1、1.1.3导数的几何意义 定义：函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是0000()()li.mlimxxf xxf xyxx ,|)(00 xxyxf或00000()()()limlim.xxf xxf xyfxxx 即：我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作:回顾由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本步骤是:00(1)()();yf xxf x 求函数的增量00()()(2);f xxf xyxx 求平均变化率00(3)()lim.xyfxx 取极限，得导数下面来看导数的几何意义:y=f(x)PQM x yOxyPy=f(x)QM x yOxy如图,曲线C
2、是函数y=f(x)的图象,P(x0,y0)是曲线C上的任意一点,Q(x0+x,y0+y)为P邻近一点,PQ为C的割线,PM/x轴,QM/y轴,为PQ的倾斜角.tan,:xyyMQxMP则yx请问：是割线PQ的什么?斜率!PQoxyy=f(x)割线切线T请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P逐渐转动的情况.我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即 x0时,割线PQ有一个确定位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.设切线的倾斜角为,那么当x0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.即:00000()()()limlimxxf xxf xykf xxx 切线这个概念:
3、提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;切线斜率的本质函数在x=x0处的导数.导数的几何意义函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线 y=f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率.即:0()kf x切线故曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线方程是:)()(000 xxxfxfy/000/0/01y=f(x)P(x,f(x)f(x)y 2f(x)0,Xf(x)0,X注：（）若曲线在点处的导数不存在，就是切线与 轴平行。（）切线与 轴正方向夹角为锐角，切线的斜率为正，切线与 轴正方向夹角为钝角，切线的斜率为负。201211.1 3,4.96.510.,.h ttth
4、 ttt t 例如图它表示跳水运动中高度随时间变化的函数的图象 根 据图象 请描述、比较曲线在附近的变化情况0l1l2lthO0t1t2t311.图.,的变化情况刻画曲线在动点附近利用曲线在动点的切线 .,变化情况在上述三个时刻附近的线刻画曲处的切线在我们用曲线解thtttxh210 .,.,几乎没有升降较平坦附近曲线比在所以轴平行于处的切线在曲线时当00001ttxltthtt .,.,附近单调递减在即函数降附近曲线下在所以的斜率处的切线在曲线时当11111102ttthttthltthtt .,.,单调递减附近也在即函数附近曲线下降在所以的斜率处的切线在曲线时当12222203ttthtt
5、thltthtt.,.附近下降得缓慢附近比在在这说明曲线程度的倾斜的倾斜程度小于直线直线可见从图2121311ttthll0l1l2lthO0t1t2t311.图80.80.50.0010.20.30.40.60.70.90.01.11.10.20.30.40.50.60.70.90.01.11.mlmgc/mint411.图 21.1 4,(:/):min.,0.2,0.4,0.6.0.8min,0.1.cf tmg mltt例如图它表示人体血管中药物浓度单位随时间单位变化的函数图象根据图象估计时 血管中药物浓度的瞬时变化率 精确到 它表示从图象上看在此时刻的导数药物浓度就是度的瞬时变化率血
6、管中某一时刻药物浓解,.,tf.在此点处的切线的斜率曲线tf.,.时变化率的近似值瞬可以得到此刻药物浓度估计这条切线的斜率利用网格线画出曲线上某点处的切如图4110.8,0.480.911.4,1.00.70.81.4.tf 作处的切线 取切线上两点(0.7,0.91),(1.0,0.48)它的斜率约为k=所以.,这些值是否正确一下验证时变化率的估计值下表给出了药物浓度瞬 417004080604020.tft药物浓度的瞬时变化率从求函数f(x)在x=x0处导数的过程可以看到,当x=x0时,f(x0)是一个确定的数.那么,当x变化时,f(x)便是x的一个函数,我们称它为f(x)的导函数.简称导
7、数即:x0 x0yf(x+x)-f(x)f(x)=y=lim=limxx 0f(x)f(x)0就是在点x 处的函数值.0函数y=f(x)在点x 处的导数函数f(x)的导(函)数例3:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.QPy=x 2+1xy-111OjM yx000()():limxf xxf xkx 解因此,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.（1）求出函数在点x0处的变化率，得到曲线在点(x0,f(x0)的切线的斜率。)(0 xf（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即).)()(000 xxxfxfy求切线方程的步骤：2020(1)1(1 1)lim2()
8、lim2.xxxxxxx 练习线点点 处线点 处线318：已知曲y=x 上一P(2,)，求：33(1)P的切的斜率；（2）P的切方程3330011()133(1),limlim3xxxxxyyxyxx 解：.42|22xy即点P处的切线的斜率等于4.(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.2230222033()()lim333()lim.3xxxxxxxxxx xxx （1）求出函数在点x0处的变化率，得到曲线在点(x0,f(x0)的切线的斜率。)(0 xf（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即).)()(000 xxxfxfy求切线方程的步骤：小结:无限逼近的极限思想是建立导数概念、用导数定义求 函数的导数的基本思想，丢掉极限思想就无法理解导 数概念。作业:2342yxxM2.求曲线在点（1，1）处的切线方程。处的导数。在求函数11.1xxy3.求双曲线过点（，）的切线方程3求双曲线过点（，）的切线方程.141)2(4121.4121241221lim121lim22lim000 xyxyxxxxxfxfxxx，即故所求切线方程为）的切线斜率为，（所以，这条双曲线过点，）（）（）（解：因为 练习