1、立体几何第八章第一节空间几何体的结构、三视图、直观图高考概览1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图；3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.吃透教材 夯双基 填一填 记一记 厚积薄发知识梳理1空间几何体的结构特征 温馨提示 两点说明：(1)关于多面体围成多面体的各个面都是平的，没有曲面多面体是一个“封闭”的几何体，特殊的棱柱和棱锥：a侧棱垂直于
2、底面的棱柱叫做直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱b底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体(2)关于旋转体处理旋转体的有关问题一般要作出轴截面球的截面性质：a.球心和不过球心的截面圆的圆心的连线垂直于截面；b.球心到不过球心的截面的距离 d 与球的半径 R 以及截面圆的半径 r 的关系为 r R2d2.2三视图与直观图 温馨提示 两个原则：(1)在画几何体三视图时务必遵循“长对正、高平齐、宽相等”原则，必须确定观看几何体的三个对应方向，同一物体放的位置不同，所画的三视图就可能不同如：一个几何体的三视图如图所示，则该几何体为
3、六棱台(2)斜二测画法中要注意原图与直观图的“三变、三不变”原则“三变”坐标轴的夹角改变，与y轴平行线段的长度改变减半，图形改变.“三不变”平行性不改变，与x轴平行的线段的长度不改变，相对位置不改变.小题速练1下列结论错误的是()A有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥B圆柱的侧面展开图是矩形C水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形D水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形解析 如图，满足 A 选项中条件，但不是棱锥答案 A2某空间几何体的三视图中，有一个是正方形，则该空间几何体不可能是()A圆柱 B圆锥 C棱锥 D棱柱解析 圆锥的三视图中一定不会出现正方形，故选
4、B.答案 B3如下图，长方体 ABCDABCD被截去阴影部分，其中 FGEHAD，剩下的几何体是()A棱台B四棱柱C五棱柱D简单组合体解析 剩下的部分为五棱柱 ABFEADCGHD.答案 C4如右图，直观图所表示的平面图形是()A正三角形B锐角三角形C钝角三角形D直角三角形解析 如图，平面图形是 RtABC，其中C 为直角答案 D5某几何体的三视图如图所示，根据三视图可以判断这个几何体为()A圆锥 B三棱锥 C三棱柱 D三棱台解析 根据俯视图与侧视图，可得该几何体为三棱柱答案 C考点突破 提能力 研一研 练一练 考点通关考点一 空间几何体的结构特征冷考点(1)下列结论正确的是()A各个面都是三
5、角形的几何体是三棱锥B以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线(2)设有以下四个命题：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；底面是矩形的平行六面体是长方体；直四棱柱是直平行六面体；棱台的相对侧棱延长后必交于一点其中真命题的序号是_思路引导 结合几何体的概念及图形进行判断解析(1)A 错误如下图所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不一定是棱锥B 错误如下图，若ABC 不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边，所得
6、的几何体都不是圆锥C 错误若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长D 正确(2)命题符合平行六面体的定义，故命题是正确的底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直，故命题是错误的因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故命题是错误的命题由棱台的定义知是正确的答案(1)D(2)(1)关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一个反例即可(2)既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略(3)圆柱、圆锥、
7、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系跟踪演练给出下列四个命题：有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱其中错误命题的序号是_解析 认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形状两方面去分析，故都不正确；中对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明，故也不正确；平行六面体的两个相对侧面也可能与底面垂直且互相平行，故也不正确答案 考点二 空间几何体的三视图热考点角度解读：有关三视图的考查是高考的重点、热点，考查的主要形式有以下两方面，题型以选择、填空题为主，常与表面
8、积、体积、球等综合考查角度 1：由空间几何体的直观图识别三视图(2017重庆市 4 月调研)图 1 是一个棱长为 2 的正方体被削去一个角后所得到的几何体的直观图，其中 DD11，ABBCAA12.若此几何体的俯视图如图 2 所示，则可以作为其正视图的是()思路引导 根据直观图确定几何体的结构特征 由俯视图确定几何体的摆放角度 找准与正视图对应的投影面 得到答案解析 由题意，根据该几何体的直观图和俯视图知，其正视图的长应为底面正方形的对角线长，宽应为正方体的棱长，故排除 B，D；在三视图中看不见的棱用虚线表示，故排除 A，选C.答案 C角度 2：由空间几何体的三视图还原直观图(2017安徽淮北
