1、2016-2017学年广东省清远市清新一中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题（60分，每题5分）1倾斜角为120且在y轴上的截距为2的直线方程为（）Ay=x+2By=x2Cy=x+2Dy=x22抽查10件产品，设事件A：至少有2件次品，则A的对立事件为（）A至多有2件次品B至多有1件次品C至多有2件正品D至多有1件正品3某校拟从高一年级、高二年级、高三年级学生中抽取一定比例的学生调查对“荆马”（荆门国际马拉松）的了解情况，则最合理的抽样方法是（）A抽签法B系统抽样法C分层抽样法D随机数法4已知直线l1：axy+a=0，l2：（2a3）x+aya=0互相平行，则a的值是（）A1B3C
2、1或3D05已知变量x服从正态分布N（4，2），且P（x2）=0.6，则P（x6）=（）A0.4B0.3C0.2D0.16圆（x+2）2+y2=2016关于直线xy+1=0对称的圆的方程为（）A（x2）2+y2=2016Bx2+（y2）2=2016C（x+1）2+（y+1）2=2016D（x1）2+（y1）2=20167执行如图所示的程序框图，则输出的S为（）A2BCD38下列说法中，错误的一个是（）A将23（10）化成二进位制数是10111（2）B在空间坐标系点M（1，2，3）关于x轴的对称点为（1，2，3）C数据：2，4，6，8的方差是数据：1，2，3，4的方差的2倍D若点A（1，0）在圆
3、x2+y2mx+1=0的外部，则m29如图是某位篮球运动员8场比赛得分的茎叶图，其中一个数据染上污渍用x代替，则这位运动员这8场比赛的得分平均数不小于得分中位数的概率为（）ABCD10设P为直线3x+4y+3=0上的动点，过点P作圆C：x2+y22x2y+1=0的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB的面积的最小值为（）A1BCD11在以“菊韵荆门，荣耀中华”为主题的“中国荆门菊花展”上，工作人员要将6盆不同品种的菊花排成一排，其中甲，乙在丙同侧的不同排法种数为（）A120B240C360D48012已知等边ABC的边长为2，动点P、M满足|=1， =，则|2的最小值是（）ABCD二、填
4、空题（20分，每题5分）13四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1AB=A1AD=DAB=60，A1A=AB=AD=1，则AC1=14设x，y满足约束条件：；则z=x2y的取值范围为15数列an的前n项和为Sn，且an+1=，a1=2，则S2017=16平面内到定点F（0，1）和定直线l：y=1的距离之和等于4的动点的轨迹为曲线C，关于曲线C的几何性质，给出下列四个结论：曲线C的方程为x2=4y； 曲线C关于y轴对称 若点P（x，y）在曲线C上，则|y|2； 若点P在曲线C上，则1|PF|4其中，所有正确结论的序号是三、解答题17已知aR，设命题p：空间两点B（1，a，2）与C（a+1，a+3
5、，0）的距离|BC|；命题q：函数f（x）=x22ax2在区间（0，3）上为单调函数（）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（）若命题“q”和“pq”均为假命题，求实数a的取值范围18某班级将从甲、乙两位同学中选派一人参加数学竞赛，老师对他们平时的5次模拟测试成绩（满分：100分）进行了记录，其统计数据的茎叶图如图所示，已知甲、乙两位同学的平均成绩都为90分（）求出a，b的值；（）分别计算这两组数据的方差，并根据统计学知识，请你判断选派哪位学生参加合适？（）从甲同学的5次成绩中任取两次，若两次成绩的平均分大于90，则称这两次成绩为“优秀组合”，求甲同学的两次成绩为“优秀组合”的概率19在四棱
6、锥PABCD中，ABC，ACD都为等腰直角三角形，ABC=ACD=90，PAC是边长为2的等边三角形，PB=，E为PA的中点（）求证：BE平面PAD；（）求二面角CPAD的余弦值20某校一块空地的轮廓线如图所示，曲线段OM是以O为顶点，ON为对称轴且开口向右的抛物线的一段，已知ON=4（单位：百米），MN=4现计划在该区域内围出一块矩形地块ABNC作为学生活动区域，其余阴影部分进行绿化建设，其中A在曲线段OM上，C在MN上，B在ON上（）建立适当的坐标系，求曲线段OM所在的抛物线的方程；（）为降低绿化成本，试确定A的位置，使绿化建设的面积取到最小值，并求出该最小值21已知椭圆C：的离心率为，点
