1、河西区2020-2021学年度第二学期高三年级总复习质量调查(一)数学试卷一选择题(共9小题)1. 已知全集，集合，则（ ）A. B. C. D. A分析：本题根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查.解答：，则故选：A点拨：易于理解集补集概念、交集概念有误.2. 设，则“”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件A解答：由题意得，不等式，解得或，所以“”是“”的充分而不必要条件，故选A考点：充分不必要条件的判定3. 在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（ ）A. B. C. D. D分析：本题通过讨论
2、的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.解答：当时，函数过定点且单调递减，则函数过定点且单调递增，函数过定点且单调递减，D选项符合；当时，函数过定点且单调递增，则函数过定点且单调递减，函数过定点且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.点拨：易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通过讨论的不同取值范围，认识函数的单调性.4. 为了了解一片经济林的生长情况，随机抽取了其中60株树木的底部周长(单位：)，所得数据均在，上，其频率分布直方图如图所示，若在抽测的6
3、0株树木中，树木的底部周长小于100的株数为（ ）A. 15B. 24C. 6D. 30B分析：算出底部周长小于100的树木的频率，从而可求对应的株数.解答：底部周长小于100的树木的频率为，故树木底部周长小于100的株数为，故选：B.5. 将长、宽分别为和的长方形沿对角线折成直二面角，得到四面体，则四面体的外接球的表面积为（ ）A B. C. D. A分析：取的中点，说明为四面体的外接球的球心，求出球的半径，利用球体的表面积公式可求得结果.解答：取的中点，连接、，如下图所示：由题意，因为，为的中点，所以，所以，为四面体的外接球的球心，且球的半径为，因此，四面体的外接球的表面积为.故选：A.点
4、拨：方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.6. 设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则（ ）A. B. C. D. C分析：由已知函数为偶函数，把，转化为同一个单调区间上，再比较大小解答：是R的偶函数，又在(0，+)单调递减，故选C点拨：本题主要考查函数的奇偶性、单
5、调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值7. 已知双曲线(a0，b0)的一条渐近线平行于直线l：y2x10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为()A. B. C. D. A分析：由渐近线的斜率为2可得2，再由焦点坐标得c=5，从而可解得双曲线的方程.解答：由题意可知，双曲线的其中一条渐近线yx与直线y2x10平行，所以2，且左焦点为(5,0)所以a2b2c225.解得a25，b220.故双曲线方程为.答案：A点拨：本题主要考查了双曲线的渐近线及焦点坐标，属于基础题.8. 已知函数，的最小正周期为，将该函数的图象向左平移个单位后，得到的图象对应的函数为奇函数，则函数的图象关于
6、点，对称；关于直线对称；在上单调递增.其中所有正确结论的序号是（ ）A. B. C. D. C分析：利用函数的周期求解，结合函数的图象的平移变换求解，判断函数的对称中心坐标以及对称轴方程，函数的单调性判断3个命题的真假即可解答：函数，的最小正周期为，将图象向左平移个单位后，可得，函数为奇函数，因而，不是的一个对称中心，故错误；，因而是的一条对称轴，故正确；在上，在上单调递增，因此在上单调递增，正确故选：C9. 已知，函数，若函数恰有三个零点，则（ ）A. B. C. D. C分析：当时，最多一个零点；当时，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得解答：当时，得；最多一个零点