9、二模)某几何体的三视图如图所示，网格纸的小方格是边长为 1 的正方形，则该几何体中最长棱的棱长是()A.5 B.6 C.7 D3思路引导 根据三视图确定几何体的结构特征 把三视图的数据转化为几何体的几何度量 确定最长棱的棱长解析 由三视图可知该几何体为一个三棱锥 DABC，如图所示，将其置于长方体中，该长方体的底面是边长为 1 的正方形，高为 2，所以 AB1，AC 2，BC 3，CD 2，DA2，BD 5，因此最长棱为 BD，棱长是 5，故选 A.答案 A三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分
10、用虚线表示若相邻两物体的表面相交，则表面的交线是它们的分界线(2)由几何体的三视图还原几何体的形状在三视图中，要注意实、虚线的区别在还原不规则的三视图时，可灵活应用补形法，将其直观图变为正方体或长方体，然后再将几何体分割为满足原三视图所对应的几何体跟踪演练1.(2018河北武邑中学期末)如图所示，正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E 为棱 BB1 的中点，用过点 A，E，C1 的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为()解析 用过点 A，E，C1 的平面截去该正方体的上半部分后，剩余部分的直观图如图所示，则该几何体的侧视图为选项 A.答案 A2(2017北京卷)某四棱锥的三视图
11、如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为()A3 2 B2 3 C2 2 D2解析 由三视图还原为如图所示的四棱锥 ABCC1B1，从图中易得最长的棱为 AC1 AC2CC21 2222222 3，选 B.答案 B考点三 空间几何体的直观图冷考点(1)(2017福建龙岩联考)用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是()(2)如 图 所 示，ABC 是 ABC 的直 观 图，且 ABC是边长为 a 的正三角形，则ABC 的面积为()A.34 a2B.38 a2C.62 a2D.68 a2思路引导 按斜二测画法还原原来的平面图形解析(1)由直观图可知，在直观图
12、中多边形为正方形，对角线长为 2，所以原图形为平行四边形，位于 y 轴上的对角线长为 2 2.(2)解法一：如图，过 C作 CD与 y轴平行，在BCD中，CBD60，CDB45，BCa.由正弦定理得CDsinCBDBCsinCDB，CDsin60 asin45，得 CD 62 a.在ABC 中，AB 边上的高 CD2CD 6a，ABC 的面积 S12a 6a 62 a2.解法二：S2 2S2 212a2sin60 62 a2.答案(1)A(2)C拓展探究 若本例(2)改为“已知ABC 是边长为 a 的正三角形，求其直观图ABC的面积”，应如何求？解析 如图所示的平面图形和直观图由斜二测画法可知
13、，ABABa，OC12OC 34 a，在图中作 CDAB于 D，则 CD22OC 68 a.SABC12ABCD12a 68 a 616a2.答案 616a2平面图形与其直观图的关系(1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段“平行于 x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于 y 轴的线段平行性不变，长度减半”(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S 直观图 24 S 原图形跟踪演练 如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角均为 45，腰和上底均为 1 的等腰梯形，那么原平面图形的面积是()A2 2 B.1 22 C.2 22 D1 2解析 由题意画出斜二
14、测直观图及还原后原图，由直观图中底角均为 45，腰和上底长均为 1，得下底长为 1 2，所以原图是上、下底分别为 1,1 2，高为 2 的直角梯形所以面积 S12(1 21)22 2.答案 A名师引领 拓视野 思一思 悟一悟 素养达成三视图识图不准致误素养解读：三视图是分别从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个正投影，几何体中的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线 在如图所示的空间直角坐标系 Oxyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)给出编号为、的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为()A和B和C和D和
15、切入点 在给定坐标系描出点，连成几何体关键点 构建正方体，在正方体中寻找几何体规范解答 在空间直角坐标系中构建棱长为 2 的正方体，设 A(0,0,2)，B(2,2,0)，C(1,2,1)，D(2,2,2)，则四面体 ABCD 即为满足条件的四面体，得出正视图和俯视图分别为和，故选 D.答案 D本题常见错误有：(1)想不到构建正方体，不能正确把握投影方向、角度致误；(2)不能正确确定点、线的投影位置致误；(3)不能正确应用实、虚线区分可见与不可见线从而导致出错此类题目对于学生的空间想象能力考查较为深入三点说明：(1)在三视图中，正视图、侧视图的高就是空间几何体的高，正视图、俯视图中的长就是空间
16、几何体的最大长度，侧视图、俯视图中的宽就是空间几何体的最大宽度(2)绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分的轮廓线用虚线表示出来，即“眼见为实、不见为虚”在三视图的判断与识别中要特别注意其中的“虚线”(3)还原几何体后，应该再投影一次检验还原的正确性感悟体验1(2017河北正定中学调研)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧(左)视图为()解析 抓住其一条对角线被遮住应为虚线，可知正确答案在 C，D 中，又结合直观图知，D 正确答案 D2(2016河南南阳高三检测)已知一三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为 2 的正三角形，侧视图是有一条直角边为 2 的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为()解析 由已知条件得直观图如图所示，正视图是直角三角形，中间的线是看不见的线 PA 形成的投影，应为虚线故选 C.答案 C