7、在椭圆C上（）求椭圆C的方程；（）过椭圆C的右焦点F作直线l与椭圆C交于不同的两点M（x1，y1），N（x2，y2），若点P与点N关于x轴对称，判断直线PM是否恒过定点，若是，求出该点的坐标；若不是，请说明理由22已知函数f（x）=xalnx（）当ab=1，a1时，讨论函数f（x）的单调性；（）当b=1，a4时，不等式f（x）在区间2，4上恒成立，求实数a的取值范围2016-2017学年广东省清远市清新一中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（60分，每题5分）1倾斜角为120且在y轴上的截距为2的直线方程为（）Ay=x+2By=x2Cy=x+2Dy=x2【考点】直
8、线的斜截式方程【分析】由直线的倾斜角求出斜率，然后直接由直线方程的斜截式得答案【解答】解：tan120=，所求直线的斜率为，又直线在y轴上的截距为2，由直线方程的斜截式得y=x2，故选：B2抽查10件产品，设事件A：至少有2件次品，则A的对立事件为（）A至多有2件次品B至多有1件次品C至多有2件正品D至多有1件正品【考点】互斥事件与对立事件【分析】根据对立事件的定义，至少有n个的对立事件是至多有n1个，由事件A：“至少有两件次品”，我们易得结果【解答】解：至少有n个的否定是至多有n1个又事件A：“至少有两件次品”，事件A的对立事件为：至多有一件次品故选B3某校拟从高一年级、高二年级、高三年级学
9、生中抽取一定比例的学生调查对“荆马”（荆门国际马拉松）的了解情况，则最合理的抽样方法是（）A抽签法B系统抽样法C分层抽样法D随机数法【考点】分层抽样方法【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样【解答】解：常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，高一年级、高二年级、高三年级学生对“荆马”（荆门国际马拉松）的了解情况，存在显著差异，这种方式具有代表性，比较合理的抽样方法是分层抽样故选：C4已知直线l1：axy+a=0，l2：（2a3）x+aya=0互相平行，则a的值是（）A1B3C1或3D0【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【分析】利用两条直线平行，
10、斜率相等，建立等式即可求a的值【解答】解：因为直线l1：axy+a=0，的斜率存在，斜率为a，要使两条直线平行，必有l2：（2a3）x+aya=0的斜率为a，即=a，解得 a=3或a=1，当a=1时，已知直线l1：axy+a=0，l2：（2a3）x+aya=0，两直线重合，当a=3时，已知直线l1：3x+y3=0与直线l2：3xy=1，两直线平行，则实数a的值为3故选B5已知变量x服从正态分布N（4，2），且P（x2）=0.6，则P（x6）=（）A0.4B0.3C0.2D0.1【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【分析】变量x服从正态分布N（4，2），得出正态分布曲线关于x=2对称，由
11、此得出P（x2）=P（x6），求出P（2）的值，得出正解答案【解答】解：随机变量x服从正态分布N（4，2），正态分布曲线关于x=4对称，又x2与x6关于x=2对称，且P（2）=0.6，P（x2）=P（x6）=0.4，故选：A6圆（x+2）2+y2=2016关于直线xy+1=0对称的圆的方程为（）A（x2）2+y2=2016Bx2+（y2）2=2016C（x+1）2+（y+1）2=2016D（x1）2+（y1）2=2016【考点】关于点、直线对称的圆的方程【分析】先把圆C的方程化为标准方程，求出圆心关于直线的对称点，对称后圆的半径不变，这样就可以写出对称后圆的方程【解答】解：圆（x+2）2+y2
12、=2016，设圆心（2，0）关于直线xy+1=0的对称点为（m，n）则，解得：m=1，n=1对称点为（1，1）所以圆（x+2）2+y2=2016关于直线xy+1=0的对称圆C的方程为：（x+1）2+（y+1）2=2016故选C7执行如图所示的程序框图，则输出的S为（）A2BCD3【考点】程序框图【分析】根据题意，模拟程序图的运行过程，找出输出S值的周期，即可得出输出的结果【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；开始S=2，i=1；第一次循环S=3，i=2；第二次循环S=，i=3；第三次循环S=，i=4；第四次循环S=2，i=5；第五次循环a=3，i=6；a的取值周期为4，且跳出循环的i值为2