7、；当时，当，即时，在，上递增，最多一个零点不合题意；当，即时，令得，函数递增，令得，函数递减；函数最多有2个零点；根据题意函数恰有3个零点函数在上有一个零点，在，上有2个零点，如图：且，解得，故选点拨：遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底.二填空题(共6小题)10. 为虚数单位，复数_.分析：直接利用复数代数形式的除法运算再化简即可得答案.解答：.故答案为：.11. 的展开式中的系数为_.70.解答：试题分析：设的展开式中含的项为第项，则由通项知令，解得，的展开式中的系数为考点：二项式定理12. 已知圆的
8、圆心坐标是，若直线与圆相切于点，则圆C的标准方程为_.分析：根据圆心和切点的连线与直线垂直列方程，由此求得的值，利用两点间的距离公式求得圆的半径，进而求得圆的标准方程解答：因为圆心坐标为，直线与圆相切于点根据圆心和切点的连线与直线垂直，所以，解得，根据两点间的距离公式，可得圆的半径故圆的标准方程为故答案为：13. 将一颗骰子先后抛掷次，观察向上的点数，两数中至少有一个奇数的概率为_；以第一次向上点数为横坐标，第二次向上的点数为纵坐标的点在圆的内部的概率为_. (1). (2). 分析：计算出基本事件的总数，求出事件“两次向上的点数中至少有一个奇数”的对立事件的概率，结合对立又事件的概率公式可求
9、得结果；列举出事件“点在圆的内部”所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可求得结果.解答：将一颗骰子先后抛掷次，所有的基本事件数为个，记事件两次向上的点数中至少有一个奇数，则事件所包含的基本事件有：、，共个，所以，；记事件点在圆的内部，则事件所包含的基本事件有：、，共个，故.故答案为：；.点拨：方法点睛：求解古典概型概率的方法如下：（1）列举法；（2）列表法；（3）数状图法；（4）排列组合数的应用.14. 已知，且，则的最小值是_18分析：先由得，从而，展开后利用基本不等式可得结果解答：解：因为，且，所以，所以当且仅当，即取等号，所以的最小值为18，故答案：18点拨：此题考查利用基本不等式
10、求最值，考查转化思想和计算能力，属于基础题15. 已知菱形的边长为，点、分别在边、上，若，则的值为_；若为线段上的动点，则的最大值为_. (1). (2). 分析：（1）本题首先可根据题意得出、，然后通过向量的运算法则得出、，再然后通过向量的数量积公式得出，最后通过即可得出结果；（2）本题可设，然后通过向量的运算法则得出、，再然后通过向量的数量积公式得出，最后通过向量的运算法则得出，根据即可求出最值.解答：如图，结合题意绘出图像，（1）因，所以，则，因为菱形的边长为，所以，因为，所以，即，解得.（2）因为为线段上的动点，所以设，则，因为，所以，最大值为，故答案为：；.点拨：关键点点睛：本题考查
11、向量的几何应用，考查向量的加法的灵活应用，考查向量的数量积，考查向量的乘法法则，能否结合图像得出、是解决本题的关键，考查计算能力，是中档题.三解答题(共5小题)16. 在中，内角，所对的边分别为，.已知，.（1）求；（2）求的值；（3）求的值.（1）；（2）；（3）.分析：（1）根据边的关系可得为锐角，从而可求，利用余弦定理可求.（2）利用正弦定理可求的值.（3）先求出的正弦与余弦，利用两角差的正弦公式可求的值.解答：（1）在中，故，故为锐角，故由，可得.由余弦定理，有，.（2）由正弦定理，得.（3）因为，故为锐角，故，.故.17. 如图，已知三棱柱，平面平面，分别是，的中点.（1）证明：；（
12、2）求直线与平面所成角的余弦值；（3）求二面角的正弦值.（1）证明见解析；（2）；（3）.分析：（1）运用几何法，则需要通过证明线面垂直实现，如果通过建立空间直角坐标系，则连接，证明，推出平面，以为原点，在平面中，过作的垂线为轴，所在直线分别为，轴，建立空间直角坐标系，通过求解，推出（2）求出平面的法向量，利用空间向量的数量积求解直线与平面所成角的余弦值即可（3）求出平面的一个法向量利用空间向量的数量积求解二面角的正弦函数值即可解答：方法一：证明：（1）连接，是的中点，又平面平面，平面，平面平面，平面，平面，.（2）取中点，连接，则是平行四边形，由于平面，故，平行四边形是矩形，由（1）得平面，
