中点E，则AECD，AEAB.又PA底面ABCD，PAAE，PAAB，故建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，P(0,0，h)，C，D，B(0,2,0)，(0,1,0)，设平面PDC的法向量n1(x1，y1，z1)，则即取x1h，n1.由(1)知平面PAC的一个法向量为，|cosn1，|，解得h，同理可求得平面PBC的一个法向量n2(3，2)，所以，点A到平面PBC的距离为d.12如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，ABAC2，A1A4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点(1)证明：A1D平面A1BC；(2)求二面角A1BDB1的平面角的余弦值解：
9、(1)证明：设E为BC的中点，由题意得A1E平面ABC，所以A1EAE.因为ABAC，所以AEBC.故AE平面A1BC.由D，E分别为B1C1，BC的中点，得DEB1B且DEB1B，从而DEA1A且DEA1A，所以A1AED为平行四边形故A1DAE.又因为AE平面A1BC，所以A1D平面A1BC.(2)以CB的中点E为原点，分别以射线EA，EB为x轴，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系Exyz，如图所示由题意知各点坐标如下：A1(0,0，)，B(0，0)，D(，0，)，B1(，)因此(0，)，(，)，(0，0)设平面A1BD的法向量为m(x1，y1，z1)，平面B1BD的法向量为n(x2，y2，z2)由即可取m(0，1)由即可取n(，0,1)于是|cosm，n|.由题意可知，所求二面角的平面角是钝角，故二面角A1BDB1的平面角的余弦值为.