13、018=5044+2，输出的S=3故选：D8下列说法中，错误的一个是（）A将23（10）化成二进位制数是10111（2）B在空间坐标系点M（1，2，3）关于x轴的对称点为（1，2，3）C数据：2，4，6，8的方差是数据：1，2，3，4的方差的2倍D若点A（1，0）在圆x2+y2mx+1=0的外部，则m2【考点】命题的真假判断与应用【分析】根据进位制之间的转化方法，可判断A；写出点的对称坐标，可判断B；根据数据扩大a倍，方差扩大a2倍，可判断C；根据点与圆的位置关系，可判断D【解答】解：10111（2）=1+2+4+16=23（10），故A正确；在空间坐标系点M（1，2，3）关于x轴的对称点为（
14、1，2，3），故B正确；数据：2，4，6，8的方差是数据：1，2，3，4的方差的4倍，故C错误；若点A（1，0）在圆x2+y2mx+1=0的外部，则1+m+10，即m2，故D正确；故选：C9如图是某位篮球运动员8场比赛得分的茎叶图，其中一个数据染上污渍用x代替，则这位运动员这8场比赛的得分平均数不小于得分中位数的概率为（）ABCD【考点】古典概型及其概率计算公式；茎叶图【分析】根据茎叶图中的数据计算出中位数和平均数，计算出x的取值范围即可求出满足条件的概率【解答】解：根据篮球的得分规则可知，x=0，1，2，9，共10种可能无论x取何值，则位于中间的两个数为：17，10+x，则中位数为得分的平均
15、数为10+=，由10+（x+35），得3x7，即x，x=0，1，2，共有3种，这位运动员这8场比赛的得分平均数不小于得分中位数的概率为，故选：B10设P为直线3x+4y+3=0上的动点，过点P作圆C：x2+y22x2y+1=0的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB的面积的最小值为（）A1BCD【考点】直线和圆的方程的应用【分析】由圆的方程为求得圆心C（1，1）、半径r为：1，由“若四边形面积最小，则圆心与点P的距离最小时，即距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最小”，最后将四边形转化为两个直角三角形面积求解【解答】解：圆的方程为：x2+y22x2y+1=0圆心C（1，1）、半径r
16、为：1根据题意，若四边形面积最小当圆心与点P的距离最小时，距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最小圆心到直线的距离为d=2|PA|=|PB|=故选D11在以“菊韵荆门，荣耀中华”为主题的“中国荆门菊花展”上，工作人员要将6盆不同品种的菊花排成一排，其中甲，乙在丙同侧的不同排法种数为（）A120B240C360D480【考点】排列、组合的实际应用【分析】分类讨论，考虑C排在左边第一、二、三个位置的情况，再利用对称性可得结论【解答】解：第一类，字母C排在左边第一个位置，有A55种；第二类，字母C排在左边第二个位置，有A42A33种；第三类，字母C排在左边第三个位置，有A22A33+A32A3
17、3种，由对称性可知共有2（A55+A42A33+A22A33+A32A33）=480种故选：D12已知等边ABC的边长为2，动点P、M满足|=1， =，则|2的最小值是（）ABCD【考点】轨迹方程【分析】画出图形，建立坐标系，求出P的轨迹方程，M的轨迹方程，然后利用方程求解|2的最小值【解答】解：由题ABC为边长为的正三角形，如图建立平面坐标系，由得点P的轨迹方程为x2+（y3）2，设M（x0，y0），由得，代入式得M的轨迹方程为记圆心为，故选：A二、填空题（20分，每题5分）13四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1AB=A1AD=DAB=60，A1A=AB=AD=1，则AC1=【考点】棱柱
18、的结构特征【分析】由题意画出图形，然后利用空间向量求解【解答】解：如图，A1AB=A1AD=DAB=60，A1A=AB=AD=1，=3+2=6，即AC1=故答案为：14设x，y满足约束条件：；则z=x2y的取值范围为【考点】简单线性规划【分析】先作出不等式组表示的平面区域，由z=x2y可得，y=，则表示直线x2yz=0在y轴上的截距，截距越大，z越小，结合函数的图形可求z的最大与最小值，从而可求z的范围【解答】解：作出不等式组表示的平面区域由z=x2y可得，y=，则表示直线x2yz=0在y轴上的截距，截距越大，z越小结合函数的图形可知，当直线x2yz=0平移到B时，截距最大，z最小；当直线x2
19、yz=0平移到A时，截距最小，z最大由可得B（1，2），由可得A（3，0）Zmax=3，Zmin=3则z=x2y3，3故答案为：3，315数列an的前n项和为Sn，且an+1=，a1=2，则S2017=1010【考点】数列递推式【分析】由数列的递推公式求出前四项，可得数列an是以3为周期的数列，求出S3的值，由周期性求出S2017的值【解答】解：由题意得，a1=2，an+1=1，a2=1=，a3=12=1，a4=1（1）=2，数列an是以3为周期的数列，又S3=2+1=，2017=3672+1，S2017=672+2=1010，故答案为：101016平面内到定点F（0，1）和定直线l：y=1的