13、则平面平面，在平面上的射影在直线上，连接，交于，则是直线与平面所成角(或其补角)，不妨设，则在中，是的中点，故，直线与平面所成角的余弦值为.方法二：证明：（1）连接，是的中点，又平面平面，平面，平面平面，平面，如图，以为原点，在平面中，过作的垂线为轴，所在直线分别为，轴，建立空间直角坐标系，设，则，0，2，由，得.（2）设直线与平面所成角为，由（1）得，2，设平面的法向量，则，取，得，直线与平面所成角的余弦值为.（3）由（1）可知：平面的一个法向量是，0，由（2）由图可知该二面角为锐二面角，设该二面角的平面角为，点拨：关键点睛：本题的核心在考查空间向量的应用，需要注意以下问题：(1)求解本题要
14、注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算(2)设分别为平面，的法向量，则二面角与互补或相等.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角18. 已知数列是等差数列，是递增的等比数列，且，（1）求数列和的通项公式；（2）若，求数列的前项和（1）；（2）分析：（1）根据题设条件，列出方程组，求得公差和公比的值，即可求得数列和的通项公式；（2）由（1）求得，结合裂项法，即可求解.解答：（1）设等差数列的公差为，递增等比数列的公比为，由，可得，解得或(舍去)，所以数列的通项公式为，数列的通项公式为（2）由（1）知所以，所以，数列
15、的前项和点拨：关于数列的裂项法求和的基本策略：1、基本步骤：裂项：观察数列的通项，将通项拆成两项之差的形式；累加：将数列裂项后的各项相加；消项：将中间可以消去的项相互抵消，将剩余的有限项相加，得到数列的前项和.2、消项的规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.19. 已知椭圆左、右焦点分别为，且满足离心率，过原点O且不与坐标轴垂直的直线交椭圆C于M，N两点.（1）求椭圆C的方程；（2）设点，求面积的最大值.（1）；（2）.分析：（1）由题意可求出，即可写出椭圆方程；（2）直线的方程为，联立椭圆方程可得，即可由弦长公式表达出，利用点到直线的距离公式求出到的距离，即
16、可求出面积，利用基本不等式可求出最大值.解答：解：（1）由题意可知，根据，得，椭圆C的方程为.（2）设直线的方程为，设，由，得，.点A到直线的距离，所以，当时，；当时，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为.点拨：本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆位置关系，考查椭圆中三角形面积问题，属于中档题.20. 已知函数（其中是实数）.（1）若，求曲线在处的切线方程；（2）求函数的单调区间；（3）设，若函数的两个极值点恰为函数的两个零点，且的范围是，求实数的取值范围.（1）；（2）答案见解析；（3）.分析：（1）先求出导函数，然后求出切点处函数值、导数值，最后利用点斜式求出切线方程；（2）令函数的
17、导数为零，判断零点的个数，并判断有零点时，零点左右的导数符号，从而确定原函数的单调性；（3）结合（2）的结论得到两个极值点满足的条件；然后将化简，转化为，的表达式，再转化为单变量的函数式，结合已知范围得到的范围，最后将（2）中满足的条件代入，得到关于的函数或不等式求解即可解答：解：（1）由得： 则 ，所以，又. 所以曲线在点处的切线方程为. （2）因为，所以定义域为 若，则，当且仅当时， 若，得当时，当时， 所以，当时，的单调递减区间为，无单调递增区间；时，的单调递减区间为；单调递增区间为. （3）由（2）知，若有两个极值点，则，且所以 ，由得. 令， ，所以上单调递减由的范围是得的取值范围. 又，又，故实数的取值范围.点拨：本题考查利用导数求切线，研究函数的单调性、不等式等问题；考查了学生的数学运算、逻辑推理等核心素养以及学生利用函数与方程、转化与化归、分类与整合等数学思想解题的能力导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理
