1、1.1.3 导数的几何意义回顾旧知xxfxxfxyxx)()(limlim0000)(0 xf0 xxy函数在处的瞬时变化率是:我们称它为函数在处的导数，记作xxfxxfxyxfxx)()(limlim)(00000或即是说，那么，导数 的几何意义是什么呢？)(0 xf yf x0 xx yf x0 xxy=f(x)PQM x yOxyy=f(x)QM x yOxy割线PQ的斜率!观察函数的图象，从到的平均变化率的几何意义是什么？1212)()(xxxfxfxy回顾旧知 yf x1x2xPQoxyy=f(x)割线切线T请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P逐渐转动的情况.探究新知
2、 问题:如图,当点沿着曲线趋近于点时,割线PPn的变化趋势是什么?)4,3,2,1)(,(nxfxPnnn)(xf)(,(00 xfxP当点 Pn 趋近于点 P 时,割线PPn趋近于确定的位置,这个确定的直线 PT 称为过点 P 的切线.00)()(xxxfxfknnn)()()(lim)()(lim0000000 xfxxfxxfxxxfxfkxnnxxn令,则0 xxxn xxxn0即当x无限趋近于0时,kn无限趋近于点处的斜率.)(,(00 xfxPP4P3P2P1TxyoPy=f(x)x0 xn例1:求曲线f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.QPy=x 2+1xy-111O
3、jM yx.2)(2lim)11(1)1(lim)()(lim:2020000 xxxxxxxfxxfkxxx解因此,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:先利用切线斜率的定义求出切线的斜率,然后利用点斜式求切线方程.练习:如图已知曲线,求:(1)点P处的切线的斜率;(2)点P处的切线方程.318(2,)33yxP上一点yx-2-112-2-11234OP313yx.)(33lim31)()(33lim3131)(31limlim,31)1(2220322033003xxxxxxxxxxxxxxxxyyxyxxxx解：.42|22xy即点P处的切线的斜
4、率等于4.(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.0l1l2lthO0t1t2t .,变化情况在上述三个时刻附近的线刻画曲处的切线在我们用曲线解thtttxh210例2:如图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数的图象.根据图象,请描述比较曲线在,附近的变化情况.24.96.510h ttt h t0t1t2t分析:利用曲线在动点的切线,刻画曲线在动点附近的变化情况.311.图 .,.,几乎没有升降较平坦附近曲线比在所以轴平行于处的切线在曲线时当00001ttxltthtt .,.,附近单调递减在即函数降附近曲线下在所以的斜率处的切线在曲线时当111111
5、02ttthttthltthtt .,.,单调递减附近也在即函数附近曲线下降在所以的斜率处的切线在曲线时当12222203ttthttthltthtt.,.附近下降得缓慢附近比在在这说明曲线程度的倾斜的倾斜程度小于直线直线可见从图2121311ttthll0l1l2lthO0t1t2t311.图80.80.50.0010.20.30.40.60.70.90.01.11.10.20.30.40.50.60.70.90.01.11.mlmgc/mint411.图.,min.,.,.,.min:)/:(,.10806040204113精确到率物浓度的瞬时变化血管中药时估计根据图象函数图象变化的单位随
6、时间位单物浓度表示人体血管中药它如图例ttmlmgtfc 它表示从图象上看在此时刻的导数药物浓度就是度的瞬时变化率血管中某一时刻药物浓解,.,tf.在此点处的切线的斜率曲线tf.,.时变化率的近似值瞬可以得到此刻药物浓度估计这条切线的斜率利用网格线画出曲线上某点处的切如图411.,.,.41804180ft所以它的斜率约为处的切线作.,这些值是否正确一下验证时变化率的估计值下表给出了药物浓度瞬 417004080604020.tft药物浓度的瞬时变化率00()()()limlimxxyf xxf xfxyxx 在不致发生混淆时，导函数也简称导数000()()()()().yf xxfxf xf
7、xx 函数在点 处的导数等于 函数的导 函 数在点 处的 函数值 什么是导函数?由函数在处求导数的过程可以看到,当时,是一个确定的数.那么,当 变化时,便是的一个函数,我们叫它为的导函数.即:0 xx0fx fx f x0 xxxx f x.yxy例4.已知，求xyxxxxxx 解：1yxxxx 0011limlim.2xxyyxxxxx 看一个例子:如何求函数的导数?(1)()();yf xxf x 求函数的增量(2):()();yf xxf xxx 求函数的增量与自变量的增量的比值0(3)()lim.xyyfxx 求极限，得导函数 yf x(2)根据直线方程的点斜式写出切线方程，即1.求切线方程的步骤：(1)求出函数在点处的变化率,得到曲线在点的切线的斜率；课堂小结2.掌握求导数的三个步骤：0 x00,xf x0fx000yf xfxxx(1)求函数的增量；(2)求平均变化率；(3)取极限,得导数。