20、距离之和等于4的动点的轨迹为曲线C，关于曲线C的几何性质，给出下列四个结论：曲线C的方程为x2=4y； 曲线C关于y轴对称 若点P（x，y）在曲线C上，则|y|2； 若点P在曲线C上，则1|PF|4其中，所有正确结论的序号是【考点】曲线与方程【分析】设出曲线上的点的坐标，求出曲线方程，画出图象，即可判断选项的正误【解答】解：设P（x，y）是曲线C上的任意一点，因为曲线C是平面内到定点F（0，1）和定直线l：y=1的距离之和等于4的点的轨迹，所以|PF|+|y+1|=4即，解得y1时，y=2x2，当y1时，y=x22；显然不正确；曲线C关于y轴对称；正确若点P（x，y）在曲线C上，则|y|2；正
21、确若点P在曲线C上，|PF|+|y+1|=4，|y|2，则1|PF|4正确故答案为：三、解答题17已知aR，设命题p：空间两点B（1，a，2）与C（a+1，a+3，0）的距离|BC|；命题q：函数f（x）=x22ax2在区间（0，3）上为单调函数（）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（）若命题“q”和“pq”均为假命题，求实数a的取值范围【考点】命题的真假判断与应用【分析】（）由得a的取值范围；（）函数f（x）=x22ax2在区间（0，3）上为单调函数根据二次函数的图象可得实数a的取值范围，由命题“q”和“pq”均为假命题，知命题p为假命题且命题q为真命题，列式求解即可【解答】解：（）因为
22、命题p为真命题，由得a24，即a2或a2，所以a的取值范围为a|a2或a2（）函数f（x）=x22ax2在区间（0，3）上为单调函数a0或a3由命题“q”和“pq”均为假命题，知命题p为假命题且命题q为真命题即，得2a0，故a的取值范围为a|2a018某班级将从甲、乙两位同学中选派一人参加数学竞赛，老师对他们平时的5次模拟测试成绩（满分：100分）进行了记录，其统计数据的茎叶图如图所示，已知甲、乙两位同学的平均成绩都为90分（）求出a，b的值；（）分别计算这两组数据的方差，并根据统计学知识，请你判断选派哪位学生参加合适？（）从甲同学的5次成绩中任取两次，若两次成绩的平均分大于90，则称这两次成
23、绩为“优秀组合”，求甲同学的两次成绩为“优秀组合”的概率【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；众数、中位数、平均数【分析】（）根据题意利用列出方程，能求出a，b（）分别求出甲、乙两种数据的平均数和方差，得到，从而得到应选派乙参加更合适（）设从甲同学的5次成绩中任取两次，利用列举法求出基本事件个数和“优秀组合”包含基本事件个数，由此能求出甲同学的两次成绩为“优秀组合”的概率【解答】解：（）根据题意可知：，解得a=3，b=8（），甲、乙两生的整体水平相当，乙生更稳定一些，故应选派乙参加更合适（）设从甲同学的5次成绩中任取两次得基本事件有：（87，88），（87，90），（87，92），（8
24、7，93），（88，90），（88，92），（88，93），（90，92），（90，93），（92，93），共计10个，而两次成绩的平均分大于90，即“优秀组合”包含的基本事件有：（88，93），（90，92），（90，93），（92，93）共计4个，所以甲同学的两次成绩为“优秀组合”的概率为19在四棱锥PABCD中，ABC，ACD都为等腰直角三角形，ABC=ACD=90，PAC是边长为2的等边三角形，PB=，E为PA的中点（）求证：BE平面PAD；（）求二面角CPAD的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定【分析】（）证明BEBC，利用BCAD，可得BEAD，结合BEPA，
25、证明BE平面PAD；（）建立空间直角坐标系，求出平面PAC、PAD的一个法向量，即可求二面角CPAD的余弦值【解答】（）证明：ABC与ACD都是等腰直角三角形，ABC=ACD=90，ACB=DAC=45，BCAD，E为PA的中点，且，BEPA，在PBC中，PC2=PB2+BC2，BCPB又BCAB，且PBAB=B，BC平面PAB，BE平面PAB，BEBC，又BCAD，BEAD，又PAAD=A，BE平面PAD；（）解：由（）可以BC，AB，BP两两垂直，以B为原点，BC，AB，BP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则，B（0，0，0），则，设平面PAC的一个法向量为，则取又由（）知BE平面
26、PAD，故为平面PAD的一个法向量，故二面角CPAD的余弦值20某校一块空地的轮廓线如图所示，曲线段OM是以O为顶点，ON为对称轴且开口向右的抛物线的一段，已知ON=4（单位：百米），MN=4现计划在该区域内围出一块矩形地块ABNC作为学生活动区域，其余阴影部分进行绿化建设，其中A在曲线段OM上，C在MN上，B在ON上（）建立适当的坐标系，求曲线段OM所在的抛物线的方程；（）为降低绿化成本，试确定A的位置，使绿化建设的面积取到最小值，并求出该最小值【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；抛物线的应用【分析】（）以O为原点，ON所在直线为x轴，过O作ON的垂线为轴，建立平面直角坐标系，设曲线段
27、OM所在方程为y2=2px（p0），求出p=2，即可得到曲线段OM所在抛物线方程（）为使绿化建设的面积取得的最小值，应使矩形ABNC最大设A（x0，y0），求出矩形ABNC的面积的表达式，通过函数的导数，求和函数的单调性，求解函数的最值【解答】解：（）以O为原点，ON所在直线为x轴，过O作ON的垂线为轴，建立平面直角坐标系，设曲线段OM所在方程为y2=2px（p0），则由M（4，4）在抛物线上，得p=2，曲线段OM所在抛物线方程为y2=4x（）为使绿化建设的面积取得的最小值，应使矩形ABNC最大设A（x0，y0），则，则矩形ABNC的面积，令S=0，得，且S在时单调递增，在时单调递减当时又曲边
28、形OMN的面积为，当时，绿化建设的面积取得最小值，最小值为21已知椭圆C：的离心率为，点在椭圆C上（）求椭圆C的方程；（）过椭圆C的右焦点F作直线l与椭圆C交于不同的两点M（x1，y1），N（x2，y2），若点P与点N关于x轴对称，判断直线PM是否恒过定点，若是，求出该点的坐标；若不是，请说明理由【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系【分析】（）利用离心率为，点在椭圆C上，列出方程解得a2=4，b2=3然后求解椭圆C的方程即可（）设直线lMN：x=ty+1（t0），联立方程直线与椭圆方程，利用韦达定理，以及点N关于x轴的对称点P（x2，y2），求出，得到直线PM
29、的方程为，利用对称性可观察若直线PM恒过定点，则定点应在x轴上，故令y=0，求出x，然后判断直线PM恒过定点【解答】解：（）由题知，即，得点在椭圆上，解得a2=4，b2=3椭圆C的方程为（）设直线lMN：x=ty+1（t0），联立方程得且=144t2+1440N（x2，y2）点N关于x轴的对称点P（x2，y2）故直线PM的方程为，由对称性可知若直线PM恒过定点，则定点应在x轴上，故令y=0得，将式代入上式，得x=4，故直线PM恒过定点（4，0）22已知函数f（x）=xalnx（）当ab=1，a1时，讨论函数f（x）的单调性；（）当b=1，a4时，不等式f（x）在区间2，4上恒成立，求实数a的取
30、值范围【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】（）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（）问题转化为，令，求出函数g（x）的导数，通过讨论a的范围确定函数的单调性确定a的范围即可【解答】解：（）由题知x（0，+），且由ab=1得b=a1，当a1=1即a=2时，知函数f（x）的单调增区间为（0，+）；当a11即a2时，知x（0，1）和x（a1，+）时f（x）0，当x（1，a1）时，f（x）0故函数f（x）的单调增区间（0，a1）和（1，+），单调减区间为（a1，1）；综上所述，当a=2时，函数f（x）的单调增区间为（0，+）；当a2时，函数f（x）的单调增区间（0，1）和（
31、a1，+），单调减区间为（1，a1）；当1a2时，故函数f（x）的单调增区间（0，a1）和（1，+），单调减区间为（a1，1）（）当b=1时，由得，令，则设，由a4知对称轴，故t=x2ax4在2，4上单调递增，所以当x=2时，tmin=2a，当x=4时，tmax=124a，当124a0，即3a4时，g（x）0，知g（x）在2，4上单调递减，得，故3a4当2a0，即a0时，g（x）0，知g（x）在2，4上单调递增，g（x）max=g（4）=3aln40，得，故此时无解当2a0124a，即0a3时，g（x）=0在（2，4）上有唯一一个实数解x0，且g（x）在x（2，x0）上单调递减，在x（x0，4）上单调递增，要使g（x）0恒成立，只需，得，故综上知，所以实数a的取值范围为2017年3月